Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 22 de diciembre de 2012

FENÓMENOS INDUCTIVOS


CIENTIFICIDAD DE LA MATEMÁTICA

La Lógica pura está determinada por medio de definiciones elementales, básicas, que permiten desarrollar un estudio de las inferencias, o bien, de los esquemas de razonamiento. Este estudio se halla formalizado con simbología biunívoca a los conceptos utilizados para razonar. No era exagerada la denominación que da George Boole a la Lógica pura como el estudio de las Leyes del pensamiento [Laws of thought]. La Lógica pura, la que sólo se invoca para referirse a las inferencias, es corta. Lo mismo ocurre con el resto de la Ciencia. La Biología queda corta si no se liga con la Lógica, la Física y la Química quedan cortas si no se ligan entre sí, etc.

La Lógica formal y pura permite establecer un principio de cientificidad susceptible de la razón, o sea, formalizado. La Ciencia en sí misma es una. La Ciencia se dedica al entendimiento de la naturaleza por medio de investigaciones, pero es con esta formalización que se gana algo más trascendental: no sólo queda el saber por saber sino el saber con motivo, con objetivo. Ningún estudio ha aportado tanto al saber científico como la Lógica pura lo hace por medio del principio de cientificidad formalizado (PC). Ocurre que la Lógica pura no depende del principio de cientificidad para su fundamentación. Es un estudio filosófico, desligado de la evidencia, dependiente de la intuición, el sentido común.

La nobleza de todos los estudios hace que la Lógica deje su pureza para admitir el principio de cientificidad. De esta manera pasa a compartir un puesto junto con todos los estudios que son formalizables. La Ciencia sin Lógica otorga resultados interesantes derivados de la investigación sin motivo, pero con Lógica, la Ciencia gana formalidad y es posible teorizar. Así existen escuelas para cada estudio formalizado de la Ciencia. Cada fenómeno puede adquirir modelos y valoraciones por medio de la Lógica (según como ésta los define).

Todos los estudios formalizados tienen en su definición al tipo de fenómeno bajo estudio y la forma de acceder a él. Física: estudio de los fenómenos corporales por medio de sus interacciónes, Química: estudio de los fenómenos corporales por medio de sus combinaciones, Lingüística: estudio de los fenómenos de la comunicación considerando sus aspectos físicos, fisiológicos y psíquicos, etc. Al fenómeno se accede por su naturaleza; al principio del fenómeno (dado el PC) se accede por la Lógica pura y de allí es posible teorizar entorno a él.

Existe un tipo de fenómeno que, dada su naturaleza, es confundido con aquello que trata la Lógica. Se trata de los fenómenos inductivos. Estos fenómenos se derivan de la observación de patrones, lo que intuitivamente entendemos por repeticiones. A diferencia de la Lógica pura, que viene directamente de la intuición, la Matemática tiene bases evidenciales y, como todos los estudios científicos formalizados, tiene su fundamento teórico, la base que le permite elaborar deducciones, según el PC.

Un tipo de fenómeno inductivo es el siguiente: al agregar algo, la totalidad se ve incrementada y sólo se ve disminuída al retirar algo de ella. La Matemática estudia fenómenos de esta categoría. La evidencia experimental de los fenómenos inductivos se halla en las convenciones que se tengan sobre ellos y que convenzan a cualquiera. Cualquier persona que entiende el fenómeno mencionado puede mostrar un esquema que convencionalmente se asume para representar al hecho en cuestión. Del ejemplo, se podría proponer el siguiente esquema: xxxx, como la totalidad, x como lo agregado, xxxxx como el incremento de la totalidad y xxxx como la disminución de la totalidad al retirar lo agregado.

Convencionalmente se tiene este tipo de esquemas que son la evidencia requerida para validar un principio partiendo de un fenómeno inductivo, según dice el PC que se requiere para cualquier estudio. Quizá el matemático tradicional no perciba su ámbito de esta forma, sin embargo en esto se hallan la mayoría de los problemas que la Matemática sufre actualmente. Siempre se ha tenido este tipo de fenómenos y el matemático normalmente teoriza para demostrar su veracidad. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach es evidencialmente correcta, está formalizada y parece consistente con el resto de los principios matemáticos. No obstante, parte de la comunidad matemática se empeña en demostrar la conjetura por medios exclusivamente teóricos.

