Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 4 de enero de 2013

TEORÍA DE PROCESOS

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc. A continuación, el sistema planteado.

LENGUAJE FORMAL Y SISTEMA

Axioma 1. No es suceso sólo si al pertenecerle otro éste sea suceso. Formalmente:

ij↔→εijσi¬σj donde εij dice i pertenece a j y σi dice i es suceso.

Axioma 2. Si le pertenece alguno y no es suceso entonces es proceso. Formalmente:

j→∃iΛεij¬σjPj donde Pj dice j es proceso.

Axioma 3. Si son sucesos, entonces cumplen la ley de tricotomía. Formalmente:

ij→ΛσiσjV$ij$ji=ij donde $ij dice i es previo a j y =ij dice i es el mismo que j.

Axioma 4. Es previo al otro sólo si no es el mismo que éste y tampoco el último es previo al primero. Formalmente:

ij↔$ijΛ¬=ij¬$ji

Axioma 5. Los procesos son los mismos si les pertenecen los mismos elementos. Formalmente:

ijk↔ΛPiPj=ij↔εkiεkj

TEOREMAS

Teorema I. Ninguno pertenece a sí mismo. Demostración:

εii tesis.
Λσi¬σi por el axioma 1.
∀i¬εii por reducción al absurdo.

Teorema II. Ninguno es previo de sí mismo. Demostración:

=ii premisa.
¬$ii por el axioma 4.
∀i¬$ii porque =ii es verdadera por axioma lógico.

Con el sistema anterior se describe a los procesos, es decir, qué ocurre con lo que pertenece a ellos y como identificarlos. Se han mostrado algunas consecuencias de dicha descripción y se espera que cualquier conclusión derivada del sistema sea válida de lo que se entiende por proceso intuitivamente.

25 de Diciembre de 2011

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