Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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domingo, 28 de abril de 2013

SOBRE LAS COLISIONES DE LA MATERIA



de las funciones de estado.


Para Benito Pantoja, el maestro por excelencia.
Para Dolores y Rodolfo; grandes personas.


ANÁLISIS CUALITATIVO DE LAS COLISIONES

Una colisión es el efecto que originan las fuerzas sobre el momento de los cuerpos. Fuerza es la interacción (sea lo que sea que signifique la palabra «interacción», pero es una circunstancia medible) entre dos cuerpos. El momento de un cuerpo es la relación que existe entre la masa y la velocidad de un cuerpo. La masa es aquello que de un cuerpo impide la modificación indiscriminada de su velocidad, el cambio de posición respecto al tiempo. Entonces, el momento es calculable por el producto entre el valor de la masa del cuerpo y el valor de la velocidad que adquiere el cuerpo por efecto de alguna fuerza.

Las colisiones pueden analizarse desde su perspectiva vectorial, sumando valores de momento en virtud de la ley de conservación del momento, o bien desde su perspectiva energética. La energía es la influencia de cualquier fuerza sobre el estado de un cuerpo; qué tan lejos está del cuerpo que ejerce una fuerza sobre él y a qué velocidad se mueve respecto a él. Para determinar energía según las posiciones entre cuerpos se calcula el trabajo. El trabajo es la influencia que presenta una fuerza sobre un cuerpo dada una determinada trayectoria. Entonces, se calcula con el producto de la fuerza (donde por la segunda ley de Newton va implícito el valor de la masa del cuerpo de forma directamente proporcional) y el valor de la trayectoria lineal que siga el cuerpo. Si el cuerpo sigue una trayectoria curva, esta última es dividida lo más posible para obtener distintas trayectorias lineales, es decir, que de una curva mientras más se divide en secciones se obtienen fragmentos cada vez más lineales. De allí que la trayectoria se divida lo más posible, y con ello se calculan los distintos trabajos de acuerdo a la fuerza según cada fragmento lineal; al final se suman todos los trabajos para obtener el trabajo total. Si se obtiene el trabajo total entre dos cuerpos dada una trayectoria, se ha obtenido entonces la energía necesaria para justificar la posición entre éstos. El trabajo es un tipo de energía, según señala lo anterior, es decir, el llamado teorema del trabajo y la energía.

Para justificar la velocidad de un cuerpo respecto a otro, la energía calculada es la energía cinética. Si se pretende efectuar el cálculo del trabajo de un cuerpo en movimiento, considerando su velocidad y no su posición, entonces se observa al momento como objeto del cálculo. De acuerdo a la segunda ley de Newton, las fuerzas hacen que el momento presente variaciones en su valor a través del tiempo; esto se observa igualmente de las colisiones. Entonces, si estas variaciones del momento otorgan el valor de la fuerza, es posible efectuar el producto con el valor de la trayectoria. Si el valor del momento se modifica con el paso del tiempo, también lo hace el valor de la trayectoria, pues el tiempo no deja de transcurrir y el cuerpo no deja de moverse (el momento está variando). Entonces se observa que en el cálculo del trabajo empleando el valor del momento y las variaciones de la posición respecto al tiempo pueden, como la definición dinámica lo dice, reemplazarse estos términos por la velocidad del cuerpo en un instante determinado. En otras palabras, el cuerpo se mueve y su posición cambia respecto al tiempo, por lo cual la velocidad influye en el cálculo del trabajo, la energía cinética. Y el cálculo del trabajo del cuerpo en movimiento es el producto de los valores de variación de momento para una trayectoria y el valor de la velocidad que el cuerpo adquiere. Si el cuerpo pasa del reposo al movimiento, el cambio del momento es simplemente equivalente al momento del cuerpo. Por lo tanto, la energía cinética, el trabajo de un cuerpo en movimiento, se calcula por el producto del valor de la masa del cuerpo y el cuadrado del valor de su velocidad.