Demostrar los fenómenos inductivos con el sólo hecho teorizar equivale a tratar de demostrar el principio de relatividad, en Física, partiendo de teorías previas a él, por ejemplo, Mecánica clásica. El matemático obsecado normalmente rechaza como una situación relevante a la evidencia, pero es crucial que se tenga ésta, con esquemas convencionales como el mostrado. Por ello es que la hipótesis del continuo no encuentra solución: no hay esquema convencional que represente algo por el estilo y que a prueba de toda duda razonable conveza a cualquiera.

La Matemática puede tomar un rumbo más claro si se asume su definición como se ha esbozado y como será presentada a continuación.

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

La Matemática se propone definida como sigue:

Estudio relativo a los fenómenos inductivos a través de esquemas convencionales.

Con esta aclaración sobre lo que es la Matemática, es posible entender la veracidad de los resultados que a la fecha han sido demostrados a prueba de toda duda razonable y será posible hallar resultados inesperados.

Se había mencionado que ligar a los estudios de la Ciencia hace más constructivo su trabajo. La Matemática se puede ligar a la Lógica pura, a la Física, a la Química, etc. En todos estos ámbitos (aún cuando la Lógica pura es intuitiva) hay fenómenos inductivos. Los esquemas convencionales son los experimentos que se efectúan, ya sean experimentos verificables o únicamente propuestos, ficticios. La Lógica pura va aportar a la Matemática la mayor parte de su formalidad. Luego la Matemática le aporta a ésta la mayor parte de sus resultados más sofisicados.

La estructura crucial de razonamiento para la Matemática es el principio de inducción matemática. Se observará con un ejemplo en qué consiste tal principio. Se retoma el ejemplo de los agregados a las totalidades: x se asume como una totalidad, x es la misma totalidad que la anterior, se agrega x a las totalidades, xx queda en ambos casos; se tiene una totalidad del tipo xxx...xx, la misma totalidad xxx...xx se asume aparte, a ambas se les agrega x, xxx...xxx queda en ambos casos como la misma totalidad. Como para las mismas totalidades, sean cuales sean, queda siempre de agregar lo mismo una misma totalidad, entonces una totalidad queda definida por lo que se agregue.

El resultado obtenido del fenómeno se sigue del hecho de haber considerado el análisis evidencial que aporta el esquema convencional. Se ha especificado en qué consiste una totalidad, agregar y el esquema debido. No obstante, el resultado no es obvio sino por un razonamiento. El razonamiento empleado fue el siguiente: se tiene el caso más particular del fenómeno, es decir, aquel inmediatamente derivado de su determinación, y el resultado que aporta; luego se tiene un caso ampliado y arbitrario del fenómeno junto con el resultado que aporta. Cuando el resultado es el mismo para ambos casos, se puede generalizar el resultado a todos los fenómenos determinados de la misma forma. Este esquema de razonamiento es el principio de inducción matemática (PI).

Nuevamente, quizá el matemático tradicional no observe el principio de la misma forma en que aquí se propone. No obstante, la evidencia señala que es posible utilizarlo para los fenómenos inductivos. Debe dejarse de asumir que los fenómenos inductivos tienen una definición. Esto equivale a darle una definición a la comunicación en Lingüística o las fenómenos corporales en la Física y la Química. Más aún, sería como definir a los conjuntos. Se tiene que los fenómenos inductivos sólo pueden ser accedidos (a saberse) por medio de esquemas convencionales que se ha visto validan la utilización del PI. En adelante, todos los resultados matemáticos lógicamente generalizados deben ser presentados en alguna modalidad del principio.

FORMALIZACIÓN

Se había dicho que la Lógica permite formalizar a la Matemática. Esto se logra al formalizar los fenómenos según el PC. Una vez formalizados los fenómenos, es fácil teorizar entorno a ellos con la manipulación de símbolos por medio de los axiomas de la Lógica y ciertas reglas de inferencia.

Ya se había formalizado el fenómeno de los agregados y las totalidades al emplear estos términos para referirse a ellos y luego se obtuvo un resultado. Con cierto rigor se puede únicamente acudir a letras o figuras para representar estos términos sin retomar lo que necesariamente se sabe significan. Por ejemplo, se puede determinar el fenómeno empleado por medio de uno o varios axiomas. Esto quedaría como sigue:

Axioma I. Existe aquel equivalente a la ligadura de otros. Formalmente:

ij∃k=kBij donde Bij dice la ligadura dados i y j.

