Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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martes, 15 de abril de 2014

DE LA AFINIDAD INDIVIDUAL

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México 


[La Teoría de la Afinidad Individual es una propuesta inédita para explicar el apego (aquí referido como afinidad, aunque posteriormente será fácil de indentificar que no son conceptos plenamente equivalentes), y algunas cuestiones ligadas al mismo. Se basa en una interpretación que parte de un sistema de proposiciones -o sentencias- de la lógica de primer orden, es decir, que emplea sus reglas para llegar a las conclusiones que expone. Este es el primer texto de una serie de demostraciones que se enfocan en descubrir porqué el comportamiento humano resulta ser como la evidencia lo sustenta.]


***

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc. A continuación, el sistema planteado.

AXIOMAS Y REGLAS DE INFERENCIA. LENGUAJE FORMAL.

Axioma 1. Si lo ejerce entonces es afín a ello. Formalmente:

iqXiqAiq donde Xiq dice i ejerce q y Aiq dice i es afín a q.

Axioma 2. Si lo verifica entonces o es afín o no a ello. Formalmente:

iq→Uiq¬Aiq¬Aiq donde Uiq dice i verifica q.

Axioma 3. Si lo ejerce entonces lo verifica. Formalmente:

iq→XiqUiq

Axioma 4. No se es afín a ello sólo si se es afín a otro. Formalmente:

iq∃r↔¬AiqAir

Ninguna de la primitivas, como Uiq, Aiq, etc., es definible en términos de otras, así que se las interpreta por medio de los axiomas. Por comodidad se pueden utilizar otras expresiones análogas a las señaladas. Por ejemplo, la ser expresión ser afín también se puede referir como estar de acuerdo con, esto siempre y cuando esta última no esté definida por otras primitivas (de ello que no se deba pretender buscar su significado en el diccionario).

Una forma de aprehender intuitivamente y evidencialmente las primitivas tratadas es por medio de ejemplos. Un ejemplo podría ser: uno ejerce bailar con otra persona. Aquí bailar con otra pesona es j, por decir, y uno (uno mismo) es i. Formalmente, Xij. Por el axioma 1 se deduce Aij. Traducido a términos intuitivos, uno es afín a bailar con otra persona, o bien, uno está de acuerdo en bailar con otra persona. Sólo así podría entenderse el axioma 1, situación que parece evidente: si uno ejerce (lleva a cabo) algo, uno está de acuerdo con ello (aunque a uno no le guste, como la expresión gustar sea también formalizable, puede que uno esté de acuerdo). Igualmente, por el axioma 3, Uij. Traducido en términos intuitivos, uno verifica (se da cuenta de) bailar con otra persona. Esto también parece obvio: si uno lleva a cabo algo, uno se da cuenta de ello (porque uno es quien lo está llevando a cabo). Este método en particular es muy productivo puesto que sólo se puede acceder a primitivas de forma intuitiva a través de ejemplos, y formalmente por medio de los axiomas.

Adicionalmente hay que tener claro lo siguiente: dado que ser afín, ejercer, etc. son parte del universo del modelo entendido para el sistema formal, estas frases no pueden ser analizadas dentro del sistema definido. Ninguno de los modelos que se admita idéntico tampoco puede analizarse con él. Por ello las frases ser afín a ser afín o ser afín a estar de acuerdo no tienen sentido, es decir, no significan nada. Las valoraciones, dado el modelo del sistema formal, son excluídas de su universo. Por el contrario, todos los ejemplos que muestren la veracidad del sistema formal dado el modelo pueden tomarse como valoraciones útiles.

SENTENCIAS DE CONDUCTA.

Las sentencias a continuación muestran ciertas conductas comprensibles por medio de las primitivas y por consiguiente también de los axiomas. No son las únicas pero son útiles.

Sentencia 1. Si es agresivo y otro ejerce aquello a lo que el primero no es afín, entonces éste ejerce aquello a lo que el otro no es afín. Formalmente:

ipjq→ΛαiXjp→¬Aip→¬AjqXiq donde αi dice i es agresivo.

Sentencia 2. Si amistan, entonces son afines a algo. Formalmente:

ijÆij∃qΛAiqAjq donde Æij dice i amista con j.

Sentencia 3. Si es consciente de aquello, entonces lo ejerce o lo verifica. Formalmente:

iq→CiqVXiqUiq donde Ciq dice i es conciente de q.

Sentencia 4. Si es bueno, entonces se es afín a ello. Formalmente:

iq→BqAiq donde Bq dice q es bueno.

