Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 7 de marzo de 2014

SOBRE LAS RELACIONES DE DETERMINACIÓN QUE DESCRIBEN UNA MISMA REALIDAD Y LA OBSERVACIÓN DUAL DEL UNIVERSO

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México

Gödel 


Werner Heisenberg, quien definió
la indeterminación de las propiedades
en el Universo


La relación de incertidumbre de Heisenberg se deduce tras considerar qué implica la naturaleza corpuscular y ondulatoria de una partícula. Concretamente, se sabe que una situación puede presentarse, o la otra, pero no ambas simultáneamente para una partícula medida. Esto, a su vez, implica que no pueden medirse simultáneamente y con exactitud plena tanto la posición como el momento lineal de una partícula: esto porque la medición plena de la posición implica la naturaleza corpuscular de la partícula en cuestión; la medición plena del momento lineal implica la naturaleza ondulatoria de dicha partícula. Como ambas situaciones (la corpuscular y la ondulatoria) no pueden presentarse de forma simultánea en una misma medición, tampoco se pueden presentar con exactitud plena tanto el momento lineal como la posición dada una partícula. Por consiguiente, se deduce que

Δx·Δp=J·h/(2π)

donde Δx es el valor de la incertidumbre (o falta de plenitud en la exactitud) de la medición sobre la posición de la partícula, Δp es el valor de la incertidumbre sobre el momento lineal que describe, J es una constante de proporcionalidad, y h es la constante de Planck en virtud de la implementación de la hipótesis de de Broglie sobre la naturaleza ondulatoria de la materia y, en general, de cualquier partícula (para observar la deducción, ver Ondas y corpúsculos, 1 de Marzo de 2014).

Se tiene que la relación de incertidumbre sólo es válida cuando se realizan mediciones, o bien, cuando al realizar consideraciones teóricas se sabe que los valores obtenidos sobre la partícula pueden ser aprehendidos a partir de una medición. Si no hay medición, dicha relación de incertidumbre no se cumple. Por ejemplo, si se tomase el lugar de la partícula, pretendiendo ser ella, nosotros determinaríamos que la posición (o nuestra posición) sería una constante y, por consiguiente, no habría incertidumbre al respecto, o bien, Δx=0. Asimismo, esto implicaría, que el momento lineal presenta una incertidumbre “infinita”, pero no es así: tomando el lugar de la partícula determinaríamos que Δp=0 porque respecto a nosotros (o la partícula respecto a ella misma) se tiene una velocidad constante, o bien, en términos generales, un momento lineal constante. Ambos valores desde la perspectiva de la partícula violan la relación de incertidumbre planteada. Esto ocurre porque la relación sólo es válida en condiciones de medición; cuando una partícula está percibiéndose a sí misma no ocurre medición alguna: para que halla mediciones es necesario hacer interactuar, en principio, dos objetos distinguibles. Por lo tanto, en el caso expuesto la partícula no puede medir su propia posición y momento lineal (la incertidumbre está relacionada necesaria y suficientemente con las mediciones): sólo los podría determinar.

Para diferenciar matemáticamente cuándo es que se efectúa una medición y cuándo es que no hay medición alguna, se redefine la relación de incertidumbre de la siguiente forma:

Δx·Δp=J·h/(2π), en todos los casos. Aparte
J={0 si no se efectúa medición alguna; 1/2 si hay medición.

Cuando hay mediciones, es decir, cuando existe la posibilidad de determinar la posición o el momento lineal de una partícula dada una interacción con otra partícula u objeto, J=1/2 que lleva finalmente a la relación de incertidumbre como fue deducida por Heisenberg: Δx·Δp=h/(4π). Cuando no hay mediciones, es decir, cuando sólo puede determinarse el valor de la posición o el momento lineal a partir de principios que se admitan ineludibles para la naturaleza (conservación de la energía, del momento lineal, definición de medición como interacción entre objetos, etc.), J=0 que lleva finalmente a la relación de certidumbre: Δx·Δp=0. Así, se cumple lo descrito anteriormente para la partícula observada “por sí misma”.