Con este axioma se observa que si, por ejemplo, =ixxxx y =jxxx, entonces existe =kBxxxx xxx, o sea =kxxxxxxx. Se omiten las palabras agregado y totalidad porque se puede prescindir de ellas dada la formalización. Por ello conviene el PC la utilización de la lógica de primer orden que permite el entendimiento racional y preciso de un fenómeno, a la vez que se obtiene un nivel expresivo suficiente para el mismo (aunque insuficiente al emplear una lengua ordinaria como el Español o el Inglés).

La modalidad de formalidad lógica que aquí se expone es la que evita emplear paréntesis. Es por ello que un conector lógico queda al comienzo de una expresión, que una relación como = se coloca al comienzo de dos variables y no entre éstas y que los cuantificadores afectan a todas las variables al frente de ellos, además de que se evita también el uso de comas entre variables en una relación. En adelante se empleará esta modalidad para toda demostración con lógica de primer orden.

Se puede proceder como sigue para demostrar formalmente lo obtenido:

Teorema I. Existe aquel equivalente a la ligadura de uno consigo mismo. Demostración:

=ij premisa
∀i∃k=kBii por el axioma I.

Con este resultado se procede con una deducción según el PI:

=ix premisa. Aquí x es una constante.
∃j=jBii por el teorema I.
∀k→=kBii=kj porque Bii es constante (en virtud del funtor) y j lo es (por la igualdad).
∃jn+1=jn+1Bijn donde jn es una constante obtenida de sucesivos pasos con =jBii como el inicial.
∀k→Λ=ix=kBijn=kjn+1 porque Bijn es una constante según lo anterior.

Se ha demostrado formalmente el resultado obtenido anteriormente por la evidencia. Así queda con mucha mayor precisión la expresión toda totalidad queda determinada por sus agregados. Esta frase debería ser dividida en dos como lo hace la demostración para decir que la totalidad x es constante y luego que toda totalidad resultado de ligar otras totalidades también es constante.

El PI se ha manifestado al presentar el caso Bii como el que inmediatamente surge del fenómeno (formalizado) y luego al exponer el caso arbitrario con jn. La ventaja observada en la demostración formal para el PI es la posibilidad de introducción del cuantificador generalizador en el razonamiento sin que esto sea sucedido esencialmente por la regla de inferencia de introducción del generalizador del cálculo deductivo de primer orden.

Una vez establecida la forma de teorizar con la Matemática, se procederá a la observación de las teorías que la representan.

ORDEN

El orden es una situación lo suficientemente conocida en tantos ámbitos de la Matemática que en realidad es una parte fundamental de ella. El esquema convencional que se propone muestra lo que se entiende por orden: x xx xxx xxxx xxxxx exhibe que x se halla a la izquierda de xx, que xxx está a un lado de xxxx y de xx, y que xxxxx está a la derecha de xxxx. Estas ideas básicas constituyen un primer paso para la obtención de un orden, es decir, para poder ubicar a cualquiera de los objetos que conforman el esquema.

La formalización del orden es la siguiente:

Axioma 1. O está a la diestra de otro, o el otro a la diestra del primero. Formalmente:

xy¬↔RxyRyx donde Rxy dice x está a la diestra de y.

En este caso estar a la diestra es equivalente a estar detrás o previamente o ser menor que. Esto no tiene importancia: todos estos conceptos son válidos. Lo mismo ocurre cuando se trata de la siniestra. Esto quiere decir que, por ejemplo, de xx y xxxx sólo se puede decir que xxxx se halla a la derecha de xx pero no al contrario.

Axioma 2. Está a la siniestra sólo si no está a la diestra. Formalmente:

xy↔¬RxySxy donde Sxy dice x está a la siniestra de y.

Análogamente al axioma anterior, de x y xxx, si se sabe que x está a la izquierda de xxx, entonces no es posible cambiar la palabra izquierda por la palabra derecha y que la expresión quede correcta.

Axioma 3. Está lateral a otro sólo si el otro el lateral al primero. Formalmente:

xy↔LxyLyx donde Lxy dice x es lateral a y.

Así es posible expresar que xx se halla a un lado de xxx y de igual forma que xxx se halla a un lado de xx.

