Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 22 de marzo de 2014

SOBRE LA EXPRESIÓN COHERENTE DE LAS CIRCUNSTANCIAS DE MOVIMIENTO

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México
 
 
 
Erwin Schrödinger, quien retoma
la naturaleza ondulatoria para describir
el movimiento de los corpúsculos.


Es Ψ la función que describe acertadamente las circunstancias de movimiento (o estado de movimiento) de las partículas. Si esto es cierto, debe ser coherente con todas las leyes que caractericen al Universo.

Así, Ψ(x,y,z,t) se expresa porque las circunstancias de movimiento de las partículas se dan en términos de la posición (x,y,z) y la coordenada de tiempo asociada a éstas (t). Entonces Ψ describe tanto la posición como el tiempo para el movimiento de una partícula.

Suponiendo que Ψ=f(x,y,z), donde f(x,y,z) es una función cualquiera dependiente de las coordenadas x, y, z, Ψ queda independiente de dónde se halle la partícula; sus circunstancias de movimiento son válidas para cualquier posición en el Universo, o bien, dado que, en principio, las circunstancias de movimiento de una partícula son intrínsecas a ésta, la partícula debe de hallarse en todas las posiciones del Universo necesariamente, porque las circunstancias asociadas a la partícula están presentes espacialmente en todo el Universo. En otras palabras, la partícula es una onda que se distribuye espacialmente y de forma constante a través del Universo.

Para averiguar que esto se cumple, basta con colocar en cualquier región del Universo otra partícula de valor Ψm propio (m por medición; la partícula se emplea para medir). Cuando se presente un cambio en el valor de Ψm, entonces se sabrá que la primera partícula se hallaba en un sitio determinado. Tras hacerlo en varias ocasiones en distintos sitios, se observará la misma variación en el valor de Ψm. Sin embargo, hacer esto también modifica Ψ de valor y no permite determinar si realmente se trata de la partícula cuyas circunstancias se veían planteadas por el valor de Ψ original. Esto es, si Ψ cambia de valor, ya no describe las circunstancias de movimiento de la partícula en la forma en que se desea conocer, con el valor original de Ψ.

Conocer el valor de Ψ para cierta partícula en unas circunstancias de movimiento tales que no influye ninguna otra partícula en su valor no es posible. Para ello se requiere de realizar una medición, lo que significa modificar el valor de Ψ y, finalmente, no encontrar el valor de Ψ en las condiciones requeridas. Esto a menos de que Ψ sea averiguada porque la partícula se vea influida por ella misma y determine su propio valor de Ψ que ya no cambiará: las circunstancias de movimiento no cambian porque no hay otra partícula que las modifique. ¿Cómo puede influirse una partícula a sí misma? Obsérvese el siguiente razonamiento: Ψ sólo cambia de valor porque una partícula influye a otra. Entonces, si Ψ no cambia de valor es porque no hay ninguna influencia presente. Sólo un partícula puede influir en otra y cambiar el valor de Ψ y, por lo mismo, las circunstancias de movimiento de ésta. Así, es absurdo que una partícula se influya a sí misma; Ψ no puede cambiar su valor, en principio, para que la partícula correspondiente lo averigüe.

Por consiguiente, Ψ=f(x,y,z) es en realidad falsa si se asume para una partícula sin influencia de otras partículas, puesto que Ψ no puede conocerse si ésas son las circunstancias propuestas. En general, cualquier valor de Ψ es falso por el mismo argumento.

La ecuación de Schrödinger sugiere esto mismo, es decir, un valor Ψ=f(x,y,z) conocido para las circunstancias señaladas, por lo cual dicha ecuación es falsa en esta condición. Esto es, no resulta válido emplear la ecuación de Schrödinger para partículas no influidas, evidentemente, por otras partículas. No significa que la ecuación se inválida para otras circunstancias donde, de hecho, ha probado su completa validez. Sólo es para partículas no influidas donde no ha comprobado cumplirse. Nótese que sí se ha comprobado válida cuando la partícula no influida pasa a ser influida (a través de los valores Ψm sugeridos inicialmente), pero nunca para la partícula simplemente no influida. Casos de cambio desde la no influencia a la influencia son varios y conocidos: cualquier situación tipo «efecto túnel», la colisión de Heisenberg entre un fotón y un electrón –misma que arroja como resultado su principio de incertidumbre–, y otros más. Nunca se ha observado el caso de una partícula percibiéndose a sí misma.

Esto conlleva a que la ecuación de Schrödinger sólo sea válida para circunstancias donde hay una interacción entre partículas, también llamada «medición». Entonces:

-h2·∇2Ψ/(8·π2·m)+U(x,y,z)·Ψ=E·Ψ

que es la ecuación de Schrödinger con h la constante de Planck para la cuantización de la energía, U la energía potencial, y E la energía total asociada a la partícula, debe ser modificada para las circunstancias que no puede caracterizar. Se plantea nuevamente la ecuación como sigue:

-J2·h2·∇2Ψ/(2·π2·m)+U(x,y,z)·Ψ=E·Ψ

donde 2·J es el «factor de relevancia» tal que

J={0 si no hay medición; 1/2 si hay medición.