Las colisiones evidentemente pueden aprehenderse a partir del análisis energético. Aunada se tiene la ley de la conservación de la energía, donde la energía total que se manifiesta en un cuerpo es siempre igual a la suma de las distintas energías que se manifiestan en el cuerpo, es decir, a la suma del trabajo y la energía cinética. De acuerdo con la caracterización del Universo que es posible sólo a partir de las fuerzas, estos dos tipos de energía son los únicos posibles. Generalmente, a la energía total que sobre un cuerpo se manifiesta es conocida como entalpía. Realmente la energía que se manifiesta en un cuerpo es la energía intrínseca a los dos cuerpos, el cuerpo en cuestión que sirve para el análisis y el cuerpo que genera la fuerza sobre el primero. Al trabajo debido a la posición de un cuerpo respecto a otro se le denomina también energía interna. Sin embargo, mantener a los cuerpos en una posición dada no requiere sólo de la energía interna, pues en cierto modo no explica su movimiento uno respecto al otro. Aparte, y lo más importante, para calcular la energía interna correctamente es necesario partir de una región donde el trabajo tiene un valor de cero, o sea desde donde no hay interacción hasta donde la hay. Los cuerpos deben estar lo suficientemente alejados para que no exista tal interacción (posiblemente, aunque sólo sea en forma de premisa, en “Universos distintos”). Entonces, si se hace llegar a una determinada posición al cuerpo respecto a otro que ejerce una fuerza sobre el primero, esto no evitará que la fuerza no siga actuando y se procure el consiguiente cambio del momento del cuerpo del análisis. Para evitarlo es indispensable, para efectuar el cálculo de la entalpía, someter al cuerpo bajo análisis a otra fuerza ejercida por un agente externo, un cuerpo cuya influencia es irrelevante para el cuerpo que origina la fuerza por abatir. Es una cuestión de «llegar y luego mantenerse». Entonces el valor de la entalpía consiste en la suma de los valores de la energía interna y el trabajo ejercido por el agente externo para abatir la fuerza generada entre los dos cuerpos.

Simbólicamente, la suma de los trabajos señalados en la entalpía se observa como sigue:

H=U+W, donde H representa al valor de la entalpía, U al valor de la energía interna y W al valor del trabajo del agente externo para mantener a los dos cuerpos en la posición dada.

El cálculo de la energía interna, el trabajo que implica mover al cuerpo desde una región de influencia nula hasta la región del estudio, se efectúa por la suma de los trabajos necesarios para abatir las influencias electromagnéticas que afectan a ambos cuerpos. Si los cuerpos son idénticos y neutros eléctricamente, o sea que no presentan cargas eléctricas, no habría interacción entre los mismos de forma apreciable. Respecto a la influencia eléctrica, la influencia gravitacional es casi nula. Lo mismo para cualesquiera de las demás existentes, las nucleares. De allí lo anterior. Si los cuerpos son neutros eléctricamente, las influencias electromagnéticas se ofrecen de suponer que la estructura de los cuerpos está conformada por cuerpos cuyas cargas sean o bien neutras, o bien tanto eléctricamente positivas como negativas, en la misma cantidad. El valor positivo o negativo de las cargas no es fundamental: la influencia neta es la misma dado que ambos cuerpos son neutros y presentan tanto cargas positivas como negativas. Se supone para el cálculo que las cargas positivas de uno de los cuerpos influyen sobre las cargas negativas del otro. Si el cuerpo del análisis es movido en un periodo de tiempo lo más amplio posible, es decir, de forma cuasiestacionaria, entonces el campo magnético (según la relación de Lorentz, donde la influencia magnética es proporcional a la velocidad del cuerpo bajo análisis) no influye, pues la velocidad es aparentemente nula. Por lo tanto, sólo se consideran influencias eléctricas que se rigen por la ley de Coulomb. Si se realiza el movimiento de forma cuasiestacionaria, la influencia entre las cargas eléctricas de los cuerpos es permanente. Con todas las consideraciones referidas, el valor de la energía interna se calcula como sigue:

U=KE·q2/r, donde KE es la constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb (KE=8.99x109 N·m2/C2), q es el valor de la carga neta que influye de cada cuerpo, y r es el valor de la separación entre los cuerpos, misma que refleja la posición de uno respecto al otro.

Para calcular el trabajo del agente externo se analiza cómo actúa la fuerza ejercida por el agente sobre el cuerpo del análisis. Si las cargas que interactúan con mayor notoriedad son del signo contrario, entonces el agente externo debe actuar en el sentido contrario de la atracción de los cuerpos (si los cuerpos conllevan cargas de signo contrario –positivo y negativo–, se atraen, si es del mismo signo se repelen) y si son del mismo signo debe actuar en el sentido contrario a la repulsión de los cuerpos. Ambos casos son igualmente probables, por lo tanto se supone que ocurren uno después del otro, primero atracción y luego repulsión. Esto hace que el cuerpo del análisis, sometido a las influencias eléctricas y al agente externo oscila, es decir, la posición del cuerpo varía con un vaivén. Este vaivén es expresable a través de funciones senoidales o cosenoidales a través del tiempo, como se observará posteriormente. Esta oscilación fue propuesta por Van der Waals inicialmente. El cálculo del trabajo del agente externo se efectúa, por la naturaleza oscilatoria del cuerpo de análisis, a través de la relación de Hooke sobre la elasticidad. Es sabido que los cuerpos elásticos oscilan de la misma forma que el cuerpo del análisis lo hace respecto al cuerpo que lo influye. Como son de la misma naturaleza que los cuerpos estudiados por Hooke, son materia del mismo tipo, se aplica sin distinción esta relación:

W=-½·k·r2, donde k es la constante de elasticidad en la ley de Hooke. Los demás términos son iguales a los conocidos.