Axioma 4. Si uno dado está a la diestra de otro, entonces si uno distinto de los anteriores es lateral al primero se tiene que éste se halla a la siniestra. Formalmente:

xy↔→ΛLxyRxy→LxzSxzΛ¬=zy¬=xz¬=xy donde se reconoce el relator = de los lenguajes formales.

Por ejemplo, de xx, xxx y xxxx, que son distintos, se puede decir que xxx está a un lado y a la derecha de xx. Luego, se dice que xxx está a un lado de xxxx, por lo tanto, xxx está a la izquierda de xxxx.

Axioma 5. Si uno dado está a la siniestra de otro, entonces si uno distinto de los anteriores es lateral al primero se tiene que éste se halla a la diestra. Formalmente:

xy↔→ΛLxySxy→LxzRyzΛ¬=zy¬=xz¬=xy

Ocurre como en el caso anterior con xx a la izquierda de xxx y el resultado es xxxx a la derecha de xxx.

Axioma 6. Ninguno es lateral de sí mismo. Formalmente:

x¬Lxx

No se observa que xx sea lateral de sí mismo (y en ningún caso se observa esto).

Axioma 7. Alguno es lateral de otro. Formalmente:

x∃yLxy

Todos, en efecto, están a lado de algún otro.

Axioma 8. Si uno dado es lateral a otro, entonces o está a la diestra o a la siniestra. Formalmente:

xy→Lxy¬↔RxySxy

Con xx se observa, por ejemplo, que xxx está a su lado y a su derecha (si no fuera a la derecha, estaría a la izquierda).

Como se había mencionado, se pueden tener cualesquiera equivalencias. Una de ellas puede ser arriba o encima, abajo o debajo y adyacente. Si se utilizan los relatores correspondientes a estos conceptos y se emplean los esquemas aquí planteados y además se les juntan las sentencias resultantes a los axiomas aquí propuestos, entonces se puede establecer un esquema más completo. Incluso se puede “diagonalizar” esta idea y obtener el esquema de un tablero de ajedrez o algo parecido. No se pone en duda que esta adaptación de axiomas se pueda llevar enésimas veces a cabo y se obtiene una estructura n – dimensional y ordenada. El esquema resultante sería un tablero con casillas en movimiento.

Es importante señalar que si la teorización se había dicho era insuficiente para establecer resultados matemáticos, también es cierto que esta misma puede simplificar los hechos que proceden de fenómenos inductivos. Para el orden, existe el fenómeno inductivo y la formalización, luego se pueden obtener resultados cuyos esquemas convencionales son ciertamente inaccesibles (como las casillas en movimiento).

En una situación así, es válido omitir el esquema para la obtención de teoremas de veracidad razonable; lo que no se admite en Matemática es la obtención de resultados a partir de sentencias lógicas que formalizan aquello que no tiene esquemas convencionales, es decir, cuya referencia a un fenómeno inductivo no exista (como la hipótesis del continuo basada en la infinitud que no tiene, a saberse, esquema convencional asociado).

ARITMÉTICA

Ya se ha expuesto una formalización de la aritmética con la disposición de los agregados y las totalidades. Es un axioma simple que, unido con el orden por medio de una sentencia o varias sentencias adecuadas, permite establecer la teoría de números. Entonces número es la entidad presente en los fenómenos inductivos y estudiada por medio de los axiomas de orden, el axioma de la aritmética (axioma I) y la sentencia o sentencias mencionadas. Las totalidades, según esto, son un caso especial de números. Con esto se dice también que el Cálculo es el estudio del número.

Como en el caso del orden, se pueden formular equivalencias de modelo para el axioma formulado de la aritmética, es decir, se pueden establecer totalidades de totalidades formadas por agregados (modelo de la multiplicación), totalidades de totalidades formadas por totalidades formadas por agregados (modelo de potenciación), etc. Entonces, es posible obtener una “súperestructura” aritmética ordenada n – dimensional. Uno de los modelos más importantes es el que dice Bij la separación dados i y j, lo que vulgarmente se conoce como sustracción. Otro de los modelos reconocidos es Bij la ligadura (o separación) imaginaria dados i y j, o dicho diferente, la suma (o sustracción) de números imaginarios. Las formalizaciones en Matemática pueden abarcar distintas formas del mismo fenómeno inductivo.

