Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

·

La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

·

jueves, 20 de diciembre de 2012

TEOREMAS LÓGICOS. TEOREMA DE UNICIDAD.

Teorema: todas las proposiciones idénticas a otra (y que estén ligadas por las mismas variables) corresponden a una misma única (y suficiente) proposición del mismo tipo (ligada a las mismas variables) que esta otra.

Se proponen tantas primitivas como proposiciones iniciales:

ψ1C1x1φ1 con φ1 ligada a x1 y C1 alguno de los cuantificadores.
ψ2C2x2φ2 con φ2 ligada a x1 y x2.
ψnCnxnφn con φn ligada a xi con i desde 1 hasta n.

Las proposiciones φi se han ligado ya que teniendo, por ejemplo, a φn sólo ligada a xn, entonces quedaría indecidible de las demás. Si esto se hiciera con todas las φi, estas quedarían indecidibles entre sí y las conclusiones obtenidas quedarían igualmente indecidibles. Así, tener a las proposiciones ligadas hace una reducción del análisis a conclusiones decidibles. De cualquier forma, las proposiciones son del tipo ψiψj, permitiendo obtener deducciones reducidas con grado menor al de ψn.

Ahora, ≡CixiφiCjxjφjφiφjCixiφiCjxjφj, lo cual implica que todas las proposiciones ligadas a las mismas variables son equivalentes. Ahora, en ese sentido, ψi está ligada a las mismas variables que φi, es decir, ψi es del tipo de proposiciones φ.

Es así que ≡CixiψiφiψiCixiφiψiCixiφi. Esto claramente implica que ψiφi considerando que son ligadas por las mismas variables, o que son del mismo tipo, lo cual prueba el teorema.

23 de Septiembre de 2011

No hay comentarios:

Publicar un comentario