Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 5 de abril de 2014

ACERCA DE LOS CUERPOS QUE NO INTERACTÚAN

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México

Galileo Galilei, quien propuso la ley de inercia
(primera ley de Newton) y, junto con otras
contribuciones fundó la Ciencia en su forma moderna.



[Esta entrada participa en la LI Edición del Carnaval de la Física alojado por Marta Macho Stadler en el blog ZTFNews.org]

 
Se tienen dos cuerpos, 1 y 2, con momentos lineales cada uno inicialmente, p1,ii de inicial– y p2,i. Se los ha subrayado para denotar que son vectores. Ambos interactúan y posteriormente adquieren cada uno momentos lineales al final, p1,f y p2,f. Entonces se obtiene la siguiente demostración:

1. p1,i+p2,i=p1,f+p2,f, por la ley de conservación del momento lineal.
2. Δp1=p1,f-p1,i por definición.
3. p2,ip1+p2,f, se deduce.
4. p2,i=1/ξ·p2,f, se propone. Esta hipótesis es completamente válida, el cuerpo 2 con un momento final proporcional al valor del momento con el que inicialmente se movía (cualquier momento final tras una interacción es proporcional al momento inicial, y de ahí el parámetro 1/ξ).
5. Δp1=(1-ξ)·p2,i, se deduce.
6. límΔt→0p1/Δt=límf→∞ -f·Δp1=F, donde Δt es el periodo de tiempo en que se lleva a cabo la interacción de los cuerpos, f la frecuencia con que se llevaría a cabo la interacción si fuese cíclica (que se repitiera de forma consecutiva indefinidamente) –no necesariamente la interacción es cíclica–. Asimismo, F es la fuerza que actúa sobre el cuerpo 2 por interactuar con el cuerpo 1; es también -F la fuerza que actúa sobre el cuerpo 1 por interactuar con el cuerpo 2.
7. Fp1·límf→∞ -f, porque Δp1 es un valor constante (obsérvese en 5). Sin embargo, límf→∞ -f no existe, por lo cual se observa que la expresión matemática adecuada es F=-Δp1·f, con f la frecuencia máxima para llevar a cabo la interacción entre los cuerpos 1 y 2. Si, además, esto es válido, -F=-Δp2·f para el cuerpo 1 también lo es, o bien se deduce Fp2·f. También se deduce Fp2/Δt. Esta expresión es válida para cualesquiera cuerpos.
8. Δp2=-Δp1, se deduce. Por supuesto, también se deduce Δp2=(ξ-1)·p2,i según 5.
9. ΔE2=F·Δr2, es la energía que dada la interacción entre los cuerpos 1 y 2, permite mover al cuerpo 2 desde la posición r donde comienza la interacción hasta la posición r2r2 donde termina la interacción. Entre vectores, · representa el producto vectorial.
10. ΔE2·Δt=Δp2·Δr2, se deduce. Siendo Δt el periodo de tiempo mínimo para llevar a cabo la interacción.
11. Si los cuerpos no intercambian energía al interactuar, E2,i=K2+U2=E2,f, que es un valor constante; tanto la energía potencial U2 como la energía cinética K2 también son constantes. Por lo tanto, p2,i=-p2,f siendo la magnitud de ambos momentos igual (porque la energía cinética es constante durante la interacción), aunque la la dirección sea distinta (y por ello la presencia del signo - es necesaria).
12. ξ=-1, según lo expuesto en 4.
13. Δp2=-2·p2,i se deduce según lo expuesto en 8.
14. Asumiendo la hipótesis de de Broglie (válida para todos los cuerpos), p2,i=h/λ2,i·û, con h la constante de Planck y λ2,i la longitud de onda del cuerpo 2; û es el vector unitario.
15. Δp2=-2·h/λ2,i·û, se deduce.
16. El cuerpo 2 interactúa con el cuerpo 1 cuando alguno de sus frentes de onda se presenta donde el cuerpo 1 se encuentra. Si, además, la energía no se intercambia entre cuerpos, quedan las frecuencias f2,i=f2,f porque la cuantización de Planck para la energía indica E2,i=h·f2,i y E2,f=h·f2,f, y ambos valores de energía son iguales. Tampoco la energía cinética cambió, por lo cual la velocidad del cuerpo 2 sigue siendo la misma; esto implica que f2,i·λ2,i=f2,i·λ2,i porque así se calcula la velocidad y, por lo tanto, λ2,i2,f se deduce.
17. Δr2=-j·λ2,i·û, asumiendo la existencia de un valor j (como máximo igual a 1, dado que el frente de onda anterior o posterior a la interacción ya no está presente donde el cuerpo 1 se halla, siendo ello necesario para llevarse a cabo la interacción). El signo - corresponde al cambio de dirección del cuerpo 2 tras la interacción.
18. Δp2·Δr=(-2·h/λ2,i·û)·(-j·λ2,i·û)=2·j·h, se deduce.
19. ΔE2·Δt=Δp2·Δr2=2·j·h, según lo expuesto en 10. Considerando j=1/(8·π), se obtiene la relación de incertidumbre de Heisenberg. Por supuesto, también es válida la expresión ΔE1·Δt=Δp1·Δr1=2·j·h. Si la energía se mantiene constante durante la interaccción, el valor 2·j·h se debe seguir obteniendo porque no se han modificado las leyes de conservación del momento lineal ni de conservación de la energía (de las cuales se deduce), pero sí se modifican los valores, si es posible, con Δ. Si la energía de interacción ΔE2 disminuye en comparación a otra interacción, el tiempo de interacción Δt aumenta. Si se pretende que la energía de interacción ΔE2 asuma ΔE2=0, el tiempo de interacción Δt sería tan grande en valor que jamás terminaría de ocurrir la interacción. Nótese que si ΔE2=0, no hay en realidad interacción (para llevarla a cabo se requiere de cierta energía): eso significa que los cuerpos tienden a permanecer sin interactuar durante un tiempo indefinido. Nótese asimismo aunque el resultado sea válido, el mismo no deduce el valor de j. Es coherente con la relación de Heisenberg, pero no la deduce directamente en su valor j.

