Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 26 de diciembre de 2012

RESOLUCIÓN GENERAL DE LAS PARADOJAS


FÓRMULAS DE OMNIPOTENCIA

Se plantea la paradoja de la omnipotencia de la siguiente manera:

«Sea una entidad omnipotente la cual puede crear un objeto con el cual ni siquiera esta entidad pueda interactuar (aún siendo omnipotente).»

En realidad su planteamiento lógico suficiente se tiene que realizar por medio de lógica de primer orden. En ese sentido las fórmulas que se pudieren plantear no mantienen la sentencia «la entidad es omnipotente» como parte de su suficiencia por lo que se tiene debe definir en esta lógica este concepto.

Así queda:

e(ω(e)↔∀o(c(e,o)Λi(e,o))), o bien, ∀eωe∀oΛceoieo

donde ω(e) (o ωe) es la entidad e es omnipotente, o es el objeto, c(e,o) (o ceo) es la entidad e crea al objeto o y i(e,o) (o ieo) la entidad e interactúa con el objeto o. Se observa claramente que la omnipotencia como sentencia queda independiente de la lógica de primer orden y por tanto se generan fórmulas que completen la definición de omnipotencia.

Con ello se puede vislumbrar que el planteamiento de la paradoja de la omnipotencia depende de asumir como parte de la suficiencia de la lógica al concepto de omnipotencia. Se plantea ahora la fórmula con la cual quedaría esta paradoja:

e(ω(e)↔∃o(c(e,o)Λ¬i(e,o))), o bien, ∀eωe∃oΛceo¬ieo

Este problema resulta de contradecir la proposición inicial que define la omnipotencia. No obstante tampoco constituye parte de la suficiencia de la lógica en la cual se analiza. Sea un sistema S para el cual la definición de omnipotencia es consistente. Si el sistema S es consistente por hipótesis, la definición será verdadera y en consecuencia el problema posterior queda falso. Lo mismo ocurre si se considera consistente a S con el problema pues así sería la definición una proposición falsa.

Entonces no hay forma de entender la razón de la paradoja sino porque al comienzo se asumía verdadera la sentencia la entidad e es omnipotente y se la consideraba como parte de la suficiencia de la lógica. Esta asunción es una proposición indecidible (la suficiencia lógica no tiene que ver con ello) para ambas proposiciones y por ello es la confusión (se asumía verdadera cuando en realidad era indecidible). Esto remite a la resolución general de paradojas que resuelve las paradojas al identificar las proposiciones “verdaderas” como indecidibles.

RESOLUCIÓN GENERAL

Se tiene una proposición que contradice a otra siendo que deberían ser consistentes estas:

r↔p (o ↔rp) es una fórmula de válida para la lógica de primer orden.

p↔q (o ↔pq) se tiene que la proposición necesariamente implica otra fórmula.

q↔¬r (o ↔q¬r) la siguiente proposición se tiene como verdadera.

p↔¬r (o ↔p¬r) la proposición contradice la primera fórmula.

Entonces se ha planteado el esquema general de paradojas. Al igual que con las fórmulas de omnipotencia, esto se puede analizar de forma tal que se halle la consistencia de las proposiciones respecto a un sistema de axiomas. Se sugiere un sistema S. La fórmula r↔p (o ↔rp) resulta consistente con S. Necesariamente, y dada la suficiencia de la lógica de primer orden, la proposición p↔¬r (o ↔p¬r) queda inconsistente, o sea, la primera proposición (por hipótesis) queda verdadera y la última queda falsa.

Con esto último se tiene que alguna de las proposiciones que permiten llegar a partir de la fórmula inicial a una contradicción influye en la formación de la paradoja. Por hipótesis, nuevamente, se supone que q↔¬r (o ↔q¬r) es inconsistente con S y consistente con la última proposición, por lo cual la segunda fórmula, p↔q (o ↔pq), debe ser responsable de la paradoja. Supóngase que esta proposición no puede hallarse verdadera o falsa, esto porque tanto ésta como su falsedad son indecidibles. Entonces en realidad es que se asume verdadera de forma inicial a esta proposición y debería considerarse como indecidible.

Todas las paradojas se originan a partir de proposiciones indecidibles que se asumen verdaderas, esto respecto a un sistema por medio del cual se analiza la veracidad de las proposiciones restantes de la paradoja.

9 de Agosto de 2011

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