Sentencia 5. Si lo ejerce o lo verifica, entonces está animado. Formalmente:

ij→VXijUijLi donde Li dice i está animado.

Sentencia 6. Si se es afín a ello y ocurre lo que evita verificarlo, entonces no se es afín a lo que ocurre. Formalmente:

ijk→Aij→→Ok¬Uij¬Aik donde Ok dice k ocurre.

Se pueden establecer tantas sentencias como se requieran siempre y cuando no resulten en contradicción en cualquier deducción.

CONTRADICCIÓN POR LA SENTENCIA 4.

Obsérvese la siguiente demostración en la cual se obtiene una contradicción:

¬Aiq premisa
¬Bq por la sentencia 4.
Ajq premisa
VBq¬Bq por la sentencia 4.
Bq dada la primera consecuencia.
→Λ¬AiqAjqΛ¬BqBq inferida.

Se observa la contradicción a la cual se reduce la sentencia 4 con las premisas que son válidas para el lenguaje establecido. La corrección de la sentencia 4 (que cabe mencionar es admitida por muchos) queda como la siguiente posibilidad:

Sentencia 4. Si se admite bueno, entonces se es afín a ello. Formalmente:

iq→BiqAiq donde Biq dice i admite bueno a q.

La sentencia anterior no lleva a contradicción por medio de la demostración efectuada. Como se observa, el sistema definido nos lleva a conclusiones satisfactorias sobre cualquier hecho de la conducta humana. Sobre estas bases se puede establecer alguna pauta para la Psicología en sentido formal.

TEOREMAS

Algunos teoremas se obtienen de las sentencias y axiomas establecidos. Ciertamente expresan resultados quizá conocidos intuitivamente pero no por ello triviales (como el caso anterior dada la sentencia 4).

Teorema I. Si es consciente, entonces está animado. Demostración:

Ciq premisa.
VXiqUiq por la sentencia 3.
Li por la sentencia 5.
∀iq→CiqLi inferida.

Teorema II. Si se le admite bueno y ocurre lo que impide verificarlo, entonces no se es afín a lo que ocurre. Demostración:

Bij premisa,
Aij por la sentencia 4.
→→Ok¬Uij¬Aik por la sentencia 6.
∀ijk→Bij→→Ok¬Uij¬Aik inferida.

Teorema III. Si se ejerce, entonces se verifica y se es afín a ello. Demostración:

Xij premisa.
Aij por el axioma 1.
Uij por el axioma 3.
∀ijk→XijΛAijUij inferida.

Teorema IV. Si se ejerce aquello condicionado por que ocurra otro, entonces posiblemente no ha ocurrido tal. Demostración:

ΛXij→Ok¬Uij premisa.
Uij por el axioma 3.
V¬OkOk inferida.
∀ijk→ΛXij→Ok¬UijV¬OkOk inferida.

Teorema V. Si se ejerce aquello condicionado por que ocurra otro, entonces no se es afín a tal. Demostración:

ΛXij→Ok¬Uij premisa.
¬Ok por el teorema IV.
Uij por el axioma 3.
Aij por el axioma 1.
¬Aik por la sentencia 6.
∀ijk→ΛXij→Ok¬Uij¬Aik inferida.

Teorema VI. No se ejerce aquello que propicie no ejercer algo dado si se tiene por prioridad. Demostración:

ΛXij→Ok¬Uij premisa.
¬Aik por el teorema V.
¬Xik por el axioma 1.
∀ijk→ΛXij→Ok¬Uij¬Xik inferida.

Teorema VII. La sentencia 1 es simplificable. Demostración:

ΛαiXjp¬Aip¬Ajq premisa.
Xiq por la sentencia 1.
∀iqjp→ ΛαiXjp¬Aip¬AjqXiq inferida.

Este último resultado es, en efecto, una simplificación de todos los implicadores de la sentencia 1.

Teorema VIII. Si se ejerce a lo que otro no es afín y éste no ejerce a lo que no se es afín, entonces éste no es agresivo. Demostración:

ΛXjp¬Xiq¬Aip¬Ajq premisa.
¬αi por el teorema VII.
∀ijpq→ VΛXjp¬Xiq¬Aip¬Ajq¬αi inferida.

Estos teoremas son ejemplos de resultados obtenidos con la axiomática propuesta y las sentencias dadas. En particular las sentencias de conducta constituyen una parte importante para entender directamente el comportamiento humano corrigiendo ciertas situaciones que intuitivamente parecen correctas como se demostró con la sentencia 4.

2 de Enero de 2012
 
 

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