***

Entonces las premisas empleadas también son válidas por obtener resultados válidos. A partir de ellas se elabora otra demostración:

1. -F=m1·a1, cálculo clásico (por la segunda ley de Newton) para el cuerpo 1 que se supondrá de masa significativa.
2. p2/Δt=m1·a1, según 7 de la demostración anterior.
3. 2·h/(λ2,i·Δt)·û=m1·a1, según 15 de la demostración anterior.
4. a1=(v1,f-v1,i)/Δt, por definición de la aceleración.
5. 2·h/(λ2,i·Δt)·û=m1·(v1,f-v1,i)/Δt, se deduce.
6. v1,f=v1,i+2·h/(m1·λ2,i)·û, se deduce y es la expresión para calcular la velocidad final del cuerpo 1. Sin embargo, vi es mucho mayor en magnitud que 2·h/(m1·λ2,i)·û. La constante de Planck tiene un valor de h=6.63x10-34 J·s que en comparación con la velocidad de un cuerpo de masa significativa es minúscula (y aunando la masa m1, el término de velocidad en cuestión es aún menos significativo que v1,i; incluso teniendo valores bajos de λ2,i no es suficiente para hacer que el término sea influyente en la ecuación).
7. v1,fv1,i, se deduce. Asimismo v1,f-v1,i0 se deduce, y según lo expuesto en 4, a10.
8. -F0, según lo expuesto en 1. Por lo tanto, cuando la masa del cuerpo 1 es significativa, la observación del cuerpo 1 por medio de otro cuerpo 2 de masa no significativa no interfiere en la velocidad del primero y se considera que los cuerpos de masa significativa que son observados por cuerpos de masa insignificante no se hallan interactuando. Análogamente a lo expuesto en 6, v2,f=v2,i+2·h/(m2·λ1,i)·û quedaría para el cuerpo 2, y si éste se asume de masa insignificante, entonces el término 2·h/(m2·λ1,i)·û adquiere relevancia en la expresión, pero al interactuar con un cuerpo de masa significativa como 1 no lo altera apreciablemente en su velocidad.

