Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 26 de marzo de 2014

SOBRE EL SIGNIFICADO LÓGICO PROPOSICIONAL DE LA FUNCIÓN DE ONDA ψ Y SUS CONSECUENCIAS INDECIDIBLES

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México 

Gödel
 
Max Born, el descubridor del primer
significado sobre la función de onda ψ.


PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES Y DEFINICIONES

Es conocido no solamente en Física, sino también en toda la Ciencia y en todas sus ramas el principio de conservación de la energía. Este principio parece ser uno de los más (si no es que el más) inviolables que existan. Obras fundadas bajo la premisa de la inviolabilidad del principio de conservación de la energía han adquirido el carácter de hitos en casi todos los casos. Por ello, no es de extrañar que el punto de partida para el establecimiento de la Mecánica Cuántica haya sido este principio. A continuación, se enuncia: la energía total asociada a una partícula es equivalente a la suma de la energía cinética y de la energía potencial también asociadas a dicha partícula. Matemáticamente se formula como sigue:

K+U=E

K es la energía cinética de una partícula; se debe al movimiento de ésta. Por ello,

K={0 si p=0; K si p≠0

donde p es la cantidad de movimiento de una partícula, o también llamada dicha cantidad como momento. Asimismo, U es la energía potencial de una partícula que procede de una región donde no interactúa con ninguna otra partícula, hacia una región donde interactúa con al menos otra partícula, de tal forma se mueve tan lentamente (cuasiestacionariamente) que p→0. En dado caso,

U={0 si n=1; U si n es mayor que 1

con n el número de partículas en una región de interacción, donde cualquier interacción podría llevarse a cabo de estar presentes dos o más partículas. Si U=0 es porque no hay interacción entre partículas, caso que se da cuando la partícula se encuentra previamente a su movimiento cuasiestacionario. En tal caso, es la única partícula en la región de interacción. Del principio de conservación, E es la energía total asociada a una partícula tanto por su movimiento como por su interacción con otras partículas.

Se supone un valor ψ que describe las circunstancias de movimiento (o estado de movimiento) de una partícula bajo estudio. Asimismo, se asume válida la hipótesis de De Broglie que se deduce como sigue:

1. ε=h·f, que es la premisa de Planck, donde f es la frecuencia que conlleva una partícula y ε es la energía asociada a la misma. Esta premisa se admite sabiendo que energías mayores a ε sólo pueden tomar la forma ε'=m·h·f con m cualquier valor de un número natural.
2. ε=F·λ, donde F es la fuerza a la cual se somete una partícula por interactuar con alguna otra al asociársele el valor ε de energía; λ es la longitud de onda que se traslada la partícula al asociársele la energía ε.
3. F=p/t=p·f donde t es el tiempo en que se lleva a cabo la interacción antes mencionada; o bien, t=1/f por definición, quedando la frecuencia que se asocia a la partícula al interactuar. Aquí p es el momento que se asocia a la partícula al interactuar.
4. p·f·λ=h·f según lo anterior, o de otra forma,
5. p=h/λ que es la expresión matemática de la hipótesis de De Broglie, misma que asume intrínsecamente tanto la naturaleza ondulatoria como la corpuscular para una partícula. Esto es, el momento p es un concepto referente al carácter corpúscular de una partícula; la longitud de onda λ es un concepto referente al carácter ondulatorio de una partícula.

Con ello, ψ debe ser el modelo de una onda de la forma

ψ=ρx·e(2·π/λ)·x·i·î+ρy·e(2·π/λ)·y·i·ĵ+ρz·e(2·π/λ)·z·i·k+ρt·e(2·π/λ)·t·i·û
(k reemplazando la notación análoga correspondiente)

La operación 2ψ se define como

2ψ=ψxxyyzz

por lo cual

2ψ=[(2·π/λ)·i]2·ρx·e(2·π/λ)x·i·î+[(2·π/λ)·i]2·ρy·e(2·π/λ)y·i·ĵ+
+[(2·π/λ)·i]2·ρz·e(2·π/λ)z·i·k+[(2·π/λ)·i]2·ρt·e(2·π/λ)·t·i·û
 
2ψ=-(4·π22)·[ρx·e(2·π/λ)x·i·î+ρy·e(2·π/λ)y·i·ĵ+
z·e(2·π/λ)z·i·k+ρt·e(2·π/λ)·t·i·û]

2ψ=-(4·π22)·ψ

y finalmente ψ=-∇2ψ·λ2/(4·π2) queda como equivalencia necesaria. Entonces, cuando K·ψ+U·ψ=E·ψ se efectúa, resulta una expresión para generar un modelo que esté de acuerdo tanto con el valor ψ posible como con el principio de conservación de la energía.