El valor de la entalpía considerada al comienzo del análisis queda a partir de las consideraciones tomadas como sigue:

H=KE·q2/r-½·k·r2

Como se ha mencionado antes, el posicionamiento de los cuerpos uno respecto al otro no es la única manifestación observable. También lo es el movimiento del cuerpo de análisis respecto al otro. Así que es factible la aplicación de la ley de conservación de la energía:

K=H, donde K es el valor de la energía cinética en el sistema.

La expresión de entalpía puede reemplazarse en lo anterior; la energía cinética puede reemplazarse por su definición:

½·m·v2=KE·q2/r-½·k·r2, donde m es el valor de la masa del cuerpo del análisis y v el valor de la velocidad que presenta dicho cuerpo respecto al otro. El término a la izquierda es, como se ha descrito, correspondiente al cálculo de la energía cinética.

Aunque se tratan de dos cuerpos, obsérvese que se estudia sólo a uno de los cuerpos porque la referencia de posición inicial puede considerarse en uno de los cuerpos. Si desde alguno de éstos se calculan ya sea la energía cinética o el trabajo del agente externo, las influencias de uno respecto al otro sólo son observables en aquel cuerpo bajo estudio. El otro se supone no se mueve, pues todo se observa respecto a él. Así, los valores de energía señalados sólo dependen de uno de los cuerpos (además son idénticos ambos). Para el caso de la energía interna, el cálculo considera la carga de ambos cuerpos. Esto porque la referencia no radica en uno de éstos, sino en una región independiente de los mismos.

ANÁLISIS CUANTITATIVO DE LAS COLISIONES

Hasta este punto, la descripción energética de las colisiones entre cuerpos se supone completa a nivel descriptivo, o sea cualitativo. Ahora se procede a la consideración de los cálculos, que otorgan precisión a lo dicho anteriormente y permiten la predicción de conclusiones entorno a la naturaleza de los cuerpos. Para ello, se considera que la fuerza neta que nunca deja de ser ejercida sobre el cuerpo del análisis (porque siempre está oscilando) es equivalente a aquella abatida por el agente externo aunada a la fuerza neta generada por la interacción eléctrica entre los cuerpos. Esto se representa como sigue:

F=m·rtt=KE·q2/r2-k·r, porque la segunda ley de Newton implica el valor de la aceleración del cuerpo del análisis definida por la variación respecto al tiempo de su velocidad (rt), es decir, rtt.

El cálculo de las posiciones entre los cuerpos depende de una ecuación diferencial. La resolución es compleja si se considera variable el término eléctrico, donde el valor de la posición es inverso y está elevado al cuadrado. Para simplificarlo, se procede a obtener el valor promedio de dicho término:

FE-prom=∫[KE·q2/r2]·dr/∫dr, donde FE-prom representa al valor promedio de la influencia elétrica. Los límites de ambas integrales se hallan entre la posición mínima (rmín) y la posición máxima (r0) que adquiere el cuerpo del análisis.

Resolviendo las integrales, se obtiene:

FE-prom=KE·q2/(r0·rmín)

Una vez modificada la influencia eléctrica a su promedio, que es constante, se retoma la expresión diferencial y queda de la siguiente forma:

rtt+k·r/m=KE·q2/(m·r0·rmín)

Si a través de la transformada de Laplace se resuelve la expresión, el valor de la posición entre los cuerpos se deduce expresado así:

r(t)=[r(0)-KE·q2/(k·r0·rmín)]·cos[(k/m)1/2·t+φ]+(k/m)1/2·rt(0)·sen[(k/m)1/2·t+φ]+KE·q2/(k·r0·rmín)