Para completar al Cálculo, es necesario establecer la sentencia faltante entre el orden y la aritmética:

Axioma II. Aquel equivalente a la ligadura de otros está a la diestra de estos. Formalmente:

ijk↔ΛRkiRkj=kBij

Los axiomas I, II y la teoría del orden observan por convención un mismo modelo. Por ejemplo, el modelo donde Bij dice la ligadura dados i y j y Rki dice k está a la diestra de i es uno admitido. Otra convención es el modelo donde Bij dice la separación dados i y j y Rki dice k está a la siniestra de i. Obsérvese que en este caso, Sxy quedaría entonces como x está a la diestra de y. Al tener estructuras n – dimensionales se pueden intercambiar modelos, un caso particular es el modelo donde B1ij dice la ligadura dados i y j, R1ki dice k está a la siniestra de i, B2ij dice el producto dados i y j y R1ki dice k está a la diestra de i. Para los relatores con subíndices idénticos se siguen los axiomas y modelos correspondientes en forma única, y para los subíndices distintos se pueden agregar premisas como

ijk↔ΛR1kiR1kj=kB2ij

que son consistentes con lo que comúnmente se conoce como producto de números negativos. El cálculo y sus modelos permiten efectivamente entender a los números (desde el cálculo variacional hasta las más simples adiciones y sustracciones).

Al añadir premisas correspondientes a los modelos se trata de ramas particulares de la Matemática directamente relacionadas con el Cálculo. Algunas de estas son la Probabilidad (con la premisa para toda t, t tiene a la siniestra una constante 0 y a la diestra una constante 1), el Álgebra elemental (con ciertas premisas del tipo producto de números negativos) y la Aritmética euclidiana (con premisas referentes a la divisibilidad de los números – adaptada según el producto –).

REGIONES

Las teorías de conjuntos han sido analizadas por muchos años y suponen el nivel de desarrollo matemático más elevado. Esto tiene una razón muy interesante: se han expuesto las teorías que al momento se conocen en orden cronológico, es decir, aritmética, orden y regiones (considerando que primero se mostró la formalización de la aritmética). Esta cronología se basa en la forma intuitiva en que nos percatamos de los fenómenos inductivos, o sea, normalmente es más fácil percatarse de la adición y sustracción de cosas, luego de su prioridad y finalmente de su delimitación.

Por ejemplo, la gente comienza contando el dinero, se sigue asignando valor al mismo y a las cosas que permite comprar, y finalmente se delimitan las clases sociales respecto a él. Es en ese sentido que la Matemática evolucionó: se crea la teoría de números naturales, se amplía ésta con el orden que otorga la teoría de números reales y finalmente se culmina con el hallazgo de las estructuras algebraicas y la Topología, todo esto a grandes rasgos. No es de extrañarse que los conjuntos sean difíciles de tratar si se consideran las relaciones que deben tener con la aritmética y el orden, además de no ser tan evidente su manifestación esquemática.

Por fortuna, la formalización de las regiones es simple y compatible con los fenómenos inductivos esquematizados con las x. Prosiguiendo con el esquema del fenómeno de las regiones, se tiene: xxxxxx exhibe que x se halla dentro de xx, que aaa se encuentra fuera de xx, y que xxxx está en contacto con xxxxxx (no lateral, sino que podría encimarse xxxx con xxxxxx, o sea, estaría en contacto). Como con la aritmética y el orden, se puede tener una formalización como a continuación:

Axioma A. Si está dentro de otra, entonces no está fuera de esta última. Formalmente:

ij→Dij¬Fij donde Dij dice i está dentro de j y Fij dice i está fuera de j.

Así xxx que está dentro de xxxxx, implica que xxxxx no esté fuera de xxx (porque xxx no basta para cubrir todo xxxxx).

Axioma B. Si está fuera de otra, entonces ninguna está dentro de la otra. Formalmente:

ij→FijΛ¬Dij¬Dji

Según esto, aaa está fuera de xxx (porque las a son distintas de las x), por lo tanto aaa no está dentro de xxx y viceversa (mejor dicho, no se pueden encubrir entre sí).

Axioma C. Está fuera de otra sólo si ésta se halla fuera de la primera. Formalmente:

ij↔FijFji

Un ejemplo es aaaa que está fuera de xxx, y viceversa (porque son distintas entre sí).

