Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 12 de diciembre de 2012

SOBRE LAS SENTENCIAS FALSAS

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc. A continuación, la cuestión planteada.

Sea a continuación la definición formal de falsedad:

iFij¬Mji

Aquí Fi dice i es falsa y Mji dice j aplica como valoración válida de i. Por ejemplo, si i es la ecuación de la ley de gravitación universal de Newton, en los casos donde es falsa (en los límites de la teoría de la relatividad) conociendo las masas que aplican como valoración de una parte de dicha ecuación, entonces queda que las distancias válidas entre las masas no aplican como valoraciones válidas para el caso. La ley de gravitación universal es falsa para tales efectos.

Es así que se puede deducir lo siguiente:

Fa premisa.
j¬Mja de la definición dada.
¬Maa para el símbolo a.

Entonces, partiendo de que la definición es correcta y de la premisa a es falsa, se deduce que a no puede valorarse a sí misma. Esto es, a no puede ejemplificarse como una falsa en sí misma. De allí que tampoco pueda referirse a sí misma en cuanto a su falsedad, de lo contrario, llegaría a una contradicción. Así, frases como Para a falsa, a es falsa [o particularmente, Esta oración es falsa.] conllevan a obtener sistemas inconsistentes.



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