Para conservar la coherencia, de la expresión r(0)=r(0) debe ser válida a partir de la ecuación obtenida. En tales condiciones, φ, que es un término constante derivado del cálculo a partir de la transformada (término que expresa el ángulo de desfasamiento de la oscilación del cuerpo de análisis) es igual a cero. Asimismo, es lógico asumir que la medición de la posición inicial r(0) se efectúe cuando el cuerpo del análisis se halla a la separación máxima respecto al otro cuerpo. Por lo tanto, la velocidad rt(0) es equivalente a cero, al igual que se asumió anteriormente. Entonces, r(0)=r0 y rt(0)=0:

r(t)=[r0-KE·q2/(k·r0·rmín)]·cos[(k/m)1/2·t]+KE·q2/(k·r0·rmín)

De esta expresión es posible analizar sus condiciones limitadas, es decir, entre los valores máximos y mínimos que puede adquirir la función coseno. Si ésta, la función, presenta un valor de 1, entonces se trata del tiempo inicial en cuanto a la medición de la separación se refiere durante la oscilación. También puede tratarse de tiempos de valor 2·z·π·(m/k)1/2 (z es cualquier número natural). Si la función presenta un valor de 0, es decir, a un tiempo ½·π·(m/k)1/2 ó (½+z)·π·(m/k)1/2, entonces se observa que el valor de la separación entre los cuerpos es igual al valor de la separación media KE·q2/(k·r0·rmín). Si la función presenta un valor de -1, o sea a un tiempo π·(m/k)1/2 ó (2+z)·π·(m/k)1/2, entonces se observa que el valor de la separación entre los cuerpos es igual al valor de la separación mínima: es el valor mínimo que puede alcanzar la función del valor de la separación entre los cuerpos. Para este último caso, la expresión arroja lo siguiente:

rmín=2KE·q2/(k·r0·rmín)-r0

Entonces es posible expresar el valor de la separación mínima en función de la separación máxima:

rmín=½·{[r02+8·KE·q2/(k·r0)]½-r0}

Si la velocidad de valor nulo para el cuerpo analizado implica que la energía cinética también lo sea, queda, retomando la expresión de la entalpía a partir de la ley de conservación de la energía, como se muestra a continuación:

0=KE·q2/r0-½·k·r02

Si se despeja el valor del radio, se llega a:

r0=21/3·(KE·q2/k)1/3

Por lo tanto, si se sustituye dicho valor en la expresión del valor de la separación máxima, el resultado obtenido es rmín=(¼)1/3·(51/2-1)·(KE·q2/k)1/3. De la expresión cuadrática se considera la raíz positiva porque las separaciones sólo tienen valores positivos. Asimismo, la expresión del valor de la separación media es la siguiente:

rprom=KE·q2/(k·r0·rmín)=321/3·(1+51/2)·[KE·q2/k]1/3

Entonces, la expresión del valor la separación entre los cuerpos para cualquier tiempo se calcula como:

r(t)=21/3·[KE·q2/k]1/3·{[1-24/3·(1+51/2)]·cos[(k/m)1/2·t]+24/3·(1+51/2)}

O bien, con j=24/3·(1+51/2):

r(t)=21/3·[KE·q2/k]1/3·{(1-j)·cos[(k/m)1/2·t]+j}

Ésta es la ecuación representativa de la posición de un cuerpo respecto a otro en las condiciones que se han descrito desde el comienzo. Por supuesto, también se pueden deducir tanto los valores de velocidad como de aceleración de cualquiera de los dos cuerpos (puesto que ambos son idénticos):

v(t)=rt(t)=21/3·(k/m)1/2·[KE·q2/k]1/3·(j-1)·sen[(k/m)1/2·t]
y
a(t)=rtt(t)=21/3·(k/m)·[KE·q2/k]1/3·(j-1)·cos[(k/m)1/2·t]

ANÁLISIS GEOMÉTRICO DE LAS COLISIONES

Una vez señalada la función que describe la separación r entre los cuerpos, es posible calcular el volumen de interacción que éstos representan. Se define a dicho volumen como el espacio donde ambos cuerpos presentan influencia mutua. Para el caso expuesto, se trata del espacio comprendido entre las dos esferas que abarcan cada cuerpo. Esto es, uno de los cuerpos abarca con su interacción toda una esfera cuyo radio es la separación respecto al otro cuerpo. Lo mismo aplica en el otro sentido al referirse a este último. Entonces el volumen de interacción que ambos cuerpos forman es el encontrado para ambas esferas cruzándose, pues la superficie de cada una alcanza a cubrir la región donde se encuentra el otro cuerpo, menos el volumen de la región de cruce. En el diagrama a continuación se exhibe la situación:



El volumen de interacción abarca toda la región mostrada. El volumen depende del valor de r. Con métodos de cálculo se determina que la región presenta un volumen de interacción vint cuyo valor es el siguiente:

vint=9·π·r3/4

Por lo tanto, el volumen de interacción es variable respecto al tiempo, según muestra la ecuación de la separación entre los cuerpos. Incluyendo el valor referido en la ecuación del volumen de interacción, se tiene:

vint(t)=9/2·π·[KE·q2/k]·{(1-j)·cos[(k/m)1/2·t]+j}3

El volumen puede expresarse como un promedio respecto a las variaciones del tiempo:

vint-prom=∫[9/2·π·[KE·q2/k]·{(1-j)·cos[(k/m)1/2·t]+j}3]·dt/∫dt, donde vint-prom representa al valor promedio del volumen de interacción. Los límites de ambas integrales se hallan entre el tiempo para la separación mínima y el tiempo para la separación máxima.

Se logra deducir un valor vint-prom=9/2·π·[KE·q2/k]·[j3+3·j·(1-j)/2]. Comparando el volumen de interacción de los dos cuerpos con el volumen del prisma cuadrangular que los circunscribe, éste con un volumen de valor vprisma=12·r3, se obtiene la razón vint/vprisma=9·π /48. Esta relación es útil para considerar un conjunto de cuerpos semejantes a los cuerpos analizados durante toda la exposición a través de sus colisiones. Si se toma la mitad del volumen de interacción (porque se reparte entre los dos cuerpos que lo constituyen) para una mol de cuerpos, se obtiene el volumen de todos los cuerpos. Entonces:

V'=NA·vint-prom/2=9/4·π·NA·[KE·q2/k]·[j3+3·j·(1-j)/2], donde NA=6.022x1023 mol-1.

El volumen efectivo de todas las partículas es aquél que describen de forma rectangular, por ejemplo, en un tanque en forma de prisma. Por consiguiente, el volumen neto ocupado por todos los cuerpos se calcula como:

V=V'·vprisma/vint

Finalmente,

V=12·π·NA·[KE·q2/k]·[j3+3·j·(1-j)/2]

El valor señala que el volumen de un material compuesto por cuerpos aproximadamente semejantes a los descritos depende sólo del valor del parámetro de elasticidad. Éste depende a su vez de los valores de presión y temperatura a los que se expongan los cuerpos en cuestión. A continuación se comparan los resultados conocidos de volúmenes para un gas ideal, y para sólidos y líquidos.

ANÁLISIS DE CONSISTENCIA

Si se tiene un gas ideal, el volumen del conjunto de cuerpos se expresa de acuerdo a la ecuación V=R·T/P para una mol. A su vez, se ha calculado el volumen con la ecuación V=12·π·NA·[KE·q2/k]·[j3+3·j·(1-j)/2], donde la carga q tiene el valor de la carga elemental (1.602x10-19 C). Esta hipótesis sobre la carga se ha tomado en vista de que un material puede fraccionarse en todas sus partes. Como cada parte resulta ser, así se supone, un cuerpo semejante a los estudiados al comienzo, entonces la carga eléctrica considerada es la elemental. Igualando ambas expresiones, se tiene:

R·T/P=12·π·NA·[KE·q2/k]·[j3+3·j·(1-j)/2]

O bien, se puede deducir que:

k=12·π·NA·P·[KE·q2/(R·T)]·[j3+3·j·(1-j)/2]

Tomando todos los valores conocidos a condiciones normales de temperatura y presión (P=101325 Pa y T=273.15 K), el valor del parámetro de elasticidad queda k=11.4409 N/m. Así, primeramente, se observa que el gas estudiado puede ser fácilmente comprimible (para los sólidos el mismo parámetro resulta hasta diez veces mayor), lo cual concuerda con los hechos identificados para los distintos estados de la materia. Tratándose de un sólido o de un líquido, el parámetro de elasticidad se calcula de acuerdo a la temperatura del material, pues casi resulta independiente de la presión.

La evaluación aquí mostrada sobre las colisiones de la materia es una aproximación que pretende justificarse con hechos fundamentales, basados en descripciones eléctricas con implicaciones termodinámicas.

25 de Abril de 2013


2 comentarios:

  1. Buf! Un tema complejo... No sé si es posible explicarlo más sencillamente, pero acaba volviéndose en poco lioso. Me ha gustado bastante la introducción (me estabas haciendo recordar la física del Bachillerato y de 1º de carrera), pero en cuanto has empezado con la entalpía... Quizá sería mejor separarlo en varias partes. Pero se ve que detrás hay un gran esfuerzo :) enhorabuena!

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