Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 12 de diciembre de 2012

SOBRE LAS FUNCIONES DINÁMICAS QUE CARACTERIZAN AL UNIVERSO

Por definición, se tiene formalizada la noción llamada posición como sigue: Sea un cuerpo c (como se reconoce a los cuerpos físicamente, de un modo evidencial, sin definición teórica). Se puede establecer la relación P=P(c) donde P(c) expresa la posición de c.

Se tienen ahora dos cuerpos y se establecen las relaciones P1=P(c1) y P2=P(c2). Se puede determinar una segunda relación de diferencia entre las posiciones P1 y P2: D=D(P1,P2). Se puede definir, además, con otro tercer cuerpo de posición P3=P(c3) que

D1=D(P1,P3)=S(D(P1,P2),D(P2,P3)) = S(D(P2,P3),D(P1,P2)),

donde S(x,y) expresa la suma e x con y.

Las definiciones de S y D permiten establecer que hasta el momento se mantiene (para teorizar sistema físicos) un grupo abeliano.

Convencionalmente, la relación S=S(x,y) se simboliza como S=x+y. Se procederá en adelante con esta notación. También la relación D=D(x,y) se simboliza convencionalmente de otra manera: D=x-y. Se procederá, igualmente, de ésta segunda forma.

Por otra definición se tiene a la coordenada temporal: T=T(c) donde T(c) expresa la coordenada temporal de c. Y las mismas relaciones S y D se establecen para T.

A partir de estas dos definiciones junto con sus relaciones, se define a la función de posición: P=P(T(c)), porque la función se puede transformar, por supuesto, en una del tipo P=P(c) como ya se tenía contemplado. Entonces P=P(T) es completamente válido.

Partiendo de la función de posición, se puede figurar la definición de velocidad: v=P'(T), donde se dice que P'(T) es la derivada de la función de posición. Recuérdese que la derivada se define como:

f'(T)=lím h→0 [f(x+h)-f(x)]/h

Obsérvese que si la posición es una función del tiempo, la velocidad también es una función del tiempo. Por ello se puede definir la aceleración de la siguiente manera: a=v'(T).

Con ello se procede a continuar con los aspectos físicos que implican estas definiciones. En ese sentido se consigue la:

PRIMERA LEY DE NEWTON.

Sea un cuerpo único en el Universo. No hay motivo para que la posición de este cuerpo cambie, es decir, para que cualquier diferencia D entre posiciones sea diferente de cero. Trátese de hallar el motivo. No lo habrá. Esto es porque se observa al cuerpo desde la perspectiva del cuerpo mismo, como si uno fuera parte del cuerpo. Desde la perspectiva del cuerpo, su posición es una constante. Entonces, su velocidad es cero, lo mismo que su aceleración.

Sin embargo, esta condición no es la única que arroja una aceleración cero. Cuando la velocidad es constante, la aceleración también es cero. Y si la velocidad es constante, la posición se representa por una función P=k1·T+k2, donde la relación x·y es un producto (una ampliación algebraica de la relación de suma que deriva en un anillo abeliano), y k1 y k2 son constantes. Entonces la posición del cuerpo varía. Cuando T=0, la posición es una constante, tal y como se prevee inicialmente. Entonces para el caso propuesto al comienzo, la coordenada temporal es cero únicamente.

La primera ley de Newton dice: si no hay modificación en la velocidad de un cuerpo, es porque no hay motivo (fuerza) que la altere.

Se ha observado el caso particular, cuando la velocidad del cuerpo es cero. Sin embargo, cuando la velocidad es constante, en efecto, no hay fuerza para alterarla. La aceleración, en este caso, es cero. La posición del cuerpo puede cambiar y aún así, la fuerza tal no está presente. Esto es, la fuerza no implica que las coordenadas temporales del cuerpo cambien. Se dice que un cuerpo con velocidad es un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme (MRU). El cambio de las coordenadas temporales de un cuerpo implican un MRU. O en palabras comunes, algo ocurre cuando las coordenadas temporales cambian: ocurre el MRU. La modificación de la posición de un cuerpo no requiere de motivos.

La primera ley de Newton faculta a determinar la:

TERCERA LEY DE NEWTON.

Sean dos cuerpos en el Universo. Ya hay un motivo que implique la modificación de la velocidad de ambos (puesto que si uno de los cuerpos es influido es lógico pensar en la acción recíproca). Ya hay una fuerza que acelere a ambos cuerpos.

La tercera ley de Newton dice: la presencia de dos cuerpos implica una influencia mútua de estos.

