Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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martes, 15 de abril de 2014

EL FOMENTO DE LA PAZ

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México 


La paz es el estado de marginación respecto al ejercicio de otros. Dado el formalismo del sistema de afinidad individual (AF), se expresa:

Sentencia 12. La constante paz se relaciona en términos de equivalencia dada una expresión condicionante cuya premisa constituye la expresión de la cual se deduce la relación mencionada. Formalmente:

ijlkh→XijXlk→XijΛ¬Xih=hP donde = es la relación de equivalencia y P es la constante.

Esta expresión entorno a la constante P declara con precisión el estado de marginación propuesto al comienzo. Una sentencia agregada útil es:

Sentencia 13. Si no ejerce lo equivalente a P, no es pacífico. Formalmente:

ih→Λ¬Xih=hP¬Zi donde Zi dice i es pacífico.

En el caso de esta última sentencia no se transgrede lo dicho con el teorema A de las sentencias objetivas contradictorias. Obsérvese la deducción como se muestra a continuación:

Teorema 1. Si fomenta el ejercicio de la constante P, entonces no es pacífico. Demostración:

Λ→XijXlk=kPXij premisa.
¬Xih=hP por la sentencia 11.
¬Zi por la sentencia 12.
∀ijlk→Λ→XijXlk=kPXij¬Zi inferida.

La premisa expresa que se fomenta el ejercicio de la paz tal y como aquí se ha definido a dicha constante. La deducción, según las sentencias propuestas, concluye que el que fomenta el ejercicio mencionado no es pacífico. Esta conclusión no es contradictoria: se puede fomentar sin ejercerse lo fomentado. No obstante, conviene introducir un concepto en virtud de esta observación:

Definición 2. En el sistema AF, las expresiones de fomento se manifiestan como condiciones en forma de premisa para una deducción dada, tal que se observe en la sentencia inmediatamente inferida, a la premisa de la expresión de fomento. Se dice congruente a cierta variable de AF cuando dada una expresión de fomento también ejerza lo que fomenta, es decir, el consecuente de la misma.

Por ello se observa la paradoja que en realidad se resume a un hecho que se tomaba previamente como válido sin estar formalizado, que el fomento de cierta constante implicaba el ejercicio de la misma. Se sugiere por la definición que la forma de fomentar (hablando coloquialmente, sin el formalismo requerido) la paz siendo congruente es no fomentándola (como dice la expresión formal), pues esto permite mantenerse al margen de lo que otros ejerzan, ya sea la paz u otra variable válida.

Otra posibilidad de solución para la expresión de fomento es la siguiente modificación de:

Sentencia 12. La constante paz se relaciona en términos de equivalencia dada una expresión condicionante conjuntiva cuya premisa (en la condición) constituye la expresión de la cual se deduce la relación mencionada. Formalmente:

ijlkh→ΛQlk→XijXlk→XijΛXih=hP retomando que Qlk dice l gusta de k.

Es de notarse a la sentencia 13 útil porque no influyen las modificaciones o deducciones sobre otras sentencias sobre ésta y partiendo de ella se deduce si es o no pacífica la variable valorada sin tener inherencia sobre esto el sistema AF. Se puede obtener por medio de la sentencia 9 el:

Teorema 2. La sentencia 12 (de AF) en su codicionante conjuntiva puede reemplazarse cualquier relación que en su expresión tenga implicación con reciprocidad. Demostración:

→ΛQlk→XijXlk→XijΛXih=hP premisa.
→ΛBlk→XijXlk→XijΛXih=hP por la sentencia 9.
∀ijlkh→ΛBlk→XijXlk→XijΛXih=hP inferida.

De esto se sigue:

Teorema 3. Si fomenta a uno lo que éste admite bueno, entonces es pacífico. Demostración:

ΛBlk→XijXlkXij premisa.
Zi por el teorema 2 y la sentencia 13.
∀ijlk→ΛBlk→XijXlkXijZi inferida.

Finalmente:

Teorema 4. Según la sentencia 12 modificada, si fomenta la paz cuando otro la admite buena, entonces el primero es congruente. La totalidad de valoraciones válidas de P no es deducible. Demostración:

Λ=kPBlk→XijXlkXij premisa.
ΛXlkZi=kP por el teorema 3 y la consecuencia de la premisa.
ΛXlkXik=kP por la sentencia 13. Por ello, i es congruente.
∀ijlk→Λ=kPBlk→XijXlkXijXik inferida.

La modificación elaborada para la sentencia 12 en virtud de la relación Bij es trivial. Esto es, se fomenta la paz para quien gusta de ella y por ello se es pacífico. El problema del fomento de la paz queda reducido a cierta obviedad sobre lo admitido bueno e implica finalmente una congruencia trivial.

5 de Marzo de 2012
 
 

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