Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 14 de marzo de 2014

SOBRE LAS CIRCUNSTANCIAS DE MOVIMIENTO DE LAS PARTÍCULAS

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México


Isaac Newton, el padre de la Física,
quien determinó por vez primera y
sistemáticamente las circunstancias
de movimiento de los cuerpos en el Universo.


Sea una única partícula en un marco de referencia. Esta partícula presenta unas circunstancias de movimiento (o estado de movimiento) tales que permiten establecer qué coordenadas x, y, z (en conjunto llamadas posición), t, le corresponden y cuál es el valor de las variaciones de las coordenadas espaciales respecto a la coordenada temporal, xt, yt, zt, llamadas en conjunto velocidad. Por supuesto, también puede establecerse las variaciones de la velocidad respecto a la coordenada temporal, xtt, ytt, ztt, llamadas en conjunto aceleración.

Supóngase el caso en que la partícula propuesta tiene a un tiempo t=t0 una velocidad v=(xt, yt, zt). Se ha mencionado que esta velocidad representa parte de las circunstancias de movimiento de la partícula; entonces dado que no hay un motivo razonable para que sean modificadas tales circunstancias, la velocidad v se mantendrá con un valor invariable, es decir, cada variación de la forma kt se mantiene constante. No se considera que haya motivos tales que modifiquen las circunstancias de movimiento de la partícula porque sólo se tiene a dicha partícula en el marco de referencia y se asume que es inerte (no actúa para modificar por sí misma sus propias circunstancias). Así, la descripción dada como «una partícula en un marco de referencia» no cambiará ni tendrían porqué modificarse su velocidad ni su posición, ni su aceleración. No obstante, sólo se mencionó que la velocidad no cambiaba, por lo cual aunque v=constante, y por supuesto cada kt=constante, la posición de la partícula no necesariamente es constante: si kt=constante, se tiene k=constante·t+constante' para cada k (x, y, z) siguiendo las reglas matemáticas de las variaciones. Entonces la posición puede cambiar con la coordenada t mientras la velocidad se mantiene constante. Pero no ocurre nada, puesto que no se ha modificado ni siquiera la posición de la partícula sugerida: la coordenada t tampoco cambia (t=constante'') y k=constante·constante''+constante', una posición dada por cada k=Constante (por ejemplo, x=Constante en x) que no cambia en el marco de referencia. Si es así, kt=0 y ktt=0, lo cual muestra que efectivamente las circunstancias de movimiento de la partícula no cambian.

En el caso de que las circunstancias de movimiento cambiasen, con que alguna de ellas variase todas en conjunto variarían. Supóngase que la coordenada t sí cambia. Entonces las circunstancias de movimiento de la partícula quedarían como 1) k=constante·t+Constante, porque si t=0 (cuando las circunstancias aún no cambian) k=Constante, 2) kt=constante y 3) ktt=0. El cambio de la coordenada t no puede deberse a la partícula solamente; se requiere necesariamente de un “agente físico” tal que explique el cambio. Hasta ahora se ha explicado lo que se presenta en el marco de referencia por medio de la partícula y de sus circunstancias de movimiento y no se ha requerido de otros “agentes físicos” para tal fin. Entonces se recurrirá a uno de ellos para explicar que la coordenada t cambie. Si las circunstancias de movimiento están asociadas a la partícula, éstas no pueden ser el “agente físico” buscando puesto que no se presentan por sí solas. Por lo tanto, se asume que otra partícula fue la causante de que la coordenada t cambiase para la partícula inicialmente considerada. Nótese que la segunda partícula no necesariamente modifica la aceleración de la primera.

Si para la primera partícula las circunstancias de movimiento se mantenían constantes porque se encontraba como la única en el marco de referencia, la segunda también se encontraría como la única en su propio marco de referencia y sólo hasta que sus marcos de referencia se convirtieron en el mismo marco sus circunstancias de movimiento de ambas cambiaron. Entonces puede considerarse que las circunstancias de movimiento de la segunda partícula eran semejantes a las de la primera antes del encuentro: una posición constante (diferente de la posición de la primera partícula), la velocidad de valor cero y la aceleración de valor cero. Por consiguiente, también en el encuentro se dieron los mismos cambios para la segunda partícula que para la primera: una coordenada t que varía, una posición que varía dada la variación de t, una velocidad constante (no necesariamente igual a la velocidad de la primera partícula) y una aceleración de valor cero. De esto se observa que si las circunstancias de una cambian debido a la otra, las de esta otra cambian necesariamente debido a la primera.

