Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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jueves, 27 de diciembre de 2012

LA ARITMÉTICA DE LOS CUERPOS. TEOREMA II.


Teorema II: Toda ecuación de primer grado es resolvible.

Demostración:

ΛRyRaRxRb=y+·axb¬=a0 premisa. Definición de la ecuación de primer grado [ver La aritmética de los cuerpos, 30 de Diciembre 2011; 27 de Diciembre de 2012 en este blog].
=+y-b++·axb-b por el axioma 6.
=+y-b+·ax+b-b por el axioma 14 y el 8.
=0+b-b por el axioma 1.
=+y-b+·ax0 por el axioma 5.
=·ax+·ax0 por el axioma 1.
=+y-b·ax por el axioma 5.
=·/a+y-b·/·a·ax por el axioma 7.
=·+y-b/a··ax/a por el axioma 4.
=·+y-b/a·a·x/a por el axioma 9.
=·+y-b/a·a·/ax por el axioma 4.
=·+y-b/a··a/ax por el axioma 9.
=1·a/a por el axioma 1.
=x·x·a/a por el axioma 7.
=x··a/ax por el axioma 4.
=·+y-b/ax por el axioma 5.
=x·+y-b/a por el axioma 2.
→ΛRyRaRxRb=y+·axb¬=a0 =x·+y-b/a inferida.


La resolución consiste en hallar =xa con Ra. Este ejemplo de demostración es muy simple y podría quedar mejor estructurado con la determinación de ciertos teoremas de uso común. Además, esta expresión de la ecuación de primer grado debe generalizarse. Aún así, el teorema es válido para acepciones como Rg que digan g es imaginario. Con ello se quiere decir que toda demostración en la teoría de cuerpos es aplicable a cualquier cuerpo n – dimensional. Con la adición de ciertas definiciones como la raíz o el logaritmo es posible ampliar los resultados obtenidos en las teoría de cuerpos y en términos generales en las teorías de cuerpos n – dimensionales.

30 de Diciembre de 2011

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