En efecto, se influyen mútuamente porque se aceleran entre sí. Incluyendo notación, Fab=0 cuando la velocidad del cuerpo es constante. Fab expresa la influencia de a en b (la fuerza que ejerce a en b). Esto por la primera ley de Newton. Cuando Fab tiene otro valor, es porque hay un cuerpo a actuando sobre otro cuerpo b y viceversa. Entonces, Fab=-Fba representa esta característica definitoria de las fuerzas. Obsérvese que Fab+Fba=0. Esto es que dentro del sistema de cuerpos que forman a y b no hay fuerzas. Hay una fuerza de a manifestada en b, y viceversa. Pero para a y b juntos, como son los únicos cuerpos del Universo, no hay fuerza presente. Esto concuerda con la primera ley.

Estas dos leyes permiten definir esencialmente a una fuerza. Cuantitativamente se la puede determinar mediante la:

SEGUNDA LEY DE NEWTON

Cuando un cuerpo no es influido por una fuerza, entonces su aceleración es cero, esto según la primera ley. Ahora, sea un cuerpo que inicialmente único en el Universo. Su velocidad es constante. Posteriormente, aparece y desaparece un segundo cuerpo mientras ocurre para éste un cambio D(T) de sus coordenadas temporales. Entonces hay una fuerza que acelera al primer cuerpo, y por consiguiente cambia su velocidad. En resumen, las fuerzas (por muy mínima que sea la duración de su influencia) son la causa del movimiento; son la causa de que ocurran eventos en el Universo.

Hay aceleración cuando la fuerza se presenta. Esto es, a=a(T) tiene un valor. Siendo coherentes con la primera ley, a=0 cuando no se manifiesta ninguna fuerza. Por lo mismo, Fab=Fab(a(T)), y más precisamente, Fab es directamente proporcional a a(T) (porque si a=0, Fab=0 como caso exclusivo lo confirma). Dado que las fuerzas se manifiestan en presencia de los cuerpos, debe depender su magnitud de alguna de las propiedades de los mismos. Sea pues, Fab=Fab(Y(a),Y(b),a(T)), donde Y(x) expresa alguna propiedad de x. Cuando el cuerpo b no está presente (cuando el a es el único en el Universo), la Fab=0. Del mismo modo ocurre para el cuerpo a. Entonces, también Fab es directamente proporcional a Y(a) y Y(b).

Estas propiedades se pueden sumar para hablarse de la propiedad Y(a+b) del sistema que constituyen a y b. Esto es, Y(a+b)=Y(a)+Y(b). El cálculo a continuación empata con el hecho de que al no estar presente ya sea a o b, el valor del sistema restante (sólo b o sólo a) es el valor de la propiedad del cuerpo que sí está presente. La propiedad debe expresar la presencia de los cuerpos en el Universo. Por la suma de propiedades, si Y(a+b) es una constante (puesto que los cuerpos no se modifican), se tiene que Y(a)=Y(a+b)-Y(b). Y(a) es una función de Y(b) (porque Y(a+b) que representa a la propiedad del sistema de cuerpos es una constante) y esto implica que Fab=Fab(Y(a),Y(b),a(T)) quede únicamente expresada como Fab=Fab(Y(b),a(T)). La coordenada temporal T es dada para el cuerpo b en este caso (ya que es aquel que la determina).

La segunda ley de Newton dice: toda fuerza es calculable por medio de la función Fab=Fab(Y(b),a(T)) donde Fab es directamente proporcional a Y(b) y a a(T). La propiedad Y(x) es una intrínseca del cuerpo x en cuestión.

Si bien Newton propone originalmente que Fab=Y(b)·a(T), existe evidencia (relativista y cuántica) de que no es así la función como debería ser expresada. Por esta razón se somete a un cambio la segunda ley y se considera que Fab=Fab(Y(b),a(T)) con una regla de proporcionalidad directa. Convencionalmente, la propiedad Y(x) es expresada como la masa de x.

De una forma aún más específica, las fuerza Fab quedaría expresada como Fab=Fab(Y(b),T), mostrándose que es dependiente de las coordenadas temporales. En palabras comunes, las fuerzas ocurren al ritmo que los eventos del Universo (que son únicamente representables por el movimiento de sus cuerpos) ocurren.

Esta conclusión comprueba que las tres leyes son suficientes para describir a detalle al Universo en sus cuestiones más fundamentales, y en sus efectos. No describe su origen, sino los eventos que en él se llevan a cabo (sus movimientos). Describir al Universo sólo depende de detallar la naturaleza de las fuerzas, mismas que se miden por medio de la detección de los cambios de velocidad y de la determinación de las masas. Finalmente, esto depende de determinar con suficiente precisión tanto las posiciones, como las coordenadas temporales. El Universo sólo depende de las propiedades de estas magnitudes.

2 de Agosto de 2012
 
 

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