Es nombrado 2·J «factor de relevancia» porque indica si es relevante cuantizar o no la energía. Si J=1/2, el valor de h toma relevancia en la ecuación, así como la cuantización que dicha constante implica. Si J=0, el valor de h carece de relevancia en la ecuación y queda irrelevante la cuantización de la energía. Este factor 2·J de relevancia está presente en la redefinición de la relación de incertidumbre de Heisenberg, es decir,

Δr·Δpr=J·h/(2·π), con r=x, ó r=y, ó r=z.

Cuando hay influencia de una partícula en otra, J=1/2 y se obtiene la relación de incertidumbre de Heisenberg en su forma original. Cuando no hay influencia en una partícula por medio de otra, J=0 y la incertidumbre carece de sentido físico; la partícula necesariamente está determinada en su posición y momento (o velocidad). Porque Δr·Δpr=0 lleva a Δr=0, que la partícula esté con posición determinada en r: la partícula está en el mismo sitio donde ella misma esté (aunque luzca tautológico) no importando si su naturaleza es ondulatoria o corpuscular, o cualquier otra, lo cual concuerda con el hecho de que Ψ no cambie su valor. Asimismo, Δpr=0 también es válido porque se mueve la partícula a la misma velocidad con que ella misma se mueve (aunque también luzca tautológico), lo cual concuerda nuevamente con el hecho de que Ψ no cambie su valor: si el marco de referencia se encuentra desde la perspectiva de la partícula, p=0 en cualquier caso y Ψ efectivamente no cambia de valor.

Ahora se planteará nuevamente la solución de la ecuación de Schrödinger para la partícula sin influencia. Siendo así, J=0. Aparte, U(x,y,z)=0 porque carece de la influencia de otra partícula; no hay fuerzas que generen energía potencial alguna. Finalmente, si la partícula no se mueve respecto a un marco de referencia con su misma velocidad y no hay energía potencial presente, se asume que la energía total aunada a la partícula es E=0. Por lo tanto:

-02·h2·∇2Ψ/(2·π2·m)+0·Ψ=0·Ψ
0≡0

queda no importando el valor de Ψ, tal y como se especificó, es decir, que cualquier Ψ de valor conocido era falsa. Es por ello que se concluye:

1. Cuando n=1, donde n es el número de partículas en un marco de referencia, J=0.
2. Cuando n es mayor que 1, J=1/2 (porque así hay interacción entre las partículas). En general,

J={0 si n=1; 1/2 si n es mayor que 1.

3. Nuevamente, 2·J=0 indica que la cuantización de la energía es irrelevante; 2·J=1 indica que es necesaria dicha cuantización.
4. La ecuación de Schrödinger queda redefinida como

-J2·h2·∇2Ψ/(2·π2·m)+U(x,y,z)·Ψ=E·Ψ

y la relación de incertidumbre pasa a ser

Δr·Δpr=J·h/(2·π), con r=x, ó r=y, ó r=z.

5. Aunque Ψ queda indeterminada en su valor para n=1, Δr=0 y Δpr=0 respecto al único agente fenomenológico, la partícula en cuestión. Es Ψ un valor con significado para el resto de las partículas en el Universo; para la partícula en cuestión, Ψ es también irrelevante en su valor como lo es la cuantización de la energía. Esto es, según la partícula, el hecho de ser partícula resulta suficiente para expresar sus circunstancias de movimiento; respecto a ella no se requiere de Ψ alguna para expresarlo, ni de otra propiedad (energía, temperatura, carga, masa, etc.) en particular

Considérese que la influencia de una partícula dada otra, o la interacción, o la medición, implica el intercambio de partículas de campo. Por lo tanto, n=1 cuando una partícula no se halla intercambiando partícula de campo, o bien, cuando no interactúa con ninguna. Así, n=1 dada la partícula hasta cualquier región donde no haya más partículas (lo cual es redundante, pero necesario de mencionarse para observar que existe coherencia entre la descripción del fenómeno y la simbología empleada). Si n=0, J no está definido; esto implica que tanto J=0 ó J=1/2 sean igualmente válidos y que igualmente lleven a conclusiones contradictorias en cuanto a la naturaleza del espacio-tiempo como cantidad física (n=0 expresa que se está analizando sólo al espacio-tiempo). Dicha entidad es analizada por medio de otros argumentos (es necesario tener otros para condiciones distintas a las descritas por la Mecánica Cuántica), a través de la Teoría de la Relatividad.

22 de Marzo de 2014


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