Si las partículas se encuentran en el mismo marco de referencia cuando t=0 (según la primera partícula), las circunstancias de movimiento de ambas cambian, particularmente t. Entonces se tiene un nuevo valor t=t1. Si para de este valor de t ambas partículas siguen en el mismo marco de referencia, entonces t debe modificarse nuevamente a un valor t=t2, lo cual no garantiza que el cambio haya ocurrido de la misma forma que el primero. Esto es, para t=0 la posición cambió de k=constante0·0+Constante0 a k=constante1·t1+Constante1, y para t=t1 cambió de k=constante1·t1+Constante1 a k=constante2·t2+Constante2, lo cual no garantiza que necesariamente constante0=constante1=constante2 aunque sí Constante0=Constante1 porque la posición de partida Constante0 jamás cambia (está dada desde la definición de las primeras circunstancias de movimiento de la partícula); por lo mismo Constante2= Constante0. Si hay variaciones para el valor constante de k=constante·t+Constante0, entonces no se trata de un valor constante y en realidad se debería expresar k=variable·t+Constante0 para todos los casos. La variable debe estar en función de la posición y de la coordenada t pues sus cambios son los únicos que reflejan la influencia de una partícula sobre la otra; si una partícula influye en el valor de variable, queda variable=variable(x,y,z,t). Con ello la velocidad de la partícula queda determinada por cada kt=(variable·t)t y la aceleración por cada ktt=(variable·t)tt. Entonces mientras las partículas se hallen en el mismo marco de referencia, las circunstancias de movimiento se modifican para cada t, es decir, se modifican a cada instante.

Anteriormente se observó que la presencia de ambas partículas en el mismo marco de referencia no conllevaba una modificación necesaria de la aceleración, situación que se contradice con lo apenas expuesto. Sin embargo, existe una forma de que esto se cumpla y sea coherente con las variaciones de velocidad y aceleración deducidas: si solamente para t=0 las partículas se encuentran en el mismo marco de referencia, variable=constante pues sólo existe un único valor de variable (no se ha analizado t=t1) y por consiguiente kt=constante y ktt=0. Luego, como se indicó que solamente para t=0 las partículas se hallan en el mismo marco, t=t1 no se presenta: sigue presentándose que kt=constante y ktt=0. Esto que aparentemente contradecía la segunda deducción realmente sólo era un caso especial de ésta: sus circunstancias de movimiento se refieren a que las partículas sólo se vean influidas mutuamente en solo un instante (t=0) y no en todos los instantes (t variable). Entonces se puede concluir que para cambiar de una partícula sin velocidad (o de velocidad cero) a una de velocidad constante, o bien, para darle movimiento y que éste se mantenga constante, se requiere de la presencia en un único instante de la partícula y otra dada en el mismo marco de referencia.

Las definiciones aquí dadas son válidas para cualquier teoría física pues no se refieren a la naturaleza de las partículas, sino a la forma lógica en que se interpretan tales teorías. Esto quiere decir que cualquier violación teórica a las conclusiones aquí obtenidas parte de una teoría con premisas falsas. Las definiciones señalan cómo es que debe llevarse a cabo una interpretación sistemática y correcta de la naturaleza de las partículas.