Nótese, primeramente, que la cuantización de la energía no está siendo violada en ningún instante: h sigue siendo válida con su valor constante y, dado que surge de la relación de cuantización de Planck para la energía, es muestra de que no hay una “anti-cuantización” de ésta. El parámetro J sólo obedece a la naturaleza física de la observación. También es muestra de la relevancia que tiene el valor de incertidumbre en cada tipo de observación: cuando se trata de una medición, la relación de incertidumbre de Heisenberg es fundamental; cuando se trata de una determinación (o una no-medición), la relación de incertidumbre de Heisenberg es irrelevante y puede en tales circunstancias tenerse valores plenamente exactos no sólo de la posición y del momento lineal de una partícula, sino también –y como así lo implica la cuantización de Planck– de la energía para un fenómeno y el tiempo con que éste es llevado a cabo.

Por ejemplo, un fotón es descrito a partir de una medición (con J=1/2): entonces suponiendo que el momento lineal p del fotón es constante y dado que la velocidad de la luz es constante (c), según la hipótesis de Einstein, p=h/λ=h·f/c donde λ es la longitud de onda del fotón, y f es la frecuencia del fotón. Por consiguiente, dada la suposición inicial, si p es constante, Δp=0 y dado que el fotón se comporta como onda, la posición de éste queda indeterminada y Δx→∞. Entonces, desde esta forma de observación, para el fotón existen el espacio y tiempo como objetos válidos: tanto el espacio existe (puesto que la posición x está presente, aunque su valor es ciertamente desconocido según Δx→∞) como el tiempo (porque es posible conocer la frecuencia con que se traslada el fotón, es decir, es posible conocer el tiempo que tarda en cumplir completamente cada ciclo de onda que implica). Esto contradice lo que manifiesta la Teoría de la relatividad de Einstein: a la velocidad de la luz no existen ni el espacio ni el tiempo como objetos válidos. Porque la relación de dilatación del espacio en esta teoría es

L=L0·(1-v2/c2)-1/2,

donde L es la longitud medida respecto a un marco de referencia inercial en movimiento (a velocidad conocida v) y L0 es la medida por un marco de referencial inmóvil (o en reposo). Cuando un objeto, como el fotón, se mueve a la velocidad de la luz, con v=c, una longitud L0 medida en el reposo carece de sentido: el valor L adquiere las dimensiones del Universo mismo (si no es que mayores a las del Universo mismo). Entonces, para el fotón una medición en tal sentido debe carecer de sentido lógico pues respecto a él todas las longitudes serían inconmesurables y si se encontrase frente a otros fotones, no podría medir sus velocidades (mismas que deberían ser de valor c) y los observaría, en virtud de ello, inmóviles. Asimismo, la relación de dilatación del tiempo en la misma teoría es

t=t0·(1-v2/c2)-1/2,

donde t es un periodo de tiempo medido respecto a un marco de referencia inercial en movimiento (a la velocidad conocida v) y t0 es el medido por un marco de referencia inmóvil. Entonces, para el fotón los tiempos se vuelven inconmesurables y parecería que nada en el Universo transcurriría (no habría ninguna interacción entre objetos y ninguna fuerza de ningún tipo se manifestaría) [ver Sobre las funciones dinámicas que caracterizan al Universo, 2 de Agosto de 2012, donde se manifiesta el significado biunívoco entre que los «sucesos» ocurran en el Universo y la manifestación de las fuerzas presentes en él]. Para el fotón, el tiempo no transcurre por ser la existencia de dicha partícula una cuestión que tiene un periodo de duración eterno (t→). Por lo tanto, tampoco sería posible medir en estas circunstancias la velocidad de otros fotones, misma que debería ser de valor c y que el fotón analizado mediría como cero.