Axioma D. Si está dentro de otra, entonces ésta no se halla dentro de la primera. Formalmente:

ij→Dij¬Dji

Con esto, xxxx se halla dentro de xxxxxx y por consiguiente xxxxxx no está dentro de (no cubre a) xxxx.

Axioma E. Si está dentro de otra, entonces se halla en contacto con la otra. Formalmente:

ij→DijKij donde Kij dice i está en contacto con j.

Entonces, xx está dentro de xxxx y se puede encimar xx en xxxx.

Axioma F. Están en contacto sólo si éste es mútuo. Formalmente:

ij↔KijKji

Del anterior, xxxx se puede encimar en xx.

Un esquema convencional puede ser más apropiado en un caso y en otro no. El fenómeno de las regiones se puede acceder con mayor facilidad si se emplean manchas coloreadas o figuras con otras figuras en ellas, etc. Por ejemplo, de ©, c está dentro de O, de c y O, c está fuera de O, y de Æ, A y E están en contacto (por supuesto, c y O también lo están en ©). La Matemática no se restringe al esquema que emplea las x.

Las regiones son una forma de expresar lo que se entiende por conjuntos; los modelos de estos axiomas pueden adaptarse como Dij i pertenece a j, Fij i es exterior a j y Kij i es vecino a j y en general pueden formarse, como en los otros casos, modelos equivalentes. La sentencia necesaria para complementar esta teoría con las ya mencionadas queda como:

Axioma III. Si uno es el resultado de otros que se ligan, entonces los tres están dentro del mismo. Formalmente:

pqr→=rBpq∃sΛDpsDqsDrs

Es claro que asumir la premisa =ix con x una constante implica que s del axioma sea única. Con esta última proposición y la axiomática que precede se logran establecer las bases incipientes de la Matemática conocida. Cabe decirse que las teorías de conjuntos no poseen un éxito indiscutible porque no logran aclarar o ser compatibles con lo que intuitivamente se conoce como conjunto.

Partiendo de este axioma (III) se puede deducir la extensionalidad con la premisa =ix, el axioma de pares con otras dos constantes, la unión, la intersección, y se omiten conceptos como el conjunto vacío y la infinitud (que entorpecen el saber matemático), todo provisto en la teoría de Zermelo – Fraenkel – Skolem. En particular, la infinitud se garantiza con la formalización de la aritmética pero diferenciándola con exactitud, es decir, haciéndola inductiva y no ciertamente infinita. Resultados como las cortaduras de Dedekind, uno de tantos, pueden hablar de un orden inductivo, susceptible del PI, que es intuitivamente más accesible (ciertamente esquematizable) que un orden dados ciertos “conjuntos infinitos”.

RELEVANCIA DE LOS FENÓMENOS INDUCTIVOS

Conceptos tan intrigantes, importantes y discutibles como el cero pueden hallarse con la axiomática de la aritmética, el orden y las regiones al tomar la premisa =i0 con 0 una constante. La funciones pueden observarse de la implementación de modelos apropiados para el Cálculo. El cálculo variacional se obtiene con la definición (o premisa) del límite. Las teorías de estructuras algebraicas se pueden determinar con las regiones, y el Cálculo. Incluso la Geometría puede analizarse partiendo de los axiomas aquí presentes en el instante en que se tiene el Álgebra y la definición de las distintos lugares geométricos.

Se habla de una Matemática establecida en un aspecto más fuerte que la intuición, el PC. Asimismo, el PI queda como esquema de razonamiento crucial por excelencia. La Física y la Química, estudios cercanos a la Matemática, se enriquecen en su formalización porque la mayoría de sus fenómenos son inductivos (sobre todo las mediciones). Se dijo que la Lógica gana resultados muy enriquecidos por la Matemática, esto si se trata de la obra numérica y recursiva desarrollada por Kurt Gödel.

No se propone con los axiomas I, II, III, los de orden y los de regiones, una Matemática demostrable consistente, sino una Matemática con una formalización basada en la experimentación y la evidencia. No es de extrañarse que la Matemática siempre muestre señales de consistencia en sí: al basarse sobre los mismos fenómenos, todo lo relativo a estos debería ser coherente, a pesar de que esto sea indemostrable en su formalización.

Si el PC garantiza un alto grado de certeza, de credibilidad, es necesario admitir que la Matemática se rija (y se haya ido rigiendo desde milenios antes) por él.

31 de Enero de 2012

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