Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 12 de diciembre de 2012

EL TEOREMA DE GÖDEL

Para el razonamiento se utilizan oraciones. Por ejemplo, Ella tiene 24 años es una oración con la cual se puede razonar. Otro ejemplo notable del razonamiento es el reconocimiento de parentescos, es decir, que a partir de frases como Ella es mi madre, Él es hijo de ella, y Todo el que sea hijo de mi madre, es mi hermano se puede deducir Él es mi hermano. De ello procede el teorema de Gödel, de razonamientos.

Lo que Kurt Gödel demuestra con su teorema es la existencia de oraciones con las cuales se puede razonar, pero que no pueden demostrarse que sean verdaderas o falsas; a este tipo de oraciones se les conoce en Lógica como indecidibles. El artículo donde publica por vez primera su teorema se titula Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los PrincipiaMathematica y sistemas afines. Los Principia Mathematica eran una serie de oraciones con las cuales el matemático Bertrand Russell pretendía reunir toda la Matemática hasta entonces conocida (hasta antes de los años veinte del siglo XX). La tarea no resultaba sencilla porque tenía que evitar a costa de todo la presencia de contradicciones en sus deducciones matemáticas. Por ejemplo, una contradicción sería 0=1 (cuando en realidad se sabe que 0=0). Aparentemente lo logra, pero Kurt Gödel demuestra que no es posible demostrar a través de razonamientos que en efecto no llegaba a contradicciones con sus Principia Mathematica.

Y es que demostrar que los Principia Mathematica no llevaban a contradicción implicaba demostrar que todas sus oraciones propuestas eran verdaderas. El teorema dice que hay oraciones que no pueden ser demostradas ni verdaderas, ni falsas, con lo cual queda descartada la posibilidad de que los Principia Mathematica puedan demostrarse sin contradicciones en sí mismos. Ahora, el artículo de Gödel no sólo habla de los Principia Mathematica, sino también de unos sistemas afines. Estos sistemas afines son aquellos que hablan de cosas distintas a la Matemática, o bien, que hablan de Matemática, pero sin utilizar las oraciones propuestas por Bertrand Russell, aunque siempre utilizando razonamientos. De allí que resultara tan revelador el teorema de Gödel (también llamado teorema de incompletitud de Gödel, en contraste con el teorema de completitud de Gödel que trata de algo diferente) porque las personas pensamos por medio de razonamientos. Uno de tantos sistemas afines es el de los parentescos (que ya ha sido mencionado). Se puede estructurar de manera formal (el término formal se refiere a que utiliza símbolos y esquemas fijos, por ejemplo, fórmulas semejantes a las ecuaciones) el sistema de los parentescos como sigue:

  1. Todo individuo tiene madre y padre biológicos; a éste individuo se le llama hijo de ambos.
  2. Si un individuo es hijo de mi madre o de mi padre, entonces es mi hermano.
  3. Si un individuo es hermano de mi madre o de mi padre, entonces es mi tío en primer grado.
  4. Si algún individuo es la madre o el padre de alguno de mis padres biológicos, entonces es mi abuelo.
  5. Si algún individuo es hermano de mi abuelo, entonces es mi tío abuelo en primer grado.
  6. Si algún individuo es hijo de mi tío, entonces es mi primo en primer grado.
  7. Si algún individuo es hijo de mi tío en primer grado, entonces es mi primo en primero grado.
  8. Si algún individuo es primo en primer grado de mi padre, entonces es mi tío en segundo grado.
  9. Si algún individuo es hijo de mi tío en segundo grado, entonces es mi primo en segundo grado.
  10. Si algún individuo es primo en primer grado de mi abuelo, entonces es mi tío abuelo en segundo grado.
  11. Si algún individuo es la madre o el padre de mi abuelo, entonces es mi bisabuelo.
  12. Si algún individuo es la madre o el padre de mi bisabuelo, entonces es mi tatarabuelo.
  13. Si algún individuo es hijo de mi hermano, entonces es mi sobrino en primer grado.
  14. Si algún individuo es hijo de mi primo en primer grado, entonces es mi sobrino en segundo grado.
  15. Si algún individuo es hijo de mi primo en segundo grado, entonces es mi sobrino en tercer grado.