Cuando el fotón es descrito a partir de él mismo, con (J=0), tanto la posición como el momento lineal de la partícula son conocidos y valen x=0, p=0 (porque respecto al fotón no hay más que una sola posición y no hay movimiento de él mismo). Entonces las relaciones de dilatación de la Teoría de la relatividad cobran sentido lógico: con J=0 se satisface que el espacio y el tiempo carezcan de significado físico para los objetos que se mueven a la velocidad de la luz. Por supuesto, esto contradice las situaciones presentadas cuando J=1/2 donde el momento lineal estaba plenamente determinado y la posición carecía de valor exacto. Visto el fotón a partir de una medición, éste tiene un carácter ondulatorio (denotado por Δx→∞). Visto el fotón a partir de una determinación, éste tiene un carácter corpuscular (denotado por x=0, p=0).

Concretamente, la relación de incertidumbre redefinida permite que ambas perspectivas posibles para una partícula sean compatibles y que no resulten contradictorias, sino complementarias. Con ella se consigue, además, que la Mecánica cuántica (basada en la relación de incertidumbre de Heisenberg, con J=1/2) y la Teoría de la relatividad (con J=0) no resulten contradictorias, sino que realmente sean consideraciones lógicas adecuadas a las circunstancias correspondientes. Una teoría no debe ajustarse a las situaciones para las cuales no ha sido definida, por el contrario, todas las teorías necesarias para describir los distintos casos que presenta una situación dada deben ser incluidos. El parámetro J permite describir cómo se está observando un fenómeno dado, específicamente el comportamiento de una partícula. Este parámetro resulta crucial porque si no se efectúa medición alguna se debe especificar una forma para prescindir de las ideas que necesariamente dependen de que se efectúe una medición (como el principio de incertidumbre de Heisenberg). Por supuesto, también aplica para teorías que no dependen necesariamente de la realización de mediciones (como ocurre con las relaciones de invariancia de Einstein –la más conocida, que la velocidad de la luz sea constante–). El parámetro J no viola el segundo postulado de la Teoría de la relatividad que se enuncia «todas las leyes de la Física son válidas para cualquier marco de referencia». Si esto es cierto, entonces la relación de incertidumbre ya redefinida es válida para todos los marcos de referencia y si J=1/2 tiene que respetarse consecuentemente que la relación de certidumbre Δx·Δp=0 no se cumpla. Nada en la Teoría de la relatividad prohibe la implementación de esta redefinición. Tampoco resulta invasiva para la Mecánica cuántica: no cambia en absoluto ninguna de las consideraciones que ésta tenga aunadas.

***

Partiendo de la relación redefinida es posible determinarse si la cuantización de la energía es observable. Considerando que J=1/2, la cuantización de la energía resulta evidente porque se le da validez a la constante de Planck como valor partícipe de las situaciones físicas que se presenten frente a una medición realizada. Considerando que J=0, la cuantización de la energía puede o no ser considerada. El valor de la constante de Planck no ha cambiado, pero no es tomado en cuenta para la descripción de las situaciones físicas tales que se presenten frente a una determinación (no-medición). La cuantización de la energía resulta irrelevante cuando J=0, aunque no imposible, porque no afecta en nada a los fenómenos que se presenten dada tal perspectiva.

Esto último permite entender que, por ejemplo, en fenómenos a escala ordinaria la energía pueda o no ser cuantizada y que los resultados experimentales sean consistentes dada una consideración o la otra. A escala ordinaria, cuando J=0 no se está diciendo que no existan fuerzas de interacción entre los objetos que las manifiestan, sino que éstas no modifican en absoluto las propiedades de los objetos. Quizá puedan deformarse o cambiar su temperatura, pero no cambiarán su carácter corpuscular en virtud de una interacción, situación contraria a cuando J=1/2, donde un objeto cambia su naturaleza corpuscular por una ondulatoria cuando una interacción se presenta.

