Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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lunes, 14 de abril de 2014

SOBRE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD SIENDO FORMAL E INTUITIVAMENTE EQUIVALENTE A LA MECÁNICA LÓGICA

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México

Albert Einstein anhelaba una Gran teoría unificadora.
Quizá él tenía todas las piezas del rompecabezas
y una faltante justo a su costado.


Los dos postulados de la Teoría de la Relatividad son:

1. Las leyes de la Física son válidas para todos los observadores.
2. La velocidad de la luz al vacío es constante para todos los observadores.

¿Qué significa cada postulado? Primeramente, si la Física es el estudio de las interacciones, todas sus leyes hacen referencia sea de las interacciones, o bien, sea de las cantidades que permiten inferir el valor de las interacciones (energía, momento, longitud de onda, etc.) Esto se justifica por medio de la Mecánica Lógica:

Q≡Fi(x,y)=f[Pi(x), Pi(y)], siempre y cuando ¬(x=y),
también simbolizado x≠y

se propone como postulado. Q es la abreviación () de toda la proposición Fi(x,y)=f[Pi(x), Pi(y)]. Cada símbolo de ésta significa lo siguiente: Fi(x,y) es el valor cuantitativo de una interacción tipo i entre dos objetos x, y; f es la función que permite calcular el valor de la interacción mencionada a partir de una propiedad Pi inherente a los objetos x, y, cuyo valor se conoce para cada uno; x≠y significa que los objetos que interactúan son necesariamente distintos. Por ejemplo, un electrón no puede, a saberse, colisionar contra sí mismo, y por ello se refiere que sólo puede interactuar con objetos distintos a él (x≠y). Luego, la propiedad inherente al electrón es, entre las que posee, P1(x), la carga eléctrica. Si otro objeto y con carga eléctrica de valor P1(y) interactúa, la fuerza eléctrica entre ambos objetos y de valor Fi(x,y) puede calcularse a partir de la ley de Coulomb, una función f=K·P1(x)·P1(y)/r2, donde K es una constante y r es un parámetro independiente de los valores P1(x) y P1(y).

La proposición Q refiere que las funciones f son leyes de la Física cuando permiten calcular el valor de una interacción Fi(x,y). A partir de la función f, sólo cuando el valor de la interacción es llevado a cabo experimentalmente, es decir, sólo cuando M[Fi(x,y)], la proposición Q también se lleva a cabo, es decir, M(Q). Esta perspectiva donde una proposición adquiere validez a partir de la evidencia experimental de otra proposición es llamada intuicionista desde la filosofía de la Lógica. Así, cuando una proposición S es llevada a cabo, M(S), entonces la misma es considerada verdadera, simbólicamente U(S); de lo contrario, es decir, cuando la interacción observada no empata con los valores que predice la función f, ¬M(S) queda y la proposición es considerada falsa, ¬U(S). Por lo tanto, si un observador x interactúa con el objeto y observado, entonces M(Q) y se deduce directamente U(Q), que la ley basada en la función f es válida, tal y como se expresa en el primer postulado de la Teoría de la Relatividad.

Naturalmente, si Q implica necesariamente otra proposición Rj, ésta tendría que ser verdadera: si Q implica necesariamente Rj, cuando M(Q) también M(Rj), de lo cual se deduce U(Rj). Si, por ejemplo, Rj permite calcular un valor E (como la energía), dicho valor sería válido para la Física. Entonces, también las proposiciones Rj son leyes de la Física y, consiguientemente, indican la validez del primer postulado de la Teoría de la Relatividad. Dado que no existen más casos posibles para expresar el comportamiento lógico (de verdad o falsedad) de las proposiciones a partir de Q, se dice que el primer postulado de la Teoría de la Relatividad es plenamente coherente con los esquemas que se han mostrado de la Mecánica Lógica. Asimismo, la parte final de los axiomas de la Mecánica Lógica es la definición de la indecidibilidad de una proposición: Q es indecidible cuando ni U(Q) ni ¬U(Q) se deducen en una demostración. No se encuentra nada en el primer postulado de la Teoría de la Relatividad que indique la invalidez de la definición mostrada: si lo hubiera, sería equivalente a expresar que la Mecánica Lógica es incoherente en sí misma, situación que no ha sido observada hasta el momento.

