Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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jueves, 20 de diciembre de 2012

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA LÓGICA


Dada la forma de sentar las bases de un sistema formal (con relatores, funtores, constantes, variables, cuantificador generalizador, implicador y negador junto con los axiomas lógicos, las reglas de inferencia correspondientes y los axiomas del sistema) así como la admisión de modelos y valoraciones correspondientes, se tiene:

Definición 1. Una sentencia (según se las tiene entendidas) es verdadera respecto a un modelo siempre y cuando cualesquiera valoraciones posibles la validen.

Se tienen, por hipótesis, dos sentencias que bajo el mismo modelo resultan verdaderas. Se dice que ambas son consistentes entre sí y que la colección de sentencias que forman es consistente. En general:

Definición 2. Una colección de sentencias y el sistema formal al cual comprenden, se dicen consistentes si para todas las valoraciones posibles de un modelo dado todas las sentencias quedan verdaderas.

Las sentencias de un sistema formal consistente deducen teoremas (sentencias obtenidas de una deducción por medio de las reglas de inferencia, los axiomas lógicos y los axiomas del sistema) consistentes porque se los valora según el mismo modelo. De tal forma, los teoremas también se admiten como parte del sistema formal.

Teniendo un sistema formal desconocido consistente o inconsistente se efectúa una demostración en la cual se deduce cierto teorema. Luego partiendo de otra demostración se deduce la negación del teorema que se obtuvo de la primera demostración. A este tipo de sistemas se les dice inconsistentes (no consistentes) porque no hay forma de que alguna valoración según un modelo dado pueda validar ambos teoremas. Esto es, si se da el caso de un sistema formal inconsistente porque deduce contradicciones (teoremas y sus negaciones) y se impone a éste cualquier modelo, en ningún caso (evidentemente) se podrá observar que las valoraciones determinen que todas las sentencias son verdaderas: si una de las deducidas por el sistema queda verdadera, la negación queda no verdadera, es decir, falsa.

Por esto se expresa el siguiente:

Teorema fundamental de la Lógica. Si de un sistema formal se deduce al menos un teorema y también su negación, entonces el sistema formal se dice inconsistente.


31 de Marzo de 2012

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