Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 26 de diciembre de 2012

SISTEMAS GENÉRICOS


Algunos sistemas formales, dentro de los conocidos y descritos por la Lógica formal, son particularmente notables pues persiguen estructuras que normalmente se utilizan para formalizar diversas situaciones provenientes de la experiencia, de la sugerencia sobre la experiencia, o sobre la no experiencia, el misticismo. A estos sistemas se les llamará genéricos.

SISTEMA GENÉRICO A

Sea un sistema formal donde sus axiomas son todos implicaciones cuya consecuencia es siempre la misma. Esto es:

↔Ψ1Φ
↔Ψ2Φ
↔Ψ3Φ...
↔ΨnΦ son los axiomas.

Obsérvese que de este sistema se pueden deducir implicaciones biunívocas como ↔Ψ7Ψ3 o ↔Ψ4Ψ2, etc. hasta ↔ΨnΨn-1.

Teorema I. Hay un número nℂ2 (combinatorio) de teoremas del tipo ↔ΨrΨs , con r diferente de s, en el sistema genérico A. Demostración:

Ψr premisa
Φ a partir del sistema A.
Ψs del mismo sistema.
Ψs tomando la consecuencia como premisa.
Φ a partir del sistema A.
Ψr del mismo sistema.
↔ΨrΨs inferida. Con ello sólo basta calcular el número de combinaciones según sea el de axiomas en el sistema.

SISTEMA GENÉRICO B

Sea una proposición del tipo →ΦΣ. Al admitir ésta como axioma y juntarla con el sistema A, se obtiene el sistema genérico B. En él existen n teoremas del tipo →ΨrΣ. Se pueden adjuntar cualquier número de sentencias de este tipo y se tendrá aún un sistema B.

SISTEMA GENÉRICO C

Cuando un sistema B presenta además un modelo conocido, y dentro de los axiomas del sistema B hay sentencias cuyo objeto asociado y perteneciente al universo del modelo presenta un número de valoraciones menor a otro dado, se trata de un sistema C. La facultad de categorizar el número de valoraciones respecto a otro dado permite establecer, junto al sistema matemático pertinente, sentencias probabilísticas. Así, una sentencia puede ser valorable con baja o alta probabilidad, esto según sea menor o mayor, respectivamente, el número de valoraciones según el valor conocido. Es claro que la probabilidad de las sentencias valorables con baja probabilidad presentan una probabilidad menor a ½.

SISTEMA GENÉRICO D

Cuando dentro del mismo sistema C se construyen sentencias que evalúan a las sentencias probabilísticas, se tiene un sistema D. Un ejemplo de sistema genérico D es aquel que permite decir al tener una probabilidad menor a ½ se habla de una sentencia poco probable (o rara) en sus valoraciones.

SISTEMA GENÉRICO E

Los sistemas genéricos D que permiten deducir teoremas entorno a las valoraciones correspondientes son sistemas del tipo E. Un ejemplo de teorema es el decir que las valoraciones correspondientes a las sentencias poco probables en sus valoraciones son fantásticas. Nótese que se prescinde del principio de cientificidad [PC, De la ciencia formal, 22 de Diciembre de 2011; 22 de Diciembre de 2012 en este blog] en la definición de los sistemas genéricos descritos. Además también es notable que un sistema E es necesariamente del tipo A, B, C, y D.

SISTEMA GENÉRICO F

Los sistemas formales que presentan un modelo, de los genéricos descritos al momento o no, y que no presentan valoraciones correspondientes son llamados del tipo F. En realidad no presentan modelo como tal porque no presentan valoraciones, sino que presentan objetos asociados y correspondientes que pertenecen a una clase denominada pseudouniverso. Entonces se habla de un pseudomodelo.

SISTEMA GENÉRICO G

Un sistema genérico F con estructura semejante a un sistema E, es decir, un sistema E sin valoraciones (con pseudomodelo) es un sistema genérico G. En este caso como se carece de valoraciones correspondientes, el ejemplo no puede ser expuesto como teorema. En su lugar, lo más válido queda como todo aquello correspondiente a las sentencias poco probables en sus correspondencias es mágico. Nótese que prescindir del PC no implica agregar el término mágico de inmediato.

La mayoría (si no es que todos) los sistemas formales reconocidos pertenecen a alguna de las categorías aquí expuestas de sistemas genéricos. Las disposiciones sobre los términos fantástico o mágico han sido intencionales y pretenden formalizarlos, a la vez que refieren las diferencias lógicas entre cada una de sus acepciones. Por lo mismo, los sistemas genéricos permiten formalizar la manera de análisis de la realidad, ya sea por valoraciones fantásticas o mágicas, o bien, por valoraciones científicas, experimentales, según el PC.

9 de Junio de 2012

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