En cuanto a la energía cinética, siendo v la velocidad con que la partícula en cuestión se mueva y, además, p=m·v (por definición), K=½·m·v2 (por definición)=½·(m·v)2/m=p2/(2·m). Aunando la hipótesis de De Broglie a esta expresión, K=h2/(2·λ2·m) expresa que la energía cinética de una partícula sólo depende de su longitud de onda. Esto en la expresión K·ψ+U·ψ=E·ψ queda como

h2/(2·λ2·m)·ψ+U·ψ=E·ψ, o bien,
h2/(2·λ2·m)·-∇2ψ·λ2/(4·π2)+U·ψ=E·ψ

según la equivalencia obtenida por la operación 2ψ y dado ψ por la hipótesis de las partículas con carácter tanto ondulatorio como corpuscular. Finalmente se calcula

-h2/(8·π2·m)·∇2ψ+U·ψ=E·ψ, que es la ecuación de Schrödinger.


EL SIGNIFICADO FÍSICO DE LA FUNCIÓN DE ONDA ψ. PRIMERA INTERPRETACIÓN MECÁNICA

La evidencia física ha mostrado que el significado físico de ψ es el siguiente: siendo ψ* el valor complejo conjugado a ψ (del cual se reemplaza i por -i), ψ·ψ* es el valor de la probabilidad para hallar una partícula en cierta región dada por x, y, z. Esta interpretación ofrecida por M. Born señala que se halla a una partícula en distintas regiones del Universo, pero con distinta probabilidad. Dado que la partícula tiene carácter de onda, abarca todo el espacio pero con distinta distribución: en ciertas regiones la onda es “más presente” que en otras y por ello es más probable hallarla en forma corpuscular en ciertas regiones que en otras.

Para hallar a la partícula se requiere necesariamente de otra partícula medidora tal que interactúe con la primera. Dicha interacción hará que la partícula medidora modifique sus circunstancias de movimiento y por ello su valor ψm también ha de cambiar. Al determinarse que ψm ha sido modificado, se dice que la partícula ha sido hallada.

Entonces, ψ·ψ* cobra sentido físico, según la evidencia, cuando n es mayor a 1 (la partícula estudiada y la partícula medidora hacen que n=2). Luego, U≠0, la energía potencial no puede asumir valor 0 en una medición. Se analizará, aparte, cada caso para el valor n:

a) Cuando n=1 y K=0.

Entonces

1. U=0, según se definió.
2. K=0, si una partícula lo suficientemente lejana como para no interactuar con la partícula bajo estudio se mueve a su misma velocidad. Esto porque se concluiría que p=0 para la partícula bajo estudio.
3. E=0, porque no hay, en total, energía asociada a la partícula (K+U=E se cumple); la partícula observadora determina que a su alrededor E=0 para una partícula bajo estudio que no interactúa (E=0 no es considerada para el espacio vacío, sino para la partícula bajo estudio que no puede ser medida).
4. Así -h2/(8·π2·m)·∇2ψ+0·ψ=0·ψ, de la ecuación de Schrödinger.
5. 2ψ=0, se deduce para obtener que ψ=constante. También ψ·ψ*=constante'.

Sin embargo, ha de recordarse que el valor ψ·ψ* cobra sentido físico, según la evidencia hasta el momento observada, cuando n es mayor que 1. Porque ψ·ψ* hace referencia a la probabilidad de hallar una partícula sin interactuar, pero para hallarla es necesario interactuar con ella lo cual es un absurdo lógico: si A=[la partícula bajo estudio no interactúa –porque n=1–], luego, por la ecuación de Schrödinger ¬A (no A), o sea ¬A=[la partícula bajo estudio interactúa –porque ψ·ψ*=constante'–].

¿En qué consiste la probabilidad ψ·ψ* de hallar una partícula? Consiste en que bajo las mismas circunstancias, la partícula medidora cambie un determinado número de veces s su valor ψm. y que otro número determinado de veces r no cambie. Así, la probabilidad de hallar una partícula se calcula por ψ·ψ*=s/(s+r). Cuando n=1, se deduce que ψm no cambia de valor y finalmente s=0 , r=1. Por lo tanto, ψ·ψ*=0 y también ψ=0. Esto último sí resulta coherente con el hecho 2ψ=0. Si ψ representa las circunstancias de movimiento de una partícula, ψ=0 significa que las circunstancias de movimiento de una partícula son tales que ésta carece de carácter ondulatorio mientras no interactúe con otras partículas. ¿Sigue cumpliéndose la hipótesis de De Broglie? Sí. Ésta en realidad se obtiene de la interacción de una partícula con otra (por energía de interacción, fuerza de interacción, momento al interactuar, etc.) Esto concuerda con el hecho de que el carácter ondulatorio y corpuscular de una partícula sólo sea dado durante una interacción. Asimismo, el carácter corpuscular de una partícula se manifiesta cuando existe un valor Δψ. Para la partícula sin interactuar, ψ es una constante (ψ=0) y por ello Δψ=0, donde la partícula demuestra que tampoco presenta un carácter corpuscular. Cualquier partícula observadora lo suficientemente lejos obtiene que Δψm=0 y por ello no presenta el carácter corpuscular que permita obtener un valor s para calcular la probabilidad ψ·ψ*.

