Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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domingo, 16 de marzo de 2014

SOBRE LA INDECIDIBILIDAD DEL PROBLEMA ONTOLÓGICO

De Alfredo Salvador C. García 
Ciudad de México



 René Descartes: «Pienso, entonces existo.»


«Si fueran ciegos, no tendrían pecado.
Pero ustedes dicen: “Vemos”,
y ésa es la prueba de su pecado.»

Juan 9,41


Se plantea la definición ∀xΠxΩx donde Πx dice «x puede existir» y Ωx dice «x existe». No se confunda al cuantificador con el relator Ω: el cuantificador expresa cantidad y es conveniente referirlo como «algún».

Entonces la existencia de x queda definida mientras x pueda existir. La definición puede tomar la forma ∀xΛΠxΩx→ΩxΠx. Por consiguiente, para que la definición sea deducida verdadera bastaría con probar que tanto ΠxΩx como →ΩxΠx son verdaderas. Se observará inicialmente que →ΩxΠx es veradera según la intuición: si un x existe, por decir, una hoja de papel, o una letra, o un libro, o una idea, etc., entonces claramente ese x puede existir. Ahora, si un x puede existir pero se desconoce que existe, ¿ese x existe? ¿Puede saberse verdadero que una hoja de papel existe sólo por el hecho de que su existencia sea posible?

La veracidad de Πx se prueba confirmando la existencia de x pues ello implica intuitivamente que Πx según →ΩxΠx. Si se desea ir en sentido inverso, que Πx sea en principio verdadera, es cuestionable que Ωx sea verdadera pues no se contaría con evidencia para asumir que Πx fuere verdadera. ¿Hay forma de probar la veracidad de Πx sin probar la veracidad de Ωx?

Por el momento sólo se sabe que ∀x↔Ωx↔ΠxΩx, y en esas circunstancias sólo de ΛΩxΠx se deduce Ωx, lo cual también ya se sabe. Supóngase que →NΠx, donde N es una sentencia que incluye variables aparte de x. Asimismo se tiene que →ΛΩyiΠx, donde Ωyi≡Ωy1Ωy2Ωy3... Ωyn con una n dada y ΛΩyi es verdadera porque se ha observado el cumplimiento de cada Ωyj (Ωy1, Ωy2, Ωy3, etc.) Entonces Πx sería verdadera mientras cada Ωyj fuese verdadera. Para asegurar que ∀xΠxΩx sea cierta es necesario solamente probar que ¬=xyj (que no sea igual x con ninguna yj).

Por ejemplo, cuando J. Maxwell plantea su teoría electromagnética obtiene una sentencia N que hace referencia a la velocidad de la luz como valor de velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas, es decir, se tiene una Ωyj componente de la Ωyi, por decir, Ωy1 donde y1 era cualquier onda electromagnética, o bien, en general, =onda electromagnética yj. Aparte, →NΠx con =luz x, pues si N hace referencia a la velocidad de la luz, la luz puede existir. Sin embargo, sería demasiado extraño que la luz pudiese existir pero que no existiese ésta –independientemente de la evidencia obvia sobre la existencia de la luz–. Y en efecto, =xyj, o sea, la luz es una onda electromagnética. Por lo tanto, el caso de la teoría electromagnética de Maxwell aporta evidencia para admitir verdadera a la sentencia ∀x↔Ωx↔ΠxΩx y no a la sentencia ∀xΠxΩx.

A la fecha no se cuenta con ninguna teoría que lleve a ∀xΠxΩx, pues se basan todas aquellas comprobadas verdaderas (hasta el momento verdaderas) en la prueba de →ΩxΠx y no en el sentido inverso. De hecho, las teorías que por lo general admiten →ΠxΩx llevan junto con →ΩxΠx a que ΛΠx¬Πx –lo cual es absurdo– porque al realizar observaciones resulta que ¬Ωx. Por ejemplo, se se parte de las transformaciones de Galileo, se tiene que →ΠxΩx siendo =coordenadas de tiempo únicas x; luego se deduce Ωx, pero al realizar observaciones se infiere en realidad que ¬Ωx (las coordenadas de tiempo no son las mismas para marcos de referencia a velocidades distintas) y por ello ΛΠx¬Πx, que, por una parte, las coordenadas de tiempo son iguales para todos los observadores en el Universo y que, por otra parte, no lo son pues aquello simultáneo para un observador no lo es para otro (según lo expresa A. Einstein).

Sin embargo, esto no significa que ∀x↔Ωx↔ΠxΩx sea indudablemente cierta: supóngase que ↔Ωx¬Mx para un x, donde Mx dice «x es corroborable en cuanto a su existencia». Esto es, ¬Mx queda como característica inherente de x. Por consiguiente, no podría saberse si Ωx es verdadera pues se asume que ↔UΩxMx donde UA dice «A se sabe verdadera». Así, cuando Ωx, queda para la x sugerida que ¬UΩx y también que ¬UΠx. Asimismo, si se abrevia ω≡∀x↔Ωx↔ΠxΩx, entonces ¬Uω. Puede simbolizarse lo anterior como sigue:

1. →MxBΩx en principio, donde Br dice «r es verdadera».
2. ↔Ωx¬Mx definición de Ωx, la existencia de un x dado.
3. Ωx premisa 1.
4. ¬Mx se deduce de la definición.
5. VBΩx¬BΩx se deduce del principio en 1.
6. VBω¬Bω se deduce de 5. y expresa lo mismo que ¬Uω.

Hasta el momento ω ha mostrado ser tan cierta como útil para fundar las grandes teorías científicas. Sin embargo, presenta limitaciones, particularmente que no necesariamente . Pueden sugerirse variables simbolizando objetos tales que ↔Ωx¬Mx y jamás podría averiguarse su existencia. Eso ocurre con algunas religiones donde x toma el lugar de sus dioses, pero también toma el lugar de las partículas [subatómicas] mientras no interactuen con alguna otra partícula. Despúes de todo, si no es posible hacerlas interactuar tampoco es posible medirlas (para medir se requiere de hacer interactuar a la partícula medida con la medidora) y así tampoco resulta posible determinar su existencia tal que no se hallen interactuando.

Es el caso que, o bien existen las partículas sin interactuar (lo cual puede resultar intuitivamente creíble), o bien no existen las partículas sin interactuar y todas dependen unas de las otras para existir interactuando (lo cual también puede resultar intuitivamente creíble). Sin embargo, considerar esto último conlleva algunas contradicciones: interacciones superlumínicas (que rebasan la velocidad de la luz –y que en principio, según la Teoría de la Relatividad no pueden presentarse–), agujeros negros donde una partícula deja de existir no obstante el resto del Universo (o al menos otra partícula con la cual se hallaría entrelazada) sigue existiendo, entre otras semejantes. Aún así, como ↔Ωx¬Mx, no es posible saber si una u otra de las opciones intuitivas son ciertas, o si existe otra inesperada, y esto lleva a que en la realidad física (aquella que sí se ha logrado medir y que puede medirse) ω no tenga validez plena, aún cuando se ha puesto toda la confianza en ella desde la fundación de la Física hecha por Newton al establecer sus leyes del movimiento. Y si ω no es plenamente válida, mucho menos se puede esperar que ∀xΠxΩx lo sea. La manera cartesiana en la frase «Pienso, luego existo», o bien, «Lo pienso, luego existe» es indecidible.

16 de Marzo de 2014


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