Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 15 de noviembre de 2013

EL SENTIDO LÓGICO DE LA MATEMÁTICA Y SU INCOMPLETITUD


Giuseppe Peano, el hombre
de la Aritmética intachable.




Sobre los cimientos de la evidencia inductiva,
la repetitiva y consecutiva, ha de ser erigido
el edificio de la Matemática.



Los axiomas de Peano:
la caracterización más inmediata
observable en los números naturales.


De éstos:

1. «1» es el primero.
2. sucesor y antecesor son únicos.
3. pueden formarse colecciones.


***


A continuación se presenta una simplificación a la demostración del teorema de incompletitud de Gödel.

Kurt Gödel pretendía demostrar que, como muy probablemente él había intuido, la Matemática según la conocían en su época, no podía permitir la deducción de todas las verdades matemáticas posibles; carente de la deducción de alguna o algunas verdades, se dice entonces que la Matemática está –o es– incompleta (porque faltan verdades para ser deducidas por la Matemática).

Se opta por simbolizar cada palabra que se utilizará para plantear –como suele hacerse– las leyes y teoremas matemáticos. Por ejemplo, una ley matemática común es que «la suma 1+2+3+...+n equivale a efectuar el cálculo n·(n+1)/2». Esta ley puede comprobarse fácilmente: si n=7 y se efectúa la suma 1+2+3+4+5+6+7, queda como resultado 28. Asimismo, aplicando la fórmula n·(n+1)/2 con n=7, queda como resultado 28. Esta ley puede expresarse simbólicamente como

1+2+3+...+n=n·(n+1)/2

Aquí, cada palabra está simbolizada: la palabra «uno» equivale al símbolo «1», la palabra «más» equivale al símbolo «+», la expresión «es igual a» se simboliza como «=» y la expresión «número natural» se expresa como «n». Sin embargo, no son todas las palabras empleadas para plantear leyes matemáticas. Para expresar «Cualquier número natural» no sólo basta con «n», sino que debe emplearse el símbolo «», o sea «Cualquier» –o «Para todo», como se desee entender–. La expresión «Cualquier número natural» se simbolizaría entonces como «∀n». La ley realmente tendría que ser detallada como

n 1+2+3+...+n=n·(n+1)/2

Hay leyes que en Matemática no preteden afirmar, sino negar algo. Por ejemplo, en Matemática no puede repartirse nada entre una cantidad inexistente de partes. Uno puede repartir cuatro manzanas entre dos partes y a cada una le corresponden dos manzanas. También se pueden repartir cinco manzanas entre una parte y a ésta le corresponden las cinco manzanas. O bien, las manzanas pueden incluso ser cortadas para repartirlas entre dos, tres, cuatro,..., «n» número de partes. Sin embargo, repartir una manzana entre ninguna parte ni siquiera tiene sentido. Simplemente para repartir una manzana se requiere al menos de una parte a la cual ceder la fruta. Entonces la ley Matemática se expresa como «La división entre cero de cualquier número no es válida» –o «repartir entre ninguna parte no es válido»–. O dicho de otra forma, «En la división de cualquier número, se reparte entre un número “n” de partes, siendo que “n” no es igual a cero» –o «al repartir, el número de partes no debe ser igual a cero»–. La división de un número entre otro se simboliza como «m/n» –«m» entre «n»–. Que el número de partes no sea igual a cero se simboliza como «¬n=0» –«n» no (¬) es igual a 0–. Finalmente, la expresión debería de escribirse como

m∀n m/n → ¬n=0; el símbolo «» indica «cuando..., entonces». O sea «Cuando cualquier número “m” es repartido entre cualesquiera “n” partes, entoncesn” no es igual a 0».

Básicamente, para expresar lo que sea necesario de las leyes matemáticas se requiere de

1. Variables, tales como los «números» o los «números naturales», todos ellos pudiendo ser simbolizados con letras («n», «m», etc.) No sólo pueden ser números las variables, sino cualquier tipo de objetos que se observen y que pertenezcan al ámbito matemático: matrices, conjuntos, series, estructuras algebraicas, etc.
2. Constantes, tales como las ya conocidas «0», «1», y otras, que se comprenden idénticamente sea que estén escritas en una ley matemática o en otra.

Obsérvese que en la primera ley que se presentó, «n» significaba «número natural», mientras que en la segunda ley «n» expresaba «número». La diferencia está en que los números naturales son el «1» y todos aquellos que le siguen tras haber sumado «1», es decir, «2», «3», «4», etc.; los números, en general, pueden ser «2/3», «4.5», «7.01», «3», etc. Los números naturales son números, pero no todos los números son números naturales.

3. Relatores, tales como «=» (es igual a), «+» (más), o «/» (repartido entre... partes). Los relatores muestran la relación que existe entre las variables o las constantes. Por ejemplo, en «n+1» se muestra la relación entre la variable «n» y la constante «1».
4. La expresión «Cualquier», «».
5. La expresión «Cuando..., entonces», «».
6. La expresión «No», «¬».
7. Signos de puntuación, en este caso los paréntesis «( )», que permiten la correcta visualización de los relatores. También pueden usarse comas «,» como suele hacerse en la Matemática.

Si faltasen los paréntesis en n·(n+1)/2 para la primera ley presentada quedaría n·n+1/2, lo cual puede intepretarse, si n=7, como 7·7+1/2, ó 49+1/2, ó 49.5, sin embargo el resultado no concuerda con la ley presentada donde debería ser 28 como ya se calculó anteriormente.

A partir de los símbolos para expresar leyes matemáticas pueden deducirse situaciones sutiles. Para obtener una de ellas, se propondrá la existencia de un relator que exprese, como puede ser, si una ley matemática es verdadera o falsa. Esto, evidentemente, no ha abandonado el ámbito de la Matemática: se trata a las leyes matemáticas, dada esta propuesta, como un objeto de estudio de la Matemática misma. Ahora las «leyes matemáticas» son las variables como antes lo eran los «números». Pueden representarse las leyes con w.

Antes se probó que la ley 1+2+3+...+n=n·(n+1)/2 era verdadera cuando n=7 porque se cumplió que tanto al sumar consecutivamente como al emplear la fórmula el resultado era idéntico, 28. Esto muestra cómo puede saberse si una ley matemática es verdadera en un caso. Para considerar que dicha ley es completamente verdadera, debe de cumplirse para cualquier caso con el cual se ensaye. Esto es, intentando n=1, n=2, n=3, etc. debe obtenerse el cumplimiento de la ley para declarar que ésta es completamente verdadera. Entonces, el relator inventado para evaluar la veracidad de una ley matemática puede declarar si aquella que trate de evaluar es verdadera para un caso particular cuando el valor que dé como resultado sea 1, es decir, el relator va a relacionar al caso particular con la ley, luego se obtiene un resultado de dicha relación y si éste es igual a 1, es porque la ley resulta verdadera para dicho caso. Si no es igual a 1, entonces la ley es falsa para dicho caso y, lo que es más, la ley no es completamente verdadera. El relator V(z,w) expresa «para el caso z se evalúa la veracidad de la ley w». Lo que se ha dicho es «Si en cualquier caso z se evalúa la ley w y el resultado es igual a 1, entonces la ley w es completamente verdadera». Con la simbología ya conocida, queda

z∀w V(z,w)=1 → B(w,w)=1

El relator B(w,w) relaciona a la ley w consigo misma expresando «La ley w actúa verazmente como w en la evaluación V(z,w)». Si B(w,w) es igual a 1, la ley w se expresa que es verdadera.

La pregunta que lleva a una de las sutilezas que se refirió existían es: ¿la ley ∀z∀w V(z,w)=1 → B(w,w)=1 es completamente verdadera? Para saberlo sólo es necesario evaluar con V(z,w) dicha ley que por fines de abreviatura se representa con la letra q. Entonces se efectúa la evaluación V(z,q) para todos los casos, y para esta ocasión particular todos los casos corresponden a cada una de las leyes matemáticas posibles. Más allá de creer que esto es una hazaña irrealizable, se asume que todas las posibles leyes pueden fácilmente ser evaluadas con acierto por la ley q (tal y como q lo describe), y con ello cada una de las evaluaciones V(z,q) da como resultado 1. Finalmente, sólo quedaría una ley por ser evaluada y sería la misma ley q, esto es, V(q,q). ¿Es posible hacer dicha evaluación?

Para conocer si B(q,q)=1 hace falta que V(q,q)=1. Si esto es posible, es porque con anterioridad se sabía que V(q,q)=1. Admitir esto simplificaría la solución del problema, pero realmente nunca se ha sabido por una evaluación real si eso, V(q,q)=1, es cierto, como en el caso de la ley donde siendo n=7 se obtiene una igualdad en los resultados con n·(n+1)/2. Realmente no puede efectuarse la evaluación V(q,q) porque eso requiere que esta misma haya sido efectuada con anterioridad, lo cual no ocurre. Si la evaluación queda V(q,q)=0, tampoco sería realista pues esto también requiere que la misma evaluación haya sido efectuada con anterioridad y que su resultado haya sido V(q,q)=0, lo cual sigue sin ocurrir. Entonces el resultado de B(q,q) no puede obtenerse.

Esto es notable. A partir de los símbolos que permiten expresar la Matemática hay una ley cuya veracidad completa o falsedad no puede ser asegurada. Lo que es más, y en términos generales, para la Matemática, asumiendo que ésta sea verdadera por completo en todas sus leyes, hay leyes que no pueden ser deducidas, aunque éstas sean ciertas. Que B(q,q) no tenga resultado no implica que q no pueda ser verdadera. Así, aunque todas las leyes de la Matemática sean verdaderas, debe existir alguna cuya veracidad, aun siendo completamente verdadera, no pueda ser deducida.

Obsérvese que este resultado no depende de que las leyes matemáticas sean muchas o pocas, incontables o no, sino de lo permisible que resulta el uso de la simbología que se emplea para expresar dichas leyes.

Pero Gödel fue reconocido no sólo porque haya demostrado que la Matemática está incompleta al no declarar falsedades, sino porque no sólo es la Matemática la que emplea los símbolos definidos al comienzo para expresarse: toda la Ciencia, todo aquello que pueda considerarse racional, lógico, incluso nuestra habla diaria, puede representarse con esa simbología. Las variables pueden ir desde lo más común como la variable de los muebles, de las prendas de vestir, de las flores, etc., hasta lo más sofisticado como la variable llamada carga eléctrica, el campo magnético, las longitudes, etc., todo aquello es susceptible de no poder garantizar su completa veracidad en todas las leyes que se posean. Siempre habrá alguna ley carente de veracidad o falsedad reconocibles de forma lógica.

15 de Noviembre de 2013


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