Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 28 de marzo de 2014

SOBRE LA NATURALEZA INDECIDIBLE DE LAS PROPOSICIONES EN FÍSICA

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México
 


Richard Feynman, quien ignorando el concepto
lógico de indecidibilidad declaró con justos motivos
«Si usted piensa que entiende a la Mecánica Cuántica,
entonces usted no entiende la Mecánica Cuántica.»


Sea la siguiente deducción para una partícula dada:

1. p=h/λ, que es la hipótesis de De Broglie (p es el momento asociado a la partícula; λ es la longitud de onda también asociada a la partícula).
2. E=U+K, que es el planteamiento matemático del principio de conservación de la energía (E que es la energía asociada a la partícula; U la energía potencial dada la interacción de la partícula con alguna otra; K la energía cinética asociada a la partícula dado su movimiento respecto a un marco de referencia inercial).
3. U=0, porque la partícula bajo estudio se mueve libremente (hipótesis) y no hay interacción con otras partículas.
4. E=K=h·f, por las proposiciones en 2 y 3, además de la cuantización de Planck para la energía.
5. K=h·f=p2/(2·m)=h2/(2·m·λ2), si la partícula bajo estudio se mueve a una velocidad baja (caso no relativista).
6. f=h/(2·m·λ2); v=λ·f=h/(2·m·λ), continuando la deducción por la proposición en 5; luego, porque la velocidad se define de la forma indicada.
7. v=0, si la observación se realiza a la misma velocidad que sigue la partícula viajera.
8. v=0 y v=h/(2·m·λ), por las proposiciones 6 y 7. Esta expresión es contradictoria. Porque v=h/(2·m·λ) tendría que ser válida cuando v=0, pero ello implicaría que h=0, lo cual es falso (h es constante y su valor es 6.63x10-34 J·s), o bien, porque λ→∞ que también sería falso (una onda asociada a λ→∞ haría que v→∞ –de v=λ·f– a menos que f=0, y en todo caso aquello implicaría que la partícula fuese un “rayo” que abarcase inmediatamente dos regiones distantes del Universo simultáneamente, violándose el hecho de que v sea menor c; esto también lleva a otras contradicciones como v=0 siendo v→∞), o bien, porque m→∞ que también es falsa (aun asumiendo que v es baja, por ejemplo v=0, la Teoría de la Relatividad sigue teniendo validez; así m·c2 quedaría y E→∞, por el valor de la energía de la partícula en el reposo, que es contradictorio con E=K=h·f de la sentencia 4).
9. Sea el siguiente teorema lógico (resolución general de las paradojas): «si existe una contradicción, entonces alguna sentencia (proposición) indecidible fue asumida verdadera para la deducción implicada». Así se infiere que E=h·f es la sentencia indecidible que anteriormente fue asumida verdadera.

Si la deducción procede de 1, 2, 3, 4, 5 y 6, se analiza

A) 1, 2, 3, 5 y 6, son todas definiciones, válidas por aportar simbología necesaria en cualquier estudio físico. Sin tales definiciones resulta imposible hablar de «Física» propiamente. En particular, p=h/λ (que es una hipótesis), E=U+K, U=0 cuando la partícula es libre, K=p2/(2·m)[=½·m·v2] y v=λ·f sólo son principios fundamentales de la Física o se derivan de ellos (como es el caso de K=p2/(2·m) partiendo de E=U+K a bajas velocidades).

B) Podría pensarse que E=h·f es también una definición fundamental, pero no es así: mientras que p=h/λ se establece como relación intrínseca de las partículas y se valida experimentalmente solamente cuando E=h·f se cumpla (aunque por sí misma p=h/λ fuese válida), y E=U+K sea un principio inviolable, E=h·f no se obtiene de una situación considerada intrínseca a las partículas o a la naturaleza, sino de una medición. Así, la cuantización E=h·f sólo cobra sentido físico experimental durante la interacción de dos partículas.

La cuantización de la energía ha sido corroborada porque un electrón pase de cierta órbita atómica a otra y emita un cuanto de energía en forma de fotón, o porque el efecto fotoeléctrico se lleve a cabo colisionando un fotón contra un átomo, o porque el fotón contra el átomo dé lugar al efecto Compton. Nunca ha sido observada la validez de la cuantización en la ausencia de detectores: si bien muchos fenómenos pueden explicarse considerando que la cuantización es válida también para casos de partículas libres, la medición que validare directamente esta hipótesis no es posible de realizarse. Si las partículas son libres de cualquier interacción, cualquier medición implicaría que no fuesen libres; así no podría medirse nunca una partícula libre porque, en principio, es imposible.