Se concluye de este caso lo siguiente: 1) Δψ representa la variación de las circunstancias de movimiento de una partícula tal que ésta adquiere carácter corpuscular. Si Δψ=0, su carácter no es corpuscular, aunque tampoco necesariamente ondulatorio. 2) ψ representa las circunstancias de movimiento de una partícula tal que ésta adquiere carácter ondulatorio. Si ψ=0, su carácter no es ondulatorio, aunque tampoco necesariamente corpuscular. 3) Cuando n=1 y K=0, la partícula bajo estudio no presenta ni carácter ondulatorio ni corpuscular. Tampoco presenta circunstancias de movimiento porque ψ=0, ni variaciones de dicha circunstancia porque Δψ=0. Estos valores sólo pueden representar la perspectiva que tiene una partícula medidora de una partícula bajo estudio. Asimismo, representan la perspectiva que tiene la partícula bajo estudio de la partícula medidora. ¿Y qué perspectiva tienen del Universo ambas partículas dados los valores de Δψ y ψ? Ninguna. Con Δψ=0, ninguna puede medir nada. Con ψ=0, ninguna puede apreciar alguna característica de la otra. No pueden percibir nada por sí mismas.

b) Cuando n=1 y K≠0.

Entonces

1. U=0, según se definió.
2. K≠0, si una partícula lo suficientemente lejana como para no interactuar con la partícula bajo estudio se mueve a diferente velocidad que ésta, o bien, respecto a la partícula observadora (no medidora), la partícula bajo estudio se movería. Esto porque se concluiría que p0 para la partícula bajo estudio.
3. E0, porque, en total, la energía asociada a la partícula es K=E.
4. Así -h2/(8·π2·m)·∇2ψ+0·ψ=K·ψ, de la ecuación de Schrödinger.
5. ψx·e(2·π/λ)x·i·î+µy·e(2·π/λ)y·i·ĵ+µz·e(2·π/λ)z·i·k, se deduce. También ψ·ψ*=constante porque particularmente ψ·ψ*= µx2y2z2.

En este caso, ψ·ψ*≠0 mismo que denota la existencia de valores ψ·ψ*=s/(s+r) retomando que s es el número de ocasiones en que ψm cambia su valor. Si este cambio ocurre, necesariamente se lleva a cabo una medición. Esto es contradictorio con el hecho: se asumió que n=1, lo cual implica que ψ·ψ*=0 necesariamente. Por este motivo no se admitirá que ψ·ψ*≠0 y los valores del cálculo de probabilidad serán µx=0, µy=0, µz=0. Esto no contradice a la ecuación de Schrödinger: se obtiene de lo anterior que, nuevamente, 2ψ=0 y ψ=0 y la coherencia esperada para la cuestión matemática de la ecuación en 4.

Se concluye de este caso que, no importando que la partícula bajo estudio se halle en movimiento, las circunstancias de movimiento no cambian respecto a la consideración K=0. Nuevamente el carácter ondulatorio o corpuscular de la partícula observada no se presenta (ψ=0 y Δψ=0) y no existe una perspectiva de ninguna de las partículas respecto a la otra correspondiente. Esto es razonable: si las partículas no interactúan, no podrían saber si 1) la otra partícula existe y 2) si la otra partícula se mueve a una velocidad dada o no. Y aun moviéndose, es irrelevante su movimiento: ninguna respecto a la otra puede ser caracterizada en su movimiento dado este desconocimiento en el valor de la energía cinética K.

c) Cuando n=2 y K=0.

1. U0, según se definió.
2. K=0, si tanto la partícula bajo estudio como la partícula medidora (en este caso ya presente como medidora) se mueven a la misma velocidad. Se concluiría que p=0 para la partícula bajo estudio y según la definición de energía cinética, K=0.
3. E0, porque, en total, la energía asociada a la partícula es U=E.
4. Así -h2/(8·π2·m)·∇2ψ+U·ψ=U·ψ, de la ecuación de Schrödinger.
5. 2ψ=0, se deduce. También que ψ·ψ*=constante porque particularmente ψ=constante'.

En este caso, ψ·ψ*≠0: la interacción entre las dos partículas ahora genera un cambio en el valor ψm y consiguientemente s≠0.

Se concluye de este caso que la partícula bajo estudio presenta carácter ondulatorio porque ψ≠0. Asimismo, durante la medición Δψm≠0 por lo cual también presenta reciprocidad (una partícula bajo estudio realmente no tiene más privilegio de no modificar su valor ψ que la partícula medidora al cambiar su valor ψm; la interacción conlleva efectos recíprocos) y Δψ≠0. Esto implica que la partícula bajo estudio presenta también carácter corpuscular. Luego, su carácter ondulatorio surge de sus circunstancias de movimiento; su carácter corpuscular surge de su interacción con otra partícula. Ambas características surgen necesariamente de la interacción entre las dos partículas porque ambas pueden determinar mútuamente cuáles son las circunstancias de movimiento de la otra correspondiente. Lo que es más, las circunstancias de movimiento sólo cobran significado físico cuando existe una interacción entre partículas; asimismo la probabilidad de hallar a una partícula cobra significado físico (un valor distinto de 0) cuando existe una interacción entre partículas. Expresado matemáticamente,

ψ={0 si n=1; ψ≠0 si n es mayor a 1

que representa en qué situaciones una partícula presenta carácter ondulatorio (no lo presenta si el valor es 0). Asimismo,

Δψ={0 si n=1; Δψ≠0 si n es mayor a 1

que representa en qué situaciones una partícula presenta carácter corpuscular (no lo presenta si el valor es 0).

d) Cuando n=2 y K0.

