Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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martes, 15 de abril de 2014

CASO PARTICULAR DE RELACIÓN OBJETIVA

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México


Las relaciones objetivas son aquellas monoádicas pertenecientes a la axiomática del sistema de afinidad individual (AF). Las subjetivas, en contraste, son aquellas diádicas referentes al mismo sistema. Se establece [Subjetividad y objetividad, 4 de Enero de 2011] el teorema A al respecto que se retoma como sigue:

Teorema A. Toda relación objetiva en el sistema AF conlleva una contradicción si se le aplica como premisa de una implicación cuyo consecuente es una relación subjetiva.

De ello se pueden establecer (y se mencionó se pueden analizar) distintas relaciones de la misma clase objetiva y que para no decidir contradicciones no son colocadas en una sentencia o axioma como premisas, a priori. Una de este tipo es la relación de existencia. Se define su modelo como sigue: Ei dice i existe. Se establece esta objetiva por un motivo esencialmente empírico: se supone que los objetos existen así, sin la necesidad de que se presente un individuo (como en AF se definen, o sea, como las entidades participantes en el planteamiento de él) que se le relacione.

En virtud del teorema A, la relación Ei no puede exponerse a priori dada cierta sentencia (como Bi de la sentencia 4). Esto no impone su imposibilidad de uso puesto que es válida (a saberse) como consecuencia en una premisa, a posteriori. En otras palabras, la existencia objetiva de los individuos (de AF) no es a priori razonable, es incoherente. Por ejemplo, si alguien relata la existencia de una ciudad, sus habitantes y demás componentes, a priori no es razonable considerar y declarar indiscutible su existencia como una premisa válida, verdadera.

Como en el caso de la sentencia 4 de Bi donde se tenía una corrección posible, una relación subjetiva como Bij, para Ei se puede plantear Eij donde ésta dice i determina la existencia de j. Luego, se declaran las siguientes sentencias:

Sentencia 10. Si se verifica, entonces se determina su existencia. Formalmente:

iqUiqEiq

Sentencia 11. Si se determina su existencia, entonces existe. Formalmente:

iq→EiqEq

En ninguno de los casos de expone algo contrario a lo señalado por el teorema A. Este esquema de sentencias es comúnmente empleado para la experimentación y el empleo adecuado del principio de cientificidad (PC). En virtud del teorema de incompletitud de Gödel, la consistencia de AF no quedaría demostrada, deducida, en ningún caso. Por eso es que no se tiene la certeza de que estas sentencias no conlleven contradicción, pero sí se tiene la certeza de que no implican una por medio de la demostración sugerida para la sentencia 4 de AF en su prueba de inconsistencia. Ahora, el teorema de Gödel dice algo más: la veracidad del modelo de Ei y Eij en ninguna demostración y para ninguna sentencia es absolutamente asumible. Dicho de otra forma, no es posible asegurar ni la existencia ni la admisión de existencia para todas las valoraciones del modelo presente, y por lo mismo no se puede inferir que otros individuos (personas en particular) perciban o expongan la existencia de lo que perciben igual que otros, o tampoco es razonable de manera intrínseca la existencia de cualquier entidad.

El problema ontológico y el problema gnoseológico son (según lo que se pretende de ellos lógicamente*) irresolubles [posteriormente esta conclusión fue confirmada a partir de otra deducción formal en Sobre la indecidibilidad del problema ontológico, 16 de Marzo de 2014].

1 de Marzo de 2012

*Si se siguen las reglas y definiciones de la Lógica formal, la solución de estos problemas es inaccesible.
 
 

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