Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 12 de diciembre de 2012

SOBRE LA INTERPRETACIÓN MATEMÁTICA DEL TEOREMA DE GÖDEL

De manera informal, pero sí precisa y puntual, es posible presentar una demostración parcial del teorema de Gödel, es decir, que sólo presenta implicaciones para la Matemática. El teorema de Gödel en realidad es totalitario, pues sus consecuencias abarcan a toda la Ciencia, misma que se basa en la lógica formal. No obstante, el método que se sigue para la Matemática es análogo al método que en Lógica se sigue para demostrar en su totalidad el teorema en cuestión.

Concretamente, se define una función f(x) que servirá para desarrollar un método inductivo y así obtener un teorema y sus implicaciones de interés. Se sostiene que en todo caso es posible efectuar la operación f(f(x)), y la operación f(f(f(x))). Por ejemplo, para f(x)=2x, queda f(f(x))=2f(x)=2(2x)=4x. Esta muestra es realizable para cualquier función.

Retomando el caso general, la operación puede efectuarse sucesivamente hasta n veces:

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))

Esta expresión es equivalente a sí misma por identidad, de tal forma que se tiene

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))=fn(fn-1(...f2(f1(x))...))

y es éste el teorema del método del cual parte la observación del teorema de Gödel. Dada la inducción, n queda como el valor máximo en la operación fn(fn-1(...f2(f1(x))...)). Si no se declara que n+1 tiene el valor máximo mediante un teorema del tipo

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))=fn(fn-1(...f2(f1(x))...)),

entonces no es posible deducir al mismo.

La sutileza de esta situación de validez del teorema para n+1 implica que existan valores m (como n o n+1) que no pueden ser expresados ni como el valor máximo, ni como un no-valor máximo. No puede decirse que es el valor máximo mientras no se cuente con el teorema del tipo

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))=fn(fn-1(...f2(f1(x))...)),

efecto directo de la inducción del valor en sí. Tampoco puede decirse que es un valor no-máximo porque si se genera el teorema que le da validez, sí es posible decírselo máximo. Expresar a n+1, y en cualquier caso a algún m semejante, como un valor máximo o no, deriva en una sentencia indecidible. En otras palabras, decir que m es máximo es indecidible (ni verdadero, ni falso), esto según el análisis realizado.

Ahora, la expresión sobre si m es máximo o no, se obtiene de la Matemática, pues el teorema

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))=fn(fn-1(...f2(f1(x))...))

faculta las implicaciones referidas. Cuando un sistema formal no puede deducir verdadero o falso a alguno de sus teoremas, se le llama sistema incompleto. Asimismo, cuando un sistema es consistente, todas los teoremas deducidos a partir de él son verdaderos. Entonces, según lo observado con los valores del tipo m, la Matemática puede que sea consistente (pues la inducción es completamente válida para el razonamiento que de ella surge), mas es incompleta, como se ha obtenido de la indecidibilidad de la expresión de m como un valor máximo.

Finalmente, para resumir ideas, se declara:

Teorema I: la Matemática es incompleta.

Y también de lo anterior se declara:

Teorema II: la consistencia de la Matemática es indemostrable.
No es posible deducirla consistente aunque en principio lo sea.

Este método es favorablemente (y se ha expuesto) interpretado para la lógica formal que abarca no sólo a la Matemática, sino a toda la Ciencia. Así, el teorema de Gödel quedaría demostrado en su totalidad.


12 de Diciembre de 2012
 
 

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