Así, considerando que E=h·f fuese verdadera para el caso de las partículas libres, alguna medición tendría que ser realizada para hallarse una energía E de interacción. Esto, finalmente, contradice que las partículas fuesen libres. Si E=h·f fuese falsa para el caso de las partículas libres, entonces sería necesario medir a alguna partícula sin interactuar de tal forma que se pudiera observar que E≠h·f, sin emabrgo la medición no hace más que corroborar que E=h·f –porque la partícula libre en realidad no estaría libre–, deduciéndose nuevamente una contradicción. Por lo tanto, inferir que E=h·f es indecidible resulta válido. Así, no es correcto plantear la proposición 4 como parte de una deducción coherente y

10. v=0 y v=h/(2·m·λ), dígase 8, no es deducible ni verdadera ni falsa porque, en primera instancia, no es deducible (dado que se ha evitado el planteamiento, según 9, de E=h·f). Luego, tampoco podría deducirse v=0 simplemente: porque viola el hecho fundamental de que las partículas son tanto corpúsculos como ondas. Siendo v=0, λ=0 queda, o f=0 también queda, o ambas porque v=λ·f. De ser solamente λ=0, p→∞ se deduce a partir de 1 y contradice v=0 (porque p=m·v). De ser solamente f=0, la partícula podría tener cualquier valor λ asociado, mismo que la haría ser varias ondas distintas a la vez, o bien, varias partículas distintas a la vez, lo cual es absurdo (sólo se tiene una partícula completamente distinguible de todas las demás). De ser ambas, se presentarían las conclusiones de cada una y se obtiene un absurdo finalmente. Por supuesto, v=h/(2·m·λ) no puede deducirse absurdo porque ni siquiera la proposición 4 ha quedado planteada tras la proposición 9 (E=h·f es indecidible).

Podría argumentarse que considerar E=h·f válida en todos los casos, tanto para partículas libres como para partículas interactuando, se justifica porque dicha igualdad explicaría que una vez detectada una partícula libre se obtiene una distribución probabilística de esta última en su forma ondulatoria. La distribución podría ser medida experimentalmente corroborándose con la ecuación de Schrödinger a partir del producto Ψ·Ψ* de la interpretación estadística de M. Born. Finalmente, se diría que v=0 y v=h/(2·m·λ), simultáneamente, sería una característica propia de las partículas libres y que por muy extraña que pareciese habría de ser admitida porque provendría de principios físicos comprobados, como se ha hecho notar, experimentalmente. Nada más que éstos para inferir que la propiedad rara «v=0 y v=h/(2·m·λ)» fuese admisible, incluso violando otras teorías también basadas en pruebas experimentales, como por ejemplo la Teoría de la Relatividad.

No obstante, toda esa argumentación resulta inválida desde que se admite una situación no medida como si hubiese sido medida anteriormente. Que pueda explicarse un resultado experimental a partir de una proposición lógica (como E=h·f) no significa que necesariamente dicha proposición sea verdadera. El único esquema lógicamente válido es

M(a)→L(a),

donde dice si..., entonces..., M(a) dice la propiedad a ha sido medida y L(a) dice la propiedad a ha sido formalizada –simbolizada en una proposición (sea ley, teorema, axioma, etc.)–, pero no se intente

L(a)→M(a)

porque nunca se ha visto que por sugerir una proposición ésta se cumpla necesariamente. Sí se ha observado en algunos casos que la proposición conlleva a su corroboración porque alguna medición la confirma, pero no en todos los casos es así (contémplese E=h·f asumiéndola válida para todos los casos –partículas libres y partículas interactuando– aunque no todos han sido medidos) por lo cual L(a)→M(a) es completamente absurdo.

En conclusión, debe seguirse, al menos en Ciencia, por supuesto que en Física, la proposición M(a)→L(a), y en caso de que M(a) no sea posible de obtenerse –ni sea posible, evidentemente, calificarla de verdadera o falsa– entonces L(a), primeramente, no puede deducirse y, lo que es más relevante, si no es siquiera deducible tampoco podría ser calificada de verdadera o falsa; de lo contrario, las contradicciones –paradojas, absurdos– son un resultado inminente.

28 de Marzo de 2014
 
 

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