***

Analícese el fenómeno de entrelazamiento cuántico por medio de la relación de incertidumbre redefinida. Cuando J=1/2, un par de electrones se hallan interactuando y sus espines deben ser, por el principio de exclusión de Pauli, uno de valor 1/2 y otro de valor -1/2. Luego, los electrones dejan de interactuar por estar en movimiento y se indeterminan las propiedades de ambos individualmente, particularmente los espines de cada uno. Sin embargo, dado que J=1/2, según predice la Mecánica cuántica cuando se mide que un electrón presenta el valor 1/2 de espín, consecuente e inmediatamente el otro electrón presenta el valor -1/2 de espín, tal y como si se encontrasen interactuando (aunque no sea así). Esta contradicción puede observarse fácilmente de la descripción dada: se puede leer «Luego los electrones dejan de interactuar», entonces el valor de J cambia de 1/2 a J=0. La lógica del análisis queda distinta: las propiedades de ambos electrones están determinadas, siendo fijas para cada uno porque no hay motivo para modificarlas (si no hay interacciones no debería existir, en principio, modificación alguna de las propiedades). Cuando se mide uno de los electrones, es decir, cuando J=1/2 para ese electrón, éste al tener el valor 1/2 de espín debe llevar, según la Mecánica cuántica a que el otro electrón muestre consecuente e inmediatamente el valor espín de -1/2. Esto ya no contradice en absoluto el hecho de que no estuviesen interactuando: si J=0, jamás cambió el espín -1/2 del otro electrón. Por consiguiente, cuando nuevamente J=1/2, su valor es inherentemente -1/2. Los electrones no volvieron a interactuar: para ellos J=0 inmediatamente después de haber interactuado. Esto garantiza que sus espines siempre sean complementarios, no porque se hallen los electrones interactuando sin interactuar, sino porque una vez adquiridos sus espines éstos no cambian cuando la observación hecha es una determinación. Sin embargo, esto siempre va a contradecir a cualquier perspectiva con J=1/2, como es el caso de la medición posterior a la interacción de los electrones. Para esa perspectiva, los electrones no tienen sus espines determinados y por ello parece que las partículas interactúan sin estar interactuando. El error se encuentra en que las formas con J=0 sólo son coherentes con otras perspectivas con J=0, y lo mismo para las perspectivas con J=1/2. Cuando se intenta mezclarlas, necesariamente (como lo señala el teorema de Bell) deben ser contradictorias, situación que resulta absurda: no puede realizarse y no realizarse una medición simultáneamente (no puede tenerse que J=0 y J=1/2 simultáneamente para una perspectiva dada; una observación o toma carácter de medición o toma el de determinación, pero jamás ambos).

Cuando J=0, se tiene una perspectiva de variables ocultas, donde ninguna variable puede ser medida, apenas determinada (J=0 se define para cuando no hay mediciones). Cuando J=1/2 se tiene una teoría de variables no ocultas, donde todas las variables pueden medirse. El teorema de Bell podría traducirse a que una teoría de variables ocultas es necesariamente contradictoria con cualquier teoría de variables no ocultas. Esto es cierto y puede observarse directamente de la definición del parámetro J. Así, el establecimiento del parámetro J no pertenece a una teoría de variables ocultas, ni tampoco a una teoría de variables no ocultas: pertenece a una teoría que define cuándo se presentan las variables ocultas y cuándo no. Que el parámetro mencione la naturaleza de ambas perspectivas no quiere decir que pertenezca a alguna de ellas, por el contrario, sólo las específica y, como es de esperarse, respalda aquellas conclusiones coherentes con las mediciones realizadas, por ejemplo, las desigualdades de Bell.

8 de Marzo de 2014
 
[Esta entrada participa en la L Edición del Carnaval de la Física alojado por Araceli Giménez Lorente en el blog El Mundo de las Ideas]
 
 

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