1. U0, según se definió.
2. K≠0, las partículas además de interactuar presentan movimiento relativo.
3. E0, porque, en total, la energía asociada a la partícula es K+U=E.
4. Así -h2/(8·π2·m)·∇2ψ+U·ψ=(K+U)·ψ, de la ecuación de Schrödinger.
5. ψ=ψ(x,y,z), se deduce siendo ψ≠0. En cuanto a ψ·ψ*, depende de las consideraciones realizadas para el cálculo de ψ. Si, por ejemplo, la energía potencial U no depende de las coordenadas x, y, z, es decir, U=constante'', y sabiendo que E es efectivamente una constante, la ecuación diferencial pasa a tomar la forma ψ=µx·e(2·π/λ)x·i·î+µy·e(2·π/λ)y·i·ĵ+µz·e(2·π/λ)z·i·k con µx, µy, µz valores constantes. Este caso es el descrito para la explicación de efecto túnel donde se determina una barrera de energía potencial constante que interactúa con la partícula bajo estudio.

Cuando U=U(x,y,z), no es constante la energía potencial en el espacio, se obtiene la expresión ψ=ρx·e(2·π/λ)x·i·î+ρy·e(2·π/λ)y·i·ĵ+ρz·e(2·π/λ)z·i·k con ρx, ρy, ρz parámetros variables dependientes de x, y, z (aunque ρx es sólo dependiente de y, z; ρy sólo dependiente de x, z y ρz sólo dependiente de x, y).

Por supuesto, en este caso, ψ·ψ*≠0: la interacción entre las dos partículas genera un cambio en el valor ψm y consiguientemente s≠0.

Se puede concluir de este caso lo mismo respecto al caso con K=0: la partícula bajo estudio adquiere carácter ondulatorio y corpuscular debido solamente a la interacción con otra partícula (u otras partículas, en general). Es este caso el que puede llevarse a cabo con facilidad en los laboratorios. Sólo este caso ha podido ser corroborado coherente con la ecuación de Schrödinger. Es casi imposible que se obtenga el caso c) con K=0. Un par de partículas tales que su velocidad relativa sea 0 es inestable según el teorema de Earnshaw, explícitamente, si solamente está actuando en la interacción la energía potencial, según dicho teorema, la interacción del par presenta un equilibrio inestable. Los casos b) y a) pueden presentarse, sin embargo son triviales. Esto es, si las partículas no interactúan no hay cambio en el valor de ψ de ninguna de las partículas, pues no existe motivo para que las partículas cambien sus circunstancias de movimiento: sólo puden variar bajo el sometimiento ante una fuerza.

Dado lo anterior, se observa la validez lógica de la ecuación de Schrödinger. Se exponen, además, los razonamientos precisos, significados de cada una de las variables, definiciones formales, y todo aquello necesario para que las reglas de inferencia sean seguidas las conclusiones como se ha presentado. Asimismo se observa la simetría de las observaciones, sean hipotéticas o, como en d), físicamente medibles: el comportamiento para una partícula es válido también para la otra partícula. Se consigue seguir en principio de conservación de la energía, y no sólo eso, sino que sirve de fundamento para el análisis correcto de los casos presentados. También se consigue ser coherente con el principio de reciprocidad de I. Newton: que dos partículas interactúan de forma tal que los efectos de una en otra son recíprocos (las fuerzas para una se observan idénticamente en la otra partícula).

La exposición presente, no obstante, no sigue las conclusiones de la Teoría de la Relatividad: las definiciones del momento p y de la energía cinética K son clásicas, no relativistas. Con ello se obtienen, en contraste, los resultados esperados en laboratorios y fenómenos donde las consideraciones relativistas son despreciables. Los significados y conclusiones obtenidos son, por ello, válidos si llegase a presentarse el caso relativista de la ecuación de Schrödinger. Cabe aclarar que cuando una partícula no interactúa con otras observa resultados deterministas: el valor de la probabilidad ψ·ψ*=0 es definitivo para cualquier región donde la partícula en este caso se encuentre. Además, la partícula no modifica sus propiedades como suele pensarse, dado que no se encuentra motivos para que ψ cambie de valor. La naturaleza de la partícula no es ondulatoria y, aunque tampoco es corpuscular, ψ es muestra suficiente de que la partícula sigue siendo lo que es una vez dejando de interactuar.


