Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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jueves, 27 de diciembre de 2012

DUNS SCOTO

Con un sistema formal funcional (que aparentemente es consistente), se pueden establecer comparaciones con sistemas que pretenden lo mismo. Así, por ejemplo, todas las teorías matemáticas avalan la correctitud que hasta el momento presentan los Principia Mathematica (PM), o también, todas las teorías científicas son compatibles con el principio de cientificidad (una vez formalizada la Ciencia en sistemas como De la ciencia formal).

Duns Scoto plantea un sistema lógico no formal (DS) pero que es susceptible de análisis. Se hará respecto a la suma de varios sistemas formales. DS fue propuesto con base en las ideas de Santo Tomás de Aquino en la Summa Theologica, y justo cuando la Lógica aún era discursiva y cuando faltaba mucho para obtener una formalización seria de la Matemática. Ahora, con la existencia de la Lógica formal y de sistemas como De la ciencia formal se puede corregir cada defecto derivado del discurso informal.

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc.

LENGUAJE FORMAL Y AXIOMÁTICO DS.

Axioma 1. Un intelecto infinito es solamente el único en número. Formalmente:

pf→↔OpfΦ→ΦΨ donde Opf dice p es el principio de f, Φ es un axioma dado y Ψ el teorema deducible del hallazgo del principio a partir de f y que se traduce en el axioma Φ.

La parte del intelecto infinito se cumple por el generalizador en el principio de cientificidad. Como se trata de un solo axioma de cientificidad, se asume que la condición ser único en número es válida.

Cabe decirse que el lenguaje original de DS es ambiguo, de allí la frase lógica discursiva. Con ello se quiere decir que no todas las personas tienen o pueden llegar a tener claro (cosa fácil de probar) qué es un intelecto infinito. La intuición no nos permite llegar a ello directamente. Por el contrario, para cualquier científico es usual la expresión p es el principio de f porque en ello consiste su trabajo, o sea, en hallar el principio del fenómeno. De no ser un científico quien analice la expresión, puede fácilmente aprender y convencerse con uno o dos ejemplos en qué consiste esta expresión.

Así, se puede decir que uno ve que una manzana cae al suelo, que una bala de cañón cae al suelo, que un globo con helio asciende, que el agua desciende y que un globo con aire desciende con dificultad. De estos fenómenos se puede hallar lo siguiente: a) todos los sólidos descienden, b) todos los líquidos descienden, c) todos los gases menos densos que el aire ascienden, d) todos los gases de igual densidad que el aire descienden con dificultad. Luego uno se percata de que la Luna es sólida (por cierta evidencia). Entonces los resultados anteriores se corrigen porque los fenómenos han sido ampliados y se obtienen otros principios (por ejemplo, todos los sólidos en las cercanías de la Tierra descienden, etc.).

Quizá alguien pueda diferir (y por ello requerir del establecimiento de un sistema formal) sobre lo que se entiende por intelecto infinito, pero para cualquiera que observe un ejemplo de Opf tendrá la certeza de su validez. La intuición nos permite asumir directamente a Opf como una expresión válida. Por ejemplo, un escéptico puede proponer que se requiere, ya sea de un ejemplo directo y evidencial de intelecto infinito, o bien de un cerebro cuyas capacidades sinápticas sean infinitas (situación que no ha sido hallada). Por otro lado, aún el escéptico confía en la existencia de principios a partir de fenómenos como hay muchos casos en la Ciencia.

El principio de cientificidad se refuerza por ser susceptible del método lógico empleado por la comunidad científica y llamado método científico. Es por ello que se adapta lo que dice DS por medio de sistemas axiomáticos conocidos y con interpretaciones libres del discurso, es decir, sometidas a la formalidad y, más aún, a la validez de las evidencias naturales con las que se cuenta al momento.

Axioma 2. Una voluntad infinita es única en número. Formalmente:

ij↔Aij=jk donde Aij diría i es afín a j y k es una constante.

En la lógica formal se ha detallado la infinitud por medio de las variables y constantes de los lenguajes que correspondan. Un ejemplo de ser afín: uno ejerce, por decir, cargar una caja. Como uno efectivamente ejerza ello, se tiene que uno está de acuerdo con ello, es decir, uno es afín a cargar una caja. Con este simple ejemplo se puede uno convencer de la validez de ser afín y se puede entender lo que significa ser afín en esta propuesta de formalización de DS.