***

Supóngase un marco de referencia donde no se encuentra partícula alguna. Aparte, para describir la naturaleza de las partículas se emplea el principio de incertidumbre de Heisenberg que señala

Δx·Δp=h/(4·π)

donde el término a la derecha es un valor constante, Δx representa en qué rango de coordenadas x se puede hallar una partícula, es decir, partiendo de una coordenada x=x0 a otra x=x0+Δx es posible hallar a dicha partícula; Δp representa en qué rango de coordenadas momentos p puede tenerse a la partícula. Para partículas con masa m (propiedad que permite calcular las variaciones de aceleración dada la masa de otra partícula), p=m·v. Por ello, el momento es una propiedad que permite cuantificar el movimiento de una partícula, saber si se mueve más que otra. Así, partiendo de un valor p a otro p+Δp es posible asociar una partícula. Como los valores Δx y Δp se manifiestan en conjunto, la relación de Heisenberg permite distinguir de una partícula dado un rango de momentos p asociado a ella, en qué posiciones es posible encontrarla. Si sólo es posible encontrarla en una posición x única, con Δx=0, Δp adquiere un valor indeterminadamente grande, es decir, que no es posible asociar a la partícula con ningún momento p: conlleva todos los momentos. En el caso contrario, si la partícula se encuentra con un momento p único, Δp=0, Δx adquiere un valor indeterminadamente grande, o sea, que no es posible hallar a dicha partícula en una posición única: la partícula se asocia a todas ellas.

Entonces, siguiendo con que en el marco de referencia propuesto no se encuentra partícula alguna, se sabe que ninguna posición está dada para ninguna partícula. Entonces en un rango Δx indeterminadamente grande es imposible encontrar partícula alguna. Se deduce por ello que Δp=0 y sólo existe un valor de momento p que se presenta en el marco de referencia y para el cual ninguna partícula se encuentra en él. Ese valor es p=0: efectivamente, nada se mueve en el marco de referencia y el momento en él vale cero.

Ahora se define un marco de referencia donde sólo se encuentra una única partícula. Supóngase que, como se entendió en las definiciones de las circunstancias de movimiento, la partícula es ubicada únicamente en una posición. Así, Δx=0 y consiguientemente presenta todos los valores posibles de momento. Si la partícula tiene masa, eso significa que también presenta todos los valores posibles de velocidad. Sin embargo, cuando x tiene un único valor la variación debe presentar una única velocidad según se concluyó anteriormente para las circunstancias de movimiento de las partículas, por lo cual ha de entenderse que existen dos posibles premisas falsas: 1) que Δx=0 sea falso, o 2) que el principio de Heisenberg sea falso, o que ambas resulten falsas. Si la contraria de la primera arroja un resultado incoherente, significará que no es tal sentencia la que influye en la obtención del absurdo, sino el principio de Heisenberg. Entonces, que adquiera la partícula todos los valores posibles para la coordenada x (Δx queda indeterminadamente grande) y así Δp=0 con un único valor de momento p para la partícula. Si esto es cierto, también se tiene un único valor de velocidad para la partícula. Como la partícula se ha propuesto como única en el marco de referencia y según las conclusiones obtenidas al inicio, la velocidad de la partícula es cero. Sin embargo, esto contradice el hecho ya deducido donde el valor de x debe ser único (x=Constante en x). Si ninguna de las dos posibilidades válidas, Δx=0 y Δp=0, arroja resultados coherentes con las conclusiones de la lógica física, se deduce que necesariamente el principio de Heisenberg es inválido cuando sólo se presenta una única partícula en el marco de referencia.

Analizado el caso de una única partícula en el marco de referencia, se procede a observar la validez (o invalidez) del principio de Heisenberg cuando dos partículas se hallan en el marco de referencia. Si esto es así, puede asumirse que Δx=0 o que Δp=0 para una de las partículas, mientras que para la otra se desconoce este carácter. Entonces la primera partícula adquiere o todas las posiciones posibles en x, o todas las posibles cantidades de momento p. Esto no altera en absoluto el hecho de estar presente en el marco de referencia y, por lo tanto, es posible sin lugar a dudas que influya en el movimiento de la segunda partícula. Esta segunda partícula obedece las conclusiones obtenidas al principio sin que esto resulte contradictorio con el hecho de que la primera partícula presente o Δx=0 ó Δp=0, porque de las conclusiones se sabe que sólo la presencia de ambas partículas implica la modificación de las circunstancias de movimiento de éstas y no el hecho de que Δx=0 ó Δp=0. Asimismo, que una partícula cambie sus circunstancias de movimiento de una forma no implica que la otra partícula deba cambiarlas de una forma exactamente igual. Ya se ha visto tan sólo que la posición de una partícula debe ser diferente de la posición de la otra partícula.