SEGUNDA INTERPRETACIÓN MECÁNICA DE LA FUNCIÓN DE ONDA ψ

Ahora se propone el siguiente modelo matemático:

-J2·h2/(2·π2·m)·∇2ψ+U·ψ=E·ψ,
donde J={0 si n=1; ½ si n es mayor a 1.

Se observará qué implicaciones presenta asumirlo como tal:

a') Cuando n=1 y K=0.

Entonces

1. U=0, según se definió.
2. K=0, según se observa.
3. E=0, porque no hay, en total, energía asociada a la partícula.
4. Así -02·h2/(8·π2·m)·∇2ψ+0·ψ=0·ψ, de la ecuación de Schrödinger.
5. 0≡0, respetando la identidad.

Este resultado, en esencia, no es correcto, pero no resulta incoherente con la conclusión obtenida anteriormente, 2ψ=0, que deduce finalmente que ψ=0 y todas las aseveraciones en relación a esto. La situación es que J=0 no sólo admite como válido el hecho de que 2ψ=0, sino que admite válida cualquier situación, llevando a prescindir del significado físico de la variable ψ. Si esto sucede, puede llegar a interpretarse que tanto el carácter ondulatorio como el corpuscular de las partículas no existen cuando n=1, pero no permite considerar que estas observaciones sean válidas para un objeto lo suficientemente lejano que no interactúe con la partícula. Esto es, se requiere de un Universo con una sola partícula para explicar el carácter determinista de ésta; con el razonamiento elaborado se obtiene que la partícula puede hallarse en el Universo donde nos encontramos y sin interacciones, siempre que ésta se encuentre lo más lejana posible. Tomar J=0 lleva a considerar que existe una contradicción: la partícula que se suponía única en el Universo sugerido realmente no es la única: debería estar presente otra porque se requeriría de un objeto adicional que corroborase el producto ψ·ψ*=0. Y si bien, el producto sería válido como 0, carecería ψ de significado físico. Así, J=0 sí lleva coherentemente a admitir que ψ carece de significado (tanto por lo deducido en 5. como por admitir que ψ sólo tiene significado cuando hay mediciones), pero no permite modelar un Universo como en el cual nos encontramos. Localmente J=0 puede ser válido (en una región donde la partícula esté por definición sin la presencia de otras partículas), pero no de forma universal.

Para un caso b') donde J=0 si n=1, se deduce que K=0 necesariamente, lo cual contradice el hecho de que la partícula se encuentre en movimiento respecto a un observador lejano. Eso lleva a admitir, nuevamente, que el Universo sólo puede tener una partícula, o bien, que J=0 es válido solamente de forma local, pero no de forma universal.

Para un caso c') donde J=2 y K=0, se obtienen las mismas conclusiones que en el caso c). Para un caso d') ocurre exactamente lo mismo. Entonces, la ecuación sugerida

-J2·h2/(2·π2·m)·∇2ψ+U·ψ=E·ψ

es de hecho una expresión coherente con la expresión y conclusiones obtenidas por las inferencias realizadas para la ecuación de Schrödinger, siempre que se admita que J tiene un carácter local. El valor J permite analizar a la partícula bajo estudio cuando la partícula interactúa con otras partículas y no representa un problema lógico. También permite analizar a la partícula bajo estudio sin interactuar, pero asumiendo que “la partícula bajo estudio no podría admitir desde su pespectiva la existencia de otras partículas en el Universo”. Sin considerar al valor J, “la partícula bajo estudio podría admitir desde su pespectiva la existencia de otras partículas en el Universo”. He ahí que la validez de J se presente: porque no podemos aseverar nada con suficiente veracidad sobre la “perspectiva de la partícula bajo estudio”.


TERCERA INTEPRETACIÓN MECÁNICA DE LA FUNCIÓN DE ONDA ψ. ENTRELAZAMIENTO CUÁNTICO

Otra interpretación, aparte de la obtenida por el factor J y de la inferida sin el factor J hasta ahora, resulta de las consideraciones lógicas aquí presentadas para los casos expuestos. Se realiza, entonces, el análisis del fenómeno de entrelazamiento de dos partículas, específicamente dos electrones. Esto es, por medio de los cambios de espín que éstos presenten y siguiendo la ecuación de Schrödinger se obtendrán algunas consecuencias necesariamente válidas para seguir considerando verdaderos tanto los principios fundamentales de los cuales se parte, en esencia, el principio de conservación de la energía y la hipótesis de De Broglie, como las reglas de inferencia empleadas para obtener los resultados de los casos expuestos. Aunque la ecuación de Schrödinger aquí empleada no es de carácter general, es decir, no es válida para los casos relativistas, con velocidades próximas a la velocidad de la luz, dado que el entrelazamiento puede llevarse a cabo con velocidades mucho menores, resulta posible su implementación. Asimismo, aunque el concepto de espín que a continuación se empleará procede del análisis relativista de la ecuación de Schrödinger, es válido emplear la ecuación de Schrödinger en la forma aquí sugerida porque resulta coherente con el principio de exclusión de W. Pauli. Casos semejantes se observan en Química, donde el principio de exclusión y el concepto de espín son válidos aunque la ecuación de Schrödinger empleada para algún análisis tenga la forma sugerida en este texto.