El segundo postulado de la Teoría de la Relatividad requiere definir, antes, las incertidumbres de posición y de coordenadas temporales. Se tienen así dos circunstancias donde el objeto z0, la luz al vacío, interactúa con otros objetos z1 (emisor de luz) y z2 (receptor de luz), respectivamente para cada circunstancia. Además, tanto Q1 para la primera circunstancia como Q2 para la segunda circunstancia deducen U(Q1) y U(Q2) porque la interacción se lleva a cabo entre la luz al vacío (también llamada fotón en el caso de tratarse de una partícula de luz) y los objetos correspondientes a cada circunstancia. Tanto Q1 como Q2 contienen en su simbología (en las funciones f1 y f2 involucradas) una posición r1 y r2, respectivamente; también están asociadas a una coordenada de tiempo t1 y t2. Entonces la incertidumbre de posición ∆r se define como ∆r=r2-r1; de la misma forma, la incertidumbre de coordenadas de tiempo se define como ∆t=t2-t1. El segundo postulado señala que

r/∆t=c, con c un valor constante,
que es la velocidad de la luz al vacío.

Dado que ∆r/∆t=c se deduce partiendo de Q1 y Q2 cumpliendo U(Q1) y U(Q2), la relación obtenida I≡∆r/∆t=c (abreviándola con I) cumple U(I), porque además se puede observar que M(I) se cumple. Así, el segundo postulado de la Teoría de la Relatividad es válido de acuerdo con la evidencia experimental hasta ahora obtenida para la luz en el vacío. Este postulado es coherente con la Mecánica Lógica porque se deduce de ella. Cabría decirse que el segundo postulado de la Teoría de la Relatividad se deduce del primer postulado de la misma teoría, porque I es una proposición tipo Rj, una ley de la Física. Nótese que nada se ha aseverado acerca de la luz al vacío en intervalos de tiempo menores a ∆t, donde ésta no ha interactuado aún con el objeto z2.

Así, el primer postulado incluye también al segundo y constituye el resumen equivalente en palabras de los axiomas de la Mecánica Lógica sin el concepto de indecidibilidad. Una vez hechas las observaciones pertinentes, es posible deducir lo siguiente:

Teorema: todos los teoremas válidos para la Mecánica Lógica
son igualmente válidos para la Teoría de la Relatividad.

Porque, de hecho, son propuestas axiomáticas plenamente equivalentes, excepto por la definición de indecidibilidad. Esta caracterísitica de la cual carece la Teoría de la Relatividad es obtenible de dos formas, a saberse:

a. Porque x=y, es decir, que un objeto se encuentre sin interactuar, y
b. Porque se desconozca ya sea el valor Pi(x) o el valor Pi(y).

Si un objeto no interactúa, en principio, nada puede saberse acerca de las interacciones que manifieste: si no interactúa, no podría intentarse saber algo sobre las interacciones que manifieste (porque no las manifiesta); si interactúa y se averigua que un valor ñ=Fi(x,y) para la interacción es justamente el valor para los objetos que no interactúan, entonces se obtendría igualmente un absurdo (porque ñ=Fi(x,y) indica que hay una interacción, siendo que se suponía la falta de interacción). No puede conocerse el valor Fi(x,y) de un objeto x que no interactúa con otro y, o bien siendo x=y, porque ello implicaría un absurdo, y por lo tanto se deduce que Q es en ese caso indecidible (ni U(Q) ni ¬U(Q) se deducen; intentar deducirlas conlleva contradicciones).

Aparte, al desconocerse ya sea el valor Pi(x) o el valor Pi(y), no es posible calcular el valor de la función f y nuevamente nada puede aseverarse sobre Q: si U(Q) se dedujera, significaría que el cálculo con f se logró y que se obtuvo Fi(x, y)=f[Pi(x), Pi(y)], lo cual es falso (no es posible realizar el cálculo desconociendo Pi(x)); si ¬U(Q) se dedujera, significaría que el cálculo con f se logró y que no se obtuvo Fi(x, y)=f[Pi(x), Pi(y)], lo cual también es falso (sin poder realizarse el cálculo al desconocerse Pi(x) nada puede aseverarse acerca de Q).

El concepto de indecidibilidad es plenamente coherente, a saberse, con la Mecánica Lógica por lo cual también es plenamente coherente con la Teoría de la Relatividad.

También se ha deducido involucrando a la Mecánica Lógica con el principio de incertidumbre de Heisenberg, que deben existir al menos dos tipos de interacciones en la Naturaleza, y que no es posible obtener una «Teoría de todo» que unifique a todos los tipos de fuerzas existentes. Este resultado, consiguientemente, es deducido a partir de la Teoría de la Relatividad aunada al concepto de indecidibilidad. Otras conclusiones como la justificación de la dualidad onda-corpúsculo de las partículas, la imposibilidad de conocer la naturaleza del entrelazamiento cuántico, y la invalidez de la ley de inercia (o primera ley de Newton) o de algún tipo de ley semejante –definiendo las circunstancias (o estado) de movimiento para un objeto sin interactuar– también se deducen de la Mecánica Lógica, es decir, de la Teoría de la Relatividad aunada al concepto de indecidibilidad.

Por supuesto, las conclusiones obtenidas por la Teoría de la Relatividad acerca de la naturaleza del espacio-tiempo, de la energía en reposo, de la expansión del Universo, etc., son coherentes con la Mecánica Lógica. Se obtienen dichas conclusiones, sin embargo, desde otro enfoque de cálculo: se manipulan los valores de las funciones f para cada tipo de interacción, o la geometría de la posición y de las coordenadas de tiempo en función de la proposición I, y se obtienen los valores correspondientes a la energía E, a la energía cinética K, a la masa m, al momento p, a la función de onda ψ, etc., según se hizo notar con la posibilidad de una proposición Rj que permitiera calcularlos. Entonces, los resultados de la Mecánica Lógica no son más que un enfoque diferente para abordar los problemas de la Teoría de la Relatividad. Con la Mecánica Lógica los cálculos no se efectúan a partir de las funciones f, sino a partir de los mismos postulados de la Teoría de la Relatividad y las implicaciones simbólicas que ésta conlleva. Los resultados obtenidos con las funciones f sólo se deducen apenas asumiendo válidos los postulados de la Mecánica Lógica, pero sin observar el comportamiento simbólico de los mismos. Los resultados de la Mecánica Lógica prescinden de las funciones f, apenas verificando que existan y sean posibles, para observar el comportamiento simbólico de los postulados de la Teoría de la Relatividad aunando el concepto de indecidibilidad. Ambos enfoques son necesarios para unificar de una u otra forma ya no a las fuerzas de la Naturaleza, sino a las teorías que las representan.

Aunque en sí misma, la Mecánica Lógica, o Teoría de la Relatividad+Indecidibilidad, es lo bastante ambiciosa como para ser considerada una Gran teoría unificadora: no conjunta a las fuerzas en una de un solo tipo, sino a sus características fundamentales como interacciones que son. Basta con observarse la proposición Q que implica U(Q) cuando M(Q), no importando el tipo de interacción. Eso conjunta, por mucho, la característica más fundamental de las interacciones, que es «ocurrir entre dos objetos». Más aún, en Q se incluye a todas las funciones f que posibiliten el cálculo de las interacciones, esto sin importar la naturaleza de las mismas (no importaría si fuesen del tipo nuclear fuerte, electrodébil, o cualquier otro existente y aún desconocido). Eso es bastante representativo porque no se limita y pretende abarcar la naturaleza de todas la interacciones posibles. Finalmente, lo ambicioso de los postulados de la Teoría de la Relatividad radica en admitir leyes expresadas, según la Mecánica Lógica, como Rj, que justifiquen indirectamente la existencia de las interacciones a las cuales se refiere a través de Fi(x,y). Así se incluye a todas las leyes de la Física, sean cuales sean, dentro de un esquema teoríco lo bastante general como para admitir su validez universal.

No es pretensión desacreditar aquí ningún enfoque para la Mecánica Lógica, o Teoría de la Relatividad+Indecidibilidad. No se pretende asegurar que la perspectiva de la lógica formal (lógica de primer orden) sea la única necesaria para deducir los aspectos de la Física. Por el contrario, se requiere de los cálculos matemáticos aprehensibles con las funciones f para descubrir aquello que la lógica formal no podría deducir sólo con sus argumentos (deducciones puramente lógicas, no numéricas). Sin embargo, existe una sección de razonamientos válidos que pueden llevarse a cabo, ya no por conclusiones numéricas, sino por conclusiones de cálculo lógico proposicional, donde se intenta averiguar si algún teorema de la Física es verdadero o falso, o indecidible. Si antes “no se volteó a mirar” a dicho enfoque fue porque no se sospechaba que fuera necesario: parecería que la Matemