Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 12 de diciembre de 2012

DEMOSTRACIÓN INTERPRETADA DEL TEOREMA DE GÖDEL

Para el razonamiento se utilizan frases. Éstas se constituyen por los siguientes elementos:

1) El cuantificador Para todo.
2) Relatores.
3) Constantes.
4) Variables.
5) Negador.
6) Implicador.
7) *Funtores.

El cuantificador Para todo sirve para que lo dicho entorno a una de las variables en una frase, sea válido para todas sus semejantes. Por ejemplo, de la frase -Para todo animal que tenga dos pies, se utiliza la palabra «bípedo»- el cuantificador Para todo está presente y la variable es «animal». La constante es la palabra «bípedo», y también «dos pies». El relator es «que tenga». El implicador se observa de que se cumpla la segunda parte de la frase, si se cumple la primera parte. Esta frase podría estructurarse con símbolos, pero las nociones de cada elemento pueden ser comprendidas simplemente con ejemplos semejantes.

Cabe aclarar que los relatores sirven para describir, de alguna forma, las circunstancias de las variables. Las variables, por otro lado, sirven para retomar toda una clase de objeto en particular (como los animales). Las constantes deben ser objetos que no varían, por ejemplo, una constante es «color negro», puesto que para todas las personas el color negro es el mismo. El implicador equivale a expresar una frase del tipo «Si..., entonces...».

Se ha marcado a los funtores con un asterisco. No es sin razón. Ocurre que los funtores se pueden formar a partir de los relatores. Esto es, uno puede utilizar el funtor «La capital de» y crear la frase «La capital de Francia» y el valor que se obtendría sería «París». No obstante, el equivalente con un relator sería «La capital de», pero en este caso la frase resultante sería ligeramente distinta: «La capital de Francia es París». El funtor es un relator modificado que sirve para arrojar resultados en lugar de relacionarlos con alguna variable.

El negador, como su nombre lo dice, sirve para negar. Por decir, «La capital de Francia no es Tokio» tiene como negador a no. Cualquier equivalencia como «tampoco», «ni», y otras, pueden obtenerse de un simple no. Asimismo, el cuantificador «Algún» se obtiene de negar el cuantificador Para todo. Todas las frases tienen una estructura definida de la siguiente forma:

[Cuantificador][variable][Cuantificador][variable]...[Frase]

Y las frases que se asumen por definición son:

[Implicador][Expresión][Expresión]

que se dice igualmente como:

[Si - Expresión][entonces - Expresión]

y la frase:

[Negador][Expresión], o [No][Expresión]

Las expresiones a su vez son todas las que se constituyen por un relator o un funtor con las variables o las constantes que les correspondan. Kurt Gödel demuestra en 1929 que «las frases sólo deducen frases» con su teorema de completitud. Una deducción es una sucesión de frases tales que se rigen por una serie de reglas que las validan. Por ejemplo, sea la siguiente deducción:

1) Ella es mi madre.
2) Él es hijo de ella.
3) Por lo tanto, él es mi hermano.

Se puede observar que las tres son frases. También se puede observar que de la regla «Si un individuo es hijo de mi madre, entonces es mi hermano» se cumple la frase 3). A la última frase de una deducción (para el caso, «Él es mi hermano») se le llama teorema. Lo que Gödel muestra entonces es que las frases sólo necesitan de frases para expresar un razonamiento, o según sus palabras, todo razonamiento es completo. Esto porque con frases cualquier razonamiento en forma de deducción, como se observa en el ejemplo, queda completo, sin ninguna idea faltante.

Ahora, el teorema de incompletitud demostrado en 1931 nos dice que de utilizar frases únicamente verdaderas es posible deducir frases que no sean ni verdaderas, ni falsas. Por ejemplo, (y como se observa en El teorema de Gödel) con frases de parentesco semejantes a la expuesta se obtiene que la frase «Yo no soy mi propio hijo» no se pueden deducir ni verdadera, ni falsa. Hay que poner en claro que no se pueden deducir ni verdaderas, ni falsas (son indecidibles), pero sí pueden ser verdaderas, aunque esto no se pueda saber por un mero razonamiento y por lo mismo quedan indecidibles.

