Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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domingo, 30 de junio de 2013

SOBRE OBJETOS, CONJUNTOS Y APLICACIONES


David Hilbert, que con su lista de problemas
logró conmover a la humanidad.


Se sabe que una función es la idea existente entre dos conjuntos de números. Por ejemplo, A={1,2,3} y B={2,4,6} son dos conjuntos de números. La idea que existe entre ellos, la función presente, es la duplicación de los números de A para obtener los números de B.

Como lo anterior es muy largo en el sentido retórico y demasiado abstruso en el sentido matemático, se opta por emplear simbología para referirse a la función. Entonces, en general, se dice con f:A→B que existe una idea llamada f que hace referencia a un conjunto A de números que van a dar como resultado (→) otro conjunto B de números. así, al hacer uso de la idea o función f para un número de A, se debe obtener un número de B, como f(1)=2.

La función f también puede representarse como f(x)=2·x, porque un número x del conjunto A se duplica, tal y como se mencionó al comienzo. Si en lugar de x se toma el número 3, queda f(3)=2·3=6, ya que 6 pertenece al conjunto B y es, en efecto, el doble del número 3.

Hay ocasiones en las que no se indica con qué conjuntos se está utilizando una función. Así, al escribirse f(x)=x+5, se dice que a cierto número x se le suma 5 y se obtiene otro número de ello, pero no se indica a qué conjunto pertenecen tanto x como f(x), ó x+5. Cuando esto ocurre, se está haciendo una referencia general a todos los números posibles de participar junto con la función f. Esta participación debe ser válida porque si el número f(x) no existe para el número x utilizado, entonces x no es parte de todos los números posible de emplearse para la función f. Por ejemplo, sea la función f(x)=1/x. Cuando se intenta hallar el número f(0), simplemente no es posible porque f(0)=1/0 y no existe 1/0 como número (es absurdo considerarlo un número). Por lo tanto, 0 no es parte de todos los números posibles de ser utilizados junto con la función f.

Podría pensarse, y de hecho se hace, en “funciones” para conjuntos de objetos que no sean números. A este tipo de “funciones” se las conoce realmente como aplicaciones. Es fácil precatarse de qué tipo de aplicación se trata al escribirse A(Francia)=París, ó W(Rumania)=Europa. En estos casos, A se refiere a «la ciudad capital del país» y W se refiere a «el continente donde se ubica el país».

Es de notarse que teniéndose A={2,3,4} puede existir la aplicación C tal que C(2)=A, C(3)=A, y C(4)=A, es decir, C se refiere a «el conjunto al que pertenece el objeto», o bien, el número utilizado. Así, 2 debe pertenecer necesariamente a algún conjunto, si es preciso, al «conjunto al cual pertenece 2». De igual forma pueden presentarse los conjuntos M={a,b,c}, N={d, e}, P={g, h, i} y Q={M, N, P}. Entonces F(M)=Q mientras que F(e)=N, pues la aplicación F hace referencia, como es el caso de C, a «el conjunto al cual pertenece el objeto». Es por ello que F(Q) resulta posible si se admite la existencia del «conjunto al cual Q pertenece».

En todos los casos se ha mostrado que las palicaciones, sean funciones o aplicaciones en general, existen entre dos conjuntos de objetos. Por ello no es posible que la frase «el objeto que no pertenece al conjunto de todos los objetos» sea representativa de una aplicación, porque hace referencia a un objeto que no debería existir. Si éste no existe, entonces no hay idea alguna entre el «conjunto de todos los objetos» y otro conjunto; la aplicación no existe. Frases similares no pueden ser tomadas en cuenta para un análisis lógico coherente, de la misma forma que situaciones como «la capital de París» arrojan resultados absurdos.

Tampoco podría pensarse que alguna aplicación sería posible entre un conjunto y el conjunto al cual ningún objeto pertenece, el llamado conjunto vacío. Las aplicaciones sólo son posibles entre conjuntos con objetos pertenecientes a ellos. En resumen, se deben tomar en cuenta dos situaciones que dan coherencia a lo referente sobre objetos, conjuntos y aplicaciones:

1. Todo objeto pertenece necesariamente a algún conjunto.
2. Las aplicaciones involucran necesariamente dos conjuntos de objetos.

Estos dos últimos aspectos, como se ha expuesto, son suficientes para justificar la existencia de cuantos conjuntos sean posibles de justificarse.

1 de julio de 2013


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