El fenómeno de entrelazamiento consiste en hacer interactuar un par de electrones entre sí y con otra partícula que indica si los electrones se encuentran interactuando. Esta interacción entre los electrones implica que éstos adquieran valores correspondientes de espín, es decir, que siguiendo el principio de exclusión de W. Pauli uno de los electrones adquiera un valor de espín ½ y el otro un valor de espín . Entonces el espín de cada uno es representativo de las circunstancias de movimiento de cada una de las partículas y, por lo tanto, su valor ψ puede cambiar cuando el valor de espín cambie. Luego, la interacción misma lleva a los electrones a la repulsión mútua y, posteriormente, a su falta de interacción. En ese sentido, los espínes de ambas partículas, en principio, deben ser independientes uno del otro. Finalmente, el espín de un electrón es medido con otra partícula cuyo valor de espín sea conocido, por decir, ½. Si cambia a al efectuarse la medición final, entonces el espín del otro electrón es al momento del cambio de valor ½, pero previamente al cambio . Por el contrario, si no cambia, entonces se tendría ½ y el espín del electrón medido vale –½, y en cualquier caso la medición permite hallar el valor del espín del electrón previo a la medición. Asimismo, también se mide el espín del otro electrón de manera simultánea. Los resultados experimentales arrojan que en la totalidad de las mediciones los espines de cada electrón se mantienen con valores correspondientes (un electrón con ½ y el otro con ) incluso después de la interacción.

La deducción teórica de este caso se efectúa como sigue:

I. Evento 1. Los electrones y la partícula medidora interactúan inicialmente.

Así n=3, U≠0, y K0. Porque previamente a la interacción entre las partículas, E=0, o también E=K'. De ello se deduce que, o bien U+K=0 conservándose la energía y si U=-K, tanto U≠0 como K≠0, o bien U+K=K' conservándose la energía donde K=K'-U, por lo cual K≠0. Entonces

1. E0, y
2. ψ=ψ(x,y,z) (siendo ψ≠0) por semejanza con el caso d).
3. ψ·ψ*=ψ·ψ*(x,y,z) (siendo ψ·ψ*≠0).

II. Evento 2. Ni los electrones ni la partícula medidora interactúan.

1. n=1 para cada partícula.
2. U=0 por definición.
3. K0 porque la energía no se pierde (desde el evento 1, K1+U1=E1 y dado que la energía se conserva, E1=E2; para el evento 2, K2+0=E2=E1 que implica necesariamente K20).
4. ψ=0, ψ·ψ*=0 y Δψ=0, por semejanza con el caso b).
5. El valor del espín de ninguna de las partículas cambia. Porque Δψ=0 y el espín forma parte de las circunstancias de movimiento tanto de los electrones como de la partícula medidora.

III. Evento 3. Se mide el espín de alguno de los electrones, o de ambos de forma simultánea.

1. n=2 tanto por el electrón medido como por la partícula midiéndolo.
2. U≠0 por definición.
3. K≠0 porque la energía se conserva del evento 2 al evento 3.
4. ψ≠0, ψ·ψ*≠0 y Δψ≠0, por semejanza con el caso d).
5. Algún valor diferente al espín del electrón, pero formando parte de las circunstancias de movimiento de éste, cambia, puesto que Δψ≠0 y la evidencia experimental confirma que el espín no varía. Así, con que la velocidad del electrón medido cambie será suficiente para que este punto de la deducción se cumpla, situación observable de la experiencia en cuestión.

Entonces los electrones no interactúan una vez que ya han dejado de interactuar, pero sus espines conservan su valor correspondiente incluso después de ocurrida la interacción. ¿Por qué la paradoja EPR –referente al entrelazamiento cuántico– se presenta siendo que en el planteamiento deducido por los tres eventos no se observa? Se debe a que en EPR se considera que n=1, ψ≠0 y Δψ=0, es decir, que tanto a n mayor a 1 como a n=1 se tiene carácter ondulatorio y corpúscular, no solamente cuando n es mayor a 1.

En ese sentido las partículas deben necesariamente interactuar, o bien, n=1 queda como un caso absurdo. Si la ecuación de Schrödinger lleva a deducir la interpretación n=1, ψ=0 y Δψ=0, tal y como se presenta en los casos a) y b), entonces si se considera que n=1, ψ≠0 y Δψ=0, queda n=1 como un caso absurdo y las partículas deben interactuar necesariamente. Sin embargo, conceptos fundamentales como energía potencial pierden sentido en su definición. Por ello se admite que n=1 es un caso válido considerando ψ=0 y Δψ=0, concluyéndose, aparte, que de los electrones y la partícula medidora del evento 1 analizado forman una sola partícula en el evento 2. Si cada partícula es representada por sus circunstancias de movimiento, entonces todas las circunstancias de movimiento para cada partícula pasan a formar una sola circunstancia; esto se logra matemáticamente al obtener el valor

