Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 12 de diciembre de 2012

DEFINICIÓN FORMAL DE LA NORMALIDAD Y LA RAREZA

Todo evento tiene una probabilidad de ocurrir. Por ejemplo, se introducen tres bolas rojas en una bolsa y cinco bolas negras en la misma. Se revuelven las bolas en la bolsa y se saca una de ellas. La probabilidad de que la bola afuera sea roja es de 3/8, mientras que para ser negra existe una probabilidad de 5/8. Simple. Lo que el concepto de probabilidad dice es que de realizar un intento en dieciséis bolsas técnicamente idénticas, se obtendría una tendencia de seis bolas rojas y diez bolas negras de entre dieciséis bolas sacadas de un total de ciento veintiocho bolas.

Se debe notar que todos los eventos por estudiar se pueden entender en sólo dos partes, es decir, de que ocurra el evento y, por supuesto, de que no ocurra. Así, en el ejemplo de las bolas, está 3/5 de que la bola sea roja y 5/8 de que no sea roja (porque pueden incluirse en la bolsa tres bolas verdes y dos bolas negras). Asimismo, la probabilidad de un evento tiene un valor P y la probabilidad de que no ocurra tal evento tiene un valor de Q que se puede calcular como Q=1-P (hágase la prueba con el ejemplo de las bolas, donde 5/8=1-3/8).

Ahora, se multiplican los valores P y Q, es decir, P·(1-P). El resultado es un número N, o sea, N=P·(1-P). Entonces, tomando a las bolas rojas para ejemplificar la fórmula de N se introduce el valor conocido para la bola roja (P=3/8): N=(3/8)(1-3/8)=15/64, o con punto decimal, N=0.234. Ese número N expresa que tan igualitaria es la probabilidad de que el evento ocurra con respecto a la probabilidad de que no ocurra. Si el valor de N es muy cercano o igual a 0.25, entonces es un evento bastante igualitario con el hecho contrario. Uno pone los parámetros para considerar cuándo deja de ser igualitario un evento respecto a que éste no ocurra. De las bolas de la bolsa, N=0.234 es muy parecido a 0.25, por lo cual se considera que la obtención de bolas rojas es casi lo mismo (en probabilidad) a no obtener bolas rojas.

El valor de 0.25 proviene de multiplicar las probabilidades de eventos totalmente igualitarios, como lanzar una moneda al aire y obtener águila (o cara según la moneda de la cual se trate). Se multiplica la probabilidad de ese hecho con la probabilidad de que no ocurra, es decir, (1/2)·(1-1/2) y se obtiene N=0.25. Cuando el valor de N no se parece a 0.25, entonces se dice que hay un desequilibrio entre un evento y el que éste no ocurra: debe ser que el evento o el que no ocurra sea normal.

Por decir, que la bolsa tenga ahora una bola roja y quince bolas que no son rojas. La probabilidad de obtener bolas rojas es de 1/16; la de no obtener bolas rojas es de 15/16. Entonces el valor de N cambia a N=(1/16)·(1-1/16)=15/256, o con decimales, N=0.059. Allí el valor de N es evidentemente muy distinto de 0.25. Hay un desequilibrio en este caso y alguno de los eventos (obtener o no bolas rojas) debe ser normal y el otro debe ser raro (o extraño). Siempre, el evento con mayor probabilidad es el normal, y el otro es el raro. Para el caso de la nueva bolsa, sacar una bola roja es raro, mientras que sacar una bola que no es roja se tiene por normal.

Es importante recalcar que uno puede determinar los límites para considerar un equilibrio o un desequilibrio. Es arbitrario. Siendo muy rigurosos, el equilibrio exacto es cuando N=0.25, pero es difícil pensar que de entre dieciséis bolas fuera raro el sacar una roja cuando se hayan sacado tres rojas y cuatro que no lo son: es muy normal ver ambos casos. No así cuando el valor de N sea de 0.059. Entonces, es factible ampliar los límites y decir, por ejemplo, si N tiene un valor menor a 0.23, entonces hay un desequilibrio. Sin embargo, no es obligatorio considerar a 0.23 como valor único, porque 0.20 también podría considerarse como cercano a 0.25.

Es notable el significado del valor de N. En las elecciones de un candidato para un puesto público, en una democracia sin fraudes, se tienen tres candidatos y las preferencias por cada uno son de 30%, 32% y 38%. La probabilidad de que alguien vote por el primer candidato es de 0.30 (30/100). Entonces la probabilidad de que alguien no vote por él es de 0.70. Entonces se obtiene un valor para N=(0.30)·(1-0.30)=0.21. La intuición indica que el candidato presenta una preferencia notable y que debe ser normal encontrarse a alguien que vaya a votar por él. En efecto, N es muy cercano a 0.25. Por otro lado si la preferencia cambia a 2% (o la probabilidad cambia a 0.02 porque se tiene 2/100), entonces N=(0.02)·(1-0.02)=0.0196. Aquí hay un desequilibrio y como el candidato tiene una probabilidad menor a que voten por otro de los candidatos, entonces es raro encontrar a alguien que vote por él.

Cualquier evento puede estudiarse de esta forma. La consideración formal dependerá siempre del valor de N

 
Agosto 2012
 

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