Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 5 de enero de 2013

LA FÓRMULA DE HERÓN


Sean a, b, c las medidas de los lados del triángulo Δabc. A su vez, α, β, γ son los valores de los ángulos opuestos a cada lado, respectivamente. Una vez caracterizado el triángulo, es posible desarrollar la demostración de la fórmula que Herón propone para calcular el valor del área de un triángulo en función de las medidas de sus lados:

A=B·h/2 donde A es el valor del área del triángulo en cuestión; B es la medida de la base del triángulo y h la medida de la altura.

Considerando que la medida de la base es B=b, el valor de la altura se deduce h=a·sen(γ). Por lo tanto, la demostración es como sigue:

A=a·b·sen(γ)/2 tiene validez en virtud de las inferencias hechas.
c2=a2+b2-2a·b·[1-sen2(γ)]1/2 brinda el valor de c según la ley de cosenos.
sen(γ)={1-[(a2+b2-c2)/(2·a·b)]2}1/2 da el valor de sen(γ) por lo anterior.
A=a·b·{1-[(a2+b2-c2)/(2·a·b)]2}1/2/2 el valor del área en función de los lados.

A pesar de tener el valor del área del triángulo en función de las medidas de sus lados, no se tiene la fórmula deducida por Herón, en términos del semiperímetro del triángulo. Para ello se continúa la deducción:

A={4·a2·b2-(a2+b2-c2)2}1/2/4 simplificando la suma en la raíz cuadrada.
A={(2·a·b+a2+b2-c2(2·a·b-a2-b2+c2)}1/2/4 factorizando la diferencia de cuadrados.
A={[(a+b)2-c2]·[c2-(a-b)2]}1/2/4 factorizando los binomios cuadrados.
A=[(a+b+c)·(a+b-c)·(c+a-b)·(c-a+b)]1/2/4 factorizando las diferencias de cuadrados.
....
A=[(a+b+c)/2·(a+b-c)/2·(c+a-b)/2·(c-a+b)/2]1/2 por ser equivalente.
S=(a+b+c)/2 S es el valor del semiperímetro.
A=[S·(S-c)·(S-b)·(S-a)]1/2 dada la premisa anterior.

Y finalmente, se obtiene la fórmula de Herón, A=[S·(S-a)·(S-b)·(S-c)]1/2, que es una forma simple para el cálculo del área en función de las medidas de los lados de un triángulo.


5 de Enero de 2013

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