Con este axioma se hace un esfuerzo por entender lo que pretendía decir Duns Scoto en DS. Así la voluntad se asume como afinidad, o sea, la disposición que se tiene hacia las variables del lenguaje utilizado.

Axioma 3. Una potencia infinita es única en número. Formalmente:

jp↔Xjp=ju donde Xij dice i ejerce j y u es una constante.

Axioma 4. Un ser necesario es único en número. Formalmente:

q↔OqXuq donde Oq dice q ocurre.

Axioma 5. Sólo hay una única bondad infinita. Formalmente:

Bu donde Bq diría q es bueno.

El término infinito del axioma lo imprimen los demás axiomas donde la constante u se relaciona con toda la gama (infinita) de variables del lenguaje utilizado.

Por supuesto, esta interpretación formal de DS es ya independiente de lo que entendamos por Bq, Aij, etc. Con ello se quiere decir que si bien se han tomado términos con los significados de otros sistemas, en general, para representar a DS, se puede prescindir de los significados como se hace con todos los sistemas formales. Por lo tanto, en DS se debe entender a la afinidad, al ejercicio, a la eventualidad, etc. sólo como DS los tiene axiomatizados.

Lo que se pretende ahora es hallar 1) la consistencia del sistema (con alguna contradicción dejaría de ser consistente) y 2) que sea un modelo válido para la realidad que intuitivamente podemos entender (con ejemplos evidenciales y poco esfuerzo para nuestro convencimiento).

CONSISTENCIA Y MODELO

El axioma 1 dice que se requiere tener el principio del fenómeno puesto que se tiene el axioma (que puede ser incluso el axioma 1). Por lo tanto los cinco axiomas deben tener un ejemplo al menos para poder verificar la validez de la proposición Opf. Es notable que en estudios como la Física, la Química, la Matemática (con los fenómenos de inducción matemática), la Lingüística, etc. existe este principio implícito. Así el axioma 1 es compartido por varios sistemas formales (los estudios de la Ciencia).

En resumen, si se halla el ejemplo intuitivo para cada axioma, entonces se garantiza la validez del axioma 1, de lo contrario el sistema 1) no es consistente respecto al axioma 1 y 2) el sistema no es científico. Si bien el sistema sin el axioma 1 puede ser consistente, resultaría ser un sistema inútil para los propósitos explicativos que pretendía (por faltar al principio de cientificidad) y con ello el sistema DS pierde interés teórico en la determinación de la naturaleza, sea divina o no. Para facilitar el hallazgo de los fenómenos se puede tratar por medio de los teoremas derivados de DS. Así se validan dos axiomas al hallar el ejemplo de un teorema deducido a partir de estos.

Por ejemplo:

Teorema DS-I. Oq (y su generalización) es deducible. Demostración:

Xrq premisa.
=ru por el axioma 3.
Xuq sustituyendo en la premisa.
Oq por el axioma 4.
∀qOq inferida.

Si se halla un ejemplo intuitivo en el cual toda variable de un lenguaje con infinitas variables cumpla con una relación monoádica dada, entonces se prueba la validez de los axiomas 3 y 4. Asimismo, como Xrq se deriva del hecho intuitivo, debe tenerse un ejemplo intuitivo para dicha relación.

Otro ejemplo:

Teorema DS-II.

V¬OqOq premisa (tautológica).
↔V¬OqOqBu por el axioma 4.
∀q↔V¬OqOqBu inferida.

Nuevamente, si se halla un ejemplo intuitivo donde la relación monoádica aplicable a una constante de un lenguaje con dos constantes e infinitas variables implique necesariamente la tautología de otra relación monoádica aplicable a todas las variables del lenguaje, entonces se validan los axiomas 3, 4 y 5.

Generalmente se modela a la naturaleza por medio de sistemas axiomáticos (como se hace con PM, la Física, etc.). En general la Ciencia se vale de este método, en el cual se hallan los ejemplos evidentes y accesibles a todos (intuitivos) para luego formalizar dicha evidencia. Es difícil, y quizá imposible, hallar la naturalidad en sentido contrario, partiendo de un sistema axiomático y encontrando posteriormente el caso que cumpla dicha situación. No asegurando que esto sea imposible para DS, la propuesta de sistema formal está dada.

Probablemente por la falta de formalización de la Ciencia en la época medieval, Santo Tomás y Duns Scoto no se percataron de este detalle. Quizá sí sea posible hallar la naturalidad de DS, pero no muy probable que coincida con lo que ellos tenían en mente. Insistiendo en la nobleza de la formalización, la propuesta está dada.

5 de Enero de 2012

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