La primera ley de Newton expresa un cuerpo sin interactuar no se encuentra sometido a fuerza alguna y necesariamente su velocidad es constante. Para verificarla se efectúa la observación de cuerpos de masa significativa con cuerpos de masa insignificante y se obtiene que, efectivamente, tanto -F0 (no hay interacción) como v1,fv1,i (la velocidad es constante desde el comienzo hasta el fin). Sin embargo, es difícil intentar probarla observando cuerpos de masa insignificante con cuerpos de masa insignificante. Sería equivalente a intentar probarla con cuerpos de masa significativa observados por cuerpos de masa significativa. Lo único que se obtiene en ambos casos es que -F0.

Retomando la relación de incertidumbre en 19 de la primera demostración, los cuerpos tienden a permanecer sin interactuar durante un tiempo indefinido. Si se desea observar un cuerpo sin interactuar, primeramente se debe hacer interactuar dicho cuerpo con otro que ayude a observarlo. Esto implica que ese tiempo indefinido donde el cuerpo no interactúa se concluya y, por consiguiente, no puede ser observado.

Se efectuará una última demostración

1. Fp2/Δt, según 7 en la primera demostración.
2. F=-2·h/(λ2,i·Δt)·û, según 15 en la primera demostración.
3. -F=-2·h/(λ1,i·Δt)·û, porque es la fuerza sobre el cuerpo 1 debido al cuerpo 2.

Si ambos cuerpos son de masa insignificante, las fuerzas de 2 y 3 son de valor apreciable. Cuando en cualquiera de los cuerpos se intenta que la longitud de onda λ sea λ→∞, la fuerza F es F0 y no habría interacción. Esto implica, no obstante, que el frente de onda de alguno de los cuerpos no alcance al otro, por lo cual no es posible que logre determinarse el valor de F aunque teóricamente sea deducido (porque se requiere que interactúen ambos cuerpos, que se encuentre el frente de onda de uno con el otro, para determinar si F efectivamente cumple F0). Esto es obvio e implica que la primera ley de Newton (un cuerpo sin interactuar no se encuentra sometido a fuerza alguna y necesariamente su velocidad es constante) no pueda probarse ni cierta ni falsa aunque las expresiones matemáticas predigan que es cierta o que es falsa. Para probar si es cierta o falsa se requiere de una medición semejante a la mostrada en la segunda demostración (entre un cuerpo de masa significativa con otro de masa insignificante), donde a pesar de la interacción por la observación se pueda asumir razonablemente que no hay interacción cuando la velocidad del cuerpo es constante. No obstante, no es posible saber nada de los cuerpos de masa insignificante que no interactúan: cuando su velocidad es constante no pueden ser observados (por la interacción con otro cuerpo de masa insignificante).

En resumen, se concluye que no habiendo interacción (F0) ocurre

1. λ→∞, que para cualquier cuerpo de masa insignificante su longitud de onda abarque todo el espacio.
2. Δt→∞, que para cualquier cuerpo de masa insignificante la situación sin interacción tienda a permanecer,

según las ecuaciones teóricas. Y según las mismas, jamás se logrará determinar a través de mediciones obtenidas por la interacción entre partículas (las mediciones así se obtienen) si estas conclusiones son verdaderas o falsas, porque esto implicaría que F0 en todos los casos, justamente lo que no se desea medir.

Nótese que la primera ley de Newton no puede probarse ni verdadera ni falsa (demostrarla falsa implicaría hallar otra ley referente a los cuerpos que no interactúan; al no poder determinar la falsedad, ninguna otra ley al respecto puede obtenerse verdadera). Cualquier demostración coherente debe deducir que no pueden determinarse conclusiones verdaderas o falsas acerca de los cuerpos de masa insignificante que no interactúan. O bien, simplemente no deben deducir nada al respecto. Por ejemplo, considerar que la solución a la ecuación de Schrödinger para las partículas libres (sin interactuar) es verdadera, resulta ser falso (porque no habiendo interacción no puede determinarse que sea verdadera). La Mecánica Cuántica basada en la ecuación de Schrödinger es coherente sólo cuando esta última se ve restringida para asumir verdadera o falsa la deducción de la función de onda de las partículas libres.

5 de Abril de 2014
 
 

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