Nótese que es irrelevante la forzosa utilización del género masculino o femenino (porque se sobreentiende). La lista anterior quizá no aparente ser hecha de fórmulas semejantes a las ecuaciones, pero esto se logra por medio de abreviaciones como H(i,j) que dice i es hijo de j y otras parecidas. El sistema en realidad no ha sido concluido porque pueden establecerse relaciones de parentescos en forma indefinida. Además obsérvese la complejidad que adquiere algo relativamente simple y compárese con la dificultad que debió representar esto para Bertrand Russell en la Matemática.

En Lógica se dice que una oración es verdadera cuando todos los ejemplos que se den de ella la corroboren; en caso contrario se la dice falsa. Por ejemplo, x=x es verdadera siempre que cualquier número se introduzca como ejemplo de ello, por decir, 8=8 de entre tantos posibles. Tómese en cuenta que x=x no se ha dicho que sea absolutamente verdadera, sino verdadera cuando se utilizan números. Esto es importante porque sólo así se delimitan los ejemplos que son válidos para tal o cual secuencia de oraciones de una forma muy precisa. Asimismo, para los parentescos se puede tomar a cualquier familia y corroborar la veracidad de las oraciones propuestas. Sin embargo, aún de las oraciones del sistema de parentescos se pueden obtener oraciones que no son demostrables ni verdaderas, ni falsas; no puede comprobarse que el sistema de parentescos no llega a contradicciones, de la misma forma en que los Principia Mathematica no podían comprobarse en lo mismo. Al teorema de Gödel se le llama de incompletitud porque los sistemas de oraciones que no pueden comprobarse que no deduzcan contradicciones se les llama incompletos. Como se observará, aún cuando todas las oraciones del sistema que componen sean verdaderas, ninguno podrá ser completo (o no incompleto).

El caso de una oración indecidible (que no es deducible ni verdadera ni falsa) para el sistema de oraciones que definen parentescos se puede obtener de efectuar relaciones incestuosas. Por ejemplo, recuérdese en Cien años de soledad la relación entre Amaranta Úrsula y Aureliano. Es la relación entre él y su tía y tienen un hijo, mismo que es primo de él y sobrino en segundo grado de ella; resulta relevante referir que el niño queda como primo en segundo grado y sobrino en segundo grado de él mismo. La cuestión fundamental para entender el teorema de Gödel es si existe la posibilidad de que alguien quede, por ejemplo, como hijo de uno mismo. Esto no está presente en las oraciones del sistema de parentescos, no obstante se sospecharía que su deducción pudiera existir.

La intuición por otra parte sugiere que la oración soy mi hijo y mi padre a la vez es falsa, o bien, que la oración no puedo ser mi hijo y mi padre a la vez es verdadera. A pesar de ello, Gödel logra demostrar que estas oraciones no pueden deducirse verdaderas o falsas a partir de las oraciones del sistema de parentescos. Estas oraciones son indecidibles. No hay que hacer mil y una combinaciones tratando de llegar por medio de deducciones a una o a otra oraciones sobre el parentesco con uno mismo, sino que ningún ejemplo real (de la vida real) comprueba esto como una posibilidad y por lo tanto la oración del tipo no puedo ser mi hijo y mi padre a la vez es efectivamente verdadera, y por supuesto, soy mi hijo y mi padre a la vez es efectivamente falsa.

Aclarando las ideas: 1) Las oraciones respecto al parentesco con uno mismo son correctas y 2) no se pueden deducir verdaderas o falsas dichas oraciones a partir de las oraciones del sistema de parentescos. Esas dos conclusiones son cruciales cuando se habla en términos generales de los sistemas afines porque terminan traduciéndose en 1) Demostrar mediante deducciones lógicas que todas las oraciones de un sistema son verdaderas no es posible (aunque lo sean) y 2) Existen oraciones indecidibles. El punto 1) puede traducirse directamente en todos los sistemas que no llevan a contradicciones son incompletos.

El teorema de Gödel es muy importante para el razonamiento humano. Con él se pueden obtener frases análogas a la obtenida sobre los parentescos. Por ejemplo, la frase El Universo se origina a partir de... y la continuación en cualquier caso es indecidible, porque nada de lo que esté en el universo podría demostrar la existencia de él mismo (el Universo no podría crearse a sí mismo). Otras muy similares son indecidibles, como saber si se en realidad se está soñando o no. En resumen, muchas propuestas por el estilo no tienen respuesta. Y para la Matemática esto constituyó un resultado único que obligaba a los científicos a buscar evidencia firme de que la Matemática representa cosas reales, de la naturaleza, situación que es necesaria para no caer en contradicciones en cualquier deducción.


4 de Octubre de 2012
 
 

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