A continuación, se construirá una demostración interpretada, con un carácter didáctico, que se basa en una propuesta de Alfred Tarski. Este matemático propone que el significado que tienen las frases se puede constituir a partir de un modelo que a su vez se compone de:

1) Un conjunto llamado Universo.
2) Elementos que pertenecen al Universo y que se asocian con los relatores y funtores.
3) Valoraciones que se asocian a las variables y que verifican la validez de los elementos de 2).

Por ejemplo, de la frase -Para todo animal que tenga dos pies, se utiliza la palabra «bípedo»-, el modelo se conforma como sigue:

1) Universo=[que tenga, se utiliza] como Universo.
2) Las frases «que tenga» y «se utilizan» con los significados que les atribuimos.
3) Cualquier ejemplo, por decir, «pingüino» como valoración de animal con dos pies y «bípedo» como lo entendemos.

Es necesario entender que las frases tal y como fueron definidas anteriormente no se referían a lo que se entendía de ellas, sino simplemente a las letras que se veían. Por eso en 2) se dice «con los significados que les atribuimos», ya que una cosa son las letras que representan la idea en cuestión (y que arman una frase), y otra cosa (lo que pertenece al Universo) es el significado que tienen esas letras.

Una vez propuesto esto, se dice que una frase es verdadera si todas las valoraciones del modelo, todos los ejemplos que se pueden ofrecer de la frase con el significado que se le otorga dado el modelo, la validan. Esto es, para el ejemplo, si todos los animales que se pueden enunciar y reconocer que tengan dos pies son llamados bípedos, entonces la frase -Para todo animal que tenga dos pies, se utiliza la palabra «bípedo»- es verdadera. Si alguna de las valoraciones no valida la frase con el significado que le otorgamos, entonces no es verdadera, es falsa.

Naturalmente, en una deducción el modelo no cambia. Se procede entonces a observar el fenómeno que corrobora el teorema de Gödel:

A) Tómese una frase y obsérvese su significado, o sea, los objetos que se relacionan a sus funtores y relatores, y que pertenecen al universo de un modelo dado.
B) Ármese otra frase que en sí misma se refiere al significado de la frase anterior, y obsérvese también su significado.
C) Ármese otra frase que se refiera al significado de la anterior en sí misma, y obsérvese su significado.
D) Hágase lo que en C) hasta donde se desee.

Elaboradas las frases, se tiene una última dentro de esta secuencia. La última frase carece de significado. Y carece de éste porque no existe la frase que le sigue y que se refiere a su significado. De otra forma, no hay una frase que se refiera al significado de esta última, por lo cual se observa que no hay tal significado. Esto no es privativo de ningún razonamiento, ni de ningún tipo de frase en particular, sino que es válido para toda la Lógica. Entonces, si hay frases que carecen de significado, no pueden éstas tener valoraciones que las validen. Y de ello, consecuentemente, se observa que hay frases imposibles de comprobarse verdaderas o falsas, que son indecidibles, porque no hay valoraciones que puedan validarlas simplemente porque no hay significado.

Como hay frases indecidibles, no se puede asegurar que un razonamiento junto con sus frases sea expositor absolutamente de verdades. Como el sólo decir la verdad implica el ser coherente, entonces se dice que:

A pesar de ser coherentes, no se puede probar si esto es cierto.

Además,

A pesar de ser coherentes, no se puede deducir que todas las frases son verdaderas; pueden obtenerse indecidibles que corroboran a nuestro razonamiento como incompleto.

Esto último es el teorema de Gödel (interpretado). Se dice que el razonamiento es incompleto porque no puede deducirse que todas las frases sean verdaderas. De otra manera, un razonamiento completo es aquel que sólo expone frases verdaderas, incluyendo la que refiere el hecho de su completitud, situación que es imposible. La oración anterior a la última es una consecuencia del teorema.

Antes de Gödel, sea creía que el razonamiento que convencionalmente llamamos «Matemática» era coherente, que sólo exponía verdades. Sin embargo, por el teorema de Gödel, no estamos en la posibilidad de demostrar que la Matemática efectivamente expone sólo verdades. Así, un razonamiento que se creía intachable de mentiras quedaba a la deriva, sin poder asegurarse que no exponía tales mentiras. Más aún, cualquier razonamiento es susceptible de desconocerse sobre su coherencia. 
 
Septiembre 2012
 
 

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