Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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martes, 15 de abril de 2014

SOBRE LA RELACIÓN INTRÍNSECA DE LOS SISTEMAS FORMALES


De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México


Se define un sistema formal básico con la relación diádica primordial R20t1t2 donde las t son términos. Tradicionalmente se le llama igualador. Así =t1t2 queda de la relación. La Matemática como estudio de fenómenos inductivos, la Física, la Química, etc., son sistemas formales provistos de esta relación. El sistema de afinidad individual (AF) está, sin mencionarse en su axiomática, provisto de la misma. Los resultados que este sistema arroja pueden considerarse triviales pero no lo son (el claro ejemplo lo muestran la sentencia 4 y el teorema A de las sentencias objetivas y subjetivas) y tienen un potencial expresivo mayor que cualquier teoría filosófica alejada del formalismo lógico. En otras palabras, AF expresa por sí mismo lo que muchos pensadores separadamente han concluido, sólo que sin entremezclar expresiones de variables libres, sentencias sin modelo, o sentencias sin evidencia. El análisis del igualador provee un resultado que hace reincidir a AF en su ventaja de clarificación de ideas.

Téngase la siguiente estructura de sentencia lógica:

ij→S0=ij donde S0 tiene como variables ligadas a i y j, o también a i o j como constantes.

La expresión S0 se denomina fórmula de igualación. La fórmula permite definir los estatutos que igualan a tales o cuales términos de un sistema formal en cuestión. En AF ya se observa a la expresión de fomento como el precursor de las fórmulas de igualación. La Matemática establece con mucho mayor tiempo de antelación este efecto, tanto que se reconoce la ley de tricotomía.

Para AF la consecuencia es clara: sus entidades de estudio no son intrínsecamente iguales. De serlo, toda fórmula de igualación queda indecidible de ello, y finalmente si se tratare una fórmula con la estructura de una relación objetiva se observaría la contradicción que propone el teorema A. De nuevo, AF muestra que una resolución ética no tiene cabida para la logicidad que se procura científicamente (por el PC): los individuos no son (contrario a lo que todas las declaraciones de derechos dicen) intrínsecamente iguales.

Para el resto de los sistemas formales conocidos, esta aseveración es trivial o menesterosamente cotidiana. Al contrario, en AF constituye una novedad dada la falta analítica en la cual incurren todos las propuestas para legitimizar la convivencia social. Obsérvese que la igualdad de ciertos términos no implica necesariamente a las fórmulas de igualación. Esto es, se requiere a priori de la fórmula para declarar a dos términos iguales. La igualdad no implica, por ejemplo, a posteriori el respeto (sea lo que sea éste) o el fomento del mismo, sin embargo, la expresión de fomento sí puede implicar la igualdad. Resulta, de lo anterior, absurdo deducir que tratar a los términos de un sistema formal como iguales se obtendrá una sentencia consistente y particularmente pretendida análoga a la del fomento pacífico.

En resumen, se deben reconstituir los aspectos éticos de forma tal que se establezca como se hace en la Termodinámica (por la ley cero) o la Matemática (según la ya mencionada ley de tricotomía), etc., la igualdad de sus términos condicionada a una fórmula del tipo S0. Cabe decirse lo siguiente: por supuesto S0 no incluye la relación = en su formulación. De llevarse a cabo esta expresión se tendrían tautologías o incoherencias, inconsistencias. Por ejemplo:

ij→=ij=ij es la tautología y ∀ij→¬=ij=ij es la inconsistencia. Igualmente
ij→VT=ij=ij donde T es una expresión dada con i y j ligadas, presenta a T irrelevante, indecidible y
ij→ΛT=ij=ij análoga presenta a T tautológica o inconsistente.

AF se fundamenta por el rigor estudiado en los sistemas formales lógicos.

9 de Marzo de 2012


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