Se observó en el análisis de las conclusiones iniciales que las circunstancias de movimiento para un caso de dos partículas en un mismo marco de referencia eran, en general, 1) k=variable·t+Constante0, 2) kt=(variable·t)t y 3) ktt=(variable·t)tt. Si la primera partícula presenta que Δx=0, la primera circunstancia de movimiento se satisface. Luego, las siguientes se cumplen de forma inmediata y como todos los valores de momento y de velocidad son posibles para las partículas que se tendrán con masa, tanto la velocidad como la aceleración son funciones de onda tales que permiten un Δp de valor indeterminadamente grande. Esto es válido puesto que en realidad la posición también se expresa como una onda, sólo que ésta se halla localizada y queda como la suma de varias funciones de onda. Este análisis es en realidad válido para ambas partículas, no viola los principios y conclusiones inicialmente obtenidos para las circunstancias de movimiento y se deduce inmediatamente que el principio de Heisenberg es válido cuando se presentan dos partículas en un mismo marco de referencia. Por inducción, el principio de Heisenberg es válido cuando se presentan varias partículas en el mismo marco, no sólo dos.

Finalmente, cabe cuestionarse si en el marco de referencia sin partículas es válido que el principio de Heisenberg no se cumpla. Si, por ejemplo, Δx=0 y Δp=0 se considera, se tiene que en el marco sólo en una única posición dada x y con un único momento dado p no se encuentra ninguna partícula presente. Esto se cumple, pues si la observación se ubica en una posición dada x conocida, no se hallará partícula alguna a la vez que a un momento conocido p=0 (no hay movimiento de partícula alguna) no se puede asociar a partícula alguna. Entonces se deduce directamente que el principio de Heisenberg es irrelevante cuando no se presenta partícula alguna en un marco de referencia. Esto porque tanto es válido que sea tomado en cuenta como que no sea considerado. Se revela que el principio de Heisenberg no expresa nada sustancial para explicar la naturaleza misma del marco de referencia, que se define exclusivamente por la naturaleza del espacio-tiempo, las coordenadas x, y, z, t.

***

Si se redefine el principio de incertidumbre como

Δx·Δp=J·h/(2·π) y aparte
J={0 cuando n=1; 1/2 cuando n sea mayor que 1

con n el número de partículas presentes en el marco de referencia por estudiar, se tiene una expresión válida para todos los casos encontrados. Asimismo se delimita su rango con el número de partículas de tal forma que se específica cuál es el propósito de determinar la incertidumbre Δx ó Δp: sólo es útil este concepto para estudiar el comportamiento de las partículas, no para estudiar al marco de referencia en sí. El estudio del marco de referencia está, por ahora, abarcado por la Teoría de Relatividad.

Como se sabe, h es la constante de proporcionalidad que valida a cuantización de la energía, o mejor conocida como constante de Planck. Si J=1/2, la cuantización de la energía es fundamental y debe considerarse para el estudio en cuestión necesariamente. Si J=0, la cuantización de la energía puede o no ser tomada en cuenta: h no cambia nunca su valor ni su influencia en el término J·h/(2·π); lo único que cambia es J. Por lo tanto, 2·J se denomina factor de relevancia, porque expresa si es relevante o no la cuantización de la energía. Sin relevancia, o relevancia cero, la cuantización es irrelevante y con relevancia 1 la cuantización es relevante. Por supuesto, el valor del factor de relevancia es irrelevante para el estudio de un marco de referencia sin partículas y por lo mismo es irrelevante si la energía está cuantizada o no, o si la energía misma existe: la existencia misma del espacio-tiempo no depende necesariamente (aunque podría ser que dicha dependencia se diese sin ser de forma crucial) de la existencia de la energía. La presencia de partículas en un marco de referencia dado tampoco es necesaria.

14 de Marzo de 2014


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