ψtotalelectrón 1electrón 2p. medidora

Las partículas individuales carecen, desde esta intepretación, de sentido físico: son una sola partícula con su propia función ψtotal de circunstancias de movimiento. El valor n=1 cobra sentido, ya no para un solo electrón, sino para todas las partículas del evento 1. Así, el evento 3 con n=2 pasa a obtener los siguientes valores para un solo electrón: ψ≠0, ψ·ψ*≠0, Δψ≠0, y un espín propio, todos obtenidos de la descomposición de ψtotal en sus partes correspondientes. En resumen

1. Cuando n=3 en el evento 1, se tienen ψelectrón 1, ψelectrón 2, y ψp. medidora con Δψ≠0 para cada uno.
2. Cuando n=1 en el evento 2, se tiene ψtotalelectrón 1electrón 2p. medidora solamente, con Δψtotal=0.
3. Cuando n=2 en el evento 3, se tienen ψelectrón 1, ψelectrón 2, y ψp. medidora con Δψ≠0 para cada uno.

Esta interpretación física, es posible siempre que ψtotal=0 y ψtotal·ψtotal*=0 para validar por completo que n=1. Entonces, al formar las tres partículas una sola, la resultante total pierde su carácter tanto corpuscular como ondulatorio y sólo son una partícula. Esta situación prescinde, como en la interpretación inicial, de la definición del parámetro J, no obstante que esta consideración no contradiga los principios y reglas de inferencia empleados para deducir cada caso expuesto. También esta interpretación prescinde de las circunstancias de movimiento previstas para cada partícula de forma individual.


SIGNIFICADO LÓGICO DE LAS INTERPRETACIONES MECÁNICAS DE LA FUNCIÓN DE ONDA ψ. INDECIDIBILIDAD DE LAS PROPOSICIONES EN FÍSICA

Anteriormente se asumió en la exposición de cada uno de los eventos que las partículas no se sumaban y se obtuvieron conclusiones satisfactorias. Asimismo podría asumirse que existe el parámetro J y también se obtendrían conclusiones satisfactorias. Finalmente se asumió que las partículas se sumaban y se obtuvieron también conclusiones satisfactorias. ¿Por qué existen diferentes interpretaciones y todas ellas son, a su manera, coherentes con todos los principios físicos y consideraciones lógicas? Obsérvese que ninguna es corroborable cuando n=1; para hacerlo se requiere de mediciones, situación que inmediatamente se observa absurda cuando n=1. Entonces la veracidad o falsedad de cada una de las interpretaciones no puede averiguarse: sólo podrían declararse verdaderas o falsas por efecto de alguna medición.

En lógica formal (lógica de primer orden), donde pueden expresarse todas las proposiciones deducibles (como n=1, la ecuación de Schrödinger, ψtotalelectrón 1electrón 2p. medidora, etc.) se define

Proposición (o sentencia) indecidible: es aquella que no puede ser deducida ni verdadera ni falsa; averiguar su veracidad o su falsedad (cualquiera de esta dos situaciones) es imposible.

Dada esta definición, primero, cada interpretación deduce proposiciones indecidibles. En general, todas las interpretaciones admiten la siguiente proposición:

n=1 Δψ=0 y ψ=0

donde significa «si y sólo si». O sea, que n=1 conlleva necesariamente que Δψ=0 y ψ=0; asimismo, Δψ=0 y ψ=0 conlleva necesariamente que n=1, por lo cual, según lógica formal, se admite que ambas situaciones (n=1 y Δψ=0 y ψ=0) se definen mutuamente (en una definición, dos proposiciones lógicas se hacen equivalentes; en un diccionario, se lee «x [un objeto] es y [un objeto representado por una palabra] si y sólo si se cumple z [una oración, que es la definición dada por el diccionario para el objeto y]»).

Dicha proposición, que se abreviará Ñ, es indecidible porque su veracidad o falsedad no puede averiguarse: dado n=1, nada puede asumirse acerca de su carácter veraz o falaz; para hacerlo se tendría que generar n=2, pero eso únicamente puede declarar la veracidad o falsedad de sentencias con n=2 y jamás con n=1.

Asimismo, todas las interpretaciones elaboradas son coherentes con la proposición Ñ por deducirse a partir de ésta. Entonces las siguientes 1) los valores ψ no se suman; cada partícula se mantiene individual en cualquier caso, 2) los valores ψ se suman; las partículas pierden su carácter individual cuando n=1 y 3) existe un parámetro J tal que J=0 cuando n=1; son todas proposiciones indecidibles deducidas de la proposición Ñ.

Quizá existan o no variables “ocultas”, como el parámetro J, que no pueden medirse. Quizá las partículas se sumen y formen una sola cuyo valor ψtotal tampoco sea medible. Quizá las partículas no puedan formar una ψtotal y tal situación tampoco pudiera ser medible. Quizá existan otras interpretaciones que sean igualmente coherentes, pero jamás podrá saberse si la veracidad o falsedad de alguna es correcta. En lógica formal es sabido que alguna interpretación debe de existir cuyo carácter veraz sea correcto de asumirse, pero nunca podrá ser admitida, aun siendo verdadera, como veraz porque llevaría a contradicción con la proposición Ñ.

Las consecuencias de que Ñ sea posible en Física son importantes. Primeramente, admitir en cualquier deducción que alguna de las interpretaciones obtenidas es verdadera conlleva una contradicción directamente. Esto se deduce por el teorema de incompletitud de Gödel, que se expresa:

Todo sistema de proposiciones que sea coherente (que no implique contradicciones) presenta como proposición válida alguna sentencia indedicible. Un sistema que no presente sentencias indecidibles y que se asuma coherente es realmente incoherente.

El sistema de proposiciones físicas que aquí se ha presentado se asume coherente porque procede de mediciones que lo corroboran. Entonces debe presentar sentencias indecidibles, lo cual se ha observado con Ñ y las interpretaciones obtenidas. Si alguna de las intepretaciones no fuese indecidible, Ñ tampoco lo sería y, por consiguiente, no se tendrían proposiciones indecidibles que en verdad lo son (se estaría mintiendo sobre la verdadera naturaleza de las proposiciones en Física). Entonces, el sistema de proposiciones físicas sería coherente, pero sin indecidibles, por lo cual sería realmente incoherente. Entonces ninguna de las interpretaciones obtenidas (y obtenibles) a partir de Ñ es verdadera.

En lógica formal también existe el siguiente teorema:

Asumir que una sentencia indecidible es verdadera lleva a la deducción de contradicciones, es decir, a la formación de paradojas.

Así, asumir cualquiera de las interpretaciones como verdadera implicaría que el resto fueren falsas. Pero cada una ha sido tomada como válida a partir de las mismas proposiciones (los principios físicos y reglas de inferencia) que validan a la intepretación asumida como verdadera. Si este sistema es incoherente porque deduce interpretaciones falsas, entonces la interpretación asumida inicialmente como verdadera queda ahora falsa, por lo cual se obtiene una paradoja, o simplemente una contradicción.

Así, surge la paradoja EPR por considerar simultáneamente verdaderas la intepretación sobre la suma de valores ψ y la interpretación sobre la individualidad de los valores ψ sin sumarse. Entonces

1. Si los valores ψ no se suman, los espines de las partículas en el evento 2 no varían. Esta perspectiva es determinista: los espines están dados de antemano, previamente al evento 3.
2. Si los valores ψ se suman, Δψ=0 se cumple porque Δψtotal=0 se observa.
3. Sin embargo, de 1, la proposición 2 no es válida (son mútuamente contradictorias), por lo cual Δψ=0 no se cumple, al contrario, Δψ≠0 queda cuando n=1.
4. De lo anterior, n=2 debe cumplirse necesariamente durante el evento 2 porque Δψ≠0 se ha demostrado cuando n=1, lo cual es contradictorio.
5. Si Δψ≠0, no importaría, primero, que las partículas hayan supuestamente cesado en su interacción: siempre estarían interactuando, incluso posteriormente a su interacción. Segundo, en tal caso tampoco importaría a qué distancia se encontraren las partículas en el evento 2: ninguna separación sería suficiente entre las partículas para que éstas cesen en su interacción.
6. Por lo tanto, cualquier interacción podría superar la velocidad de luz y, de hecho, todas las interacciones serían o bien permanentes, o bien inmediatas, con acción a distancia.

Particularmente la deducción de las interacciones superlumínicas (a velocidades mayores que la velocidad de la luz) hace patente lo verdaderamente incoherente de 6. Esto se obtuvo por considerar que las sentencias indecidibles obtenidas por Ñ eran simultáneamente verdaderas y esto, a su vez, por considerar que realmente Ñ era verdadera y no indecidible. Con haber considerado que alguna de las interpretaciones indecidibles era verdadera se hubiese obtenido que Ñ era verdadera y, a la vez, que otra de las consideraciones fuese necesariamente verdadera. Pero considerar dos interpretaciones indecidibles como verdaderas de forma simultánea lleva, como se ha observado, a la obtención de resultados absurdos. Esto concuerda, además, con el teorema de Bell, mismo que expresa que la Mecánica Cuántica, basada en la suma de valores ψ junto con la naturaleza ondulatoria de dicho valor, no es coherente con ninguna interpretación clásica (que no admita la suma de valores ψ) al respecto. Por supuesto, ahora se ha observado porqué el teorema de Bell se cumple: porque ninguna interpretación indecidible puede asumirse verdadera y ser coherente con otra indecidible también asumida verdadera.

En conclusión, no puede admitirse que Ñ y sus interpretaciones sean verdaderas. Esto se deduce tras intentar seguir y no contradecir a los principios fundamentales de la Física y, lo que es más importante, a los resultados experimentales. Sólo se pueden establecer inferencias verdaderas sobre las mediciones, el Universo que podemos detectar, pero nunca sobre la “perspectiva de una partícula”, donde nada se detecta.

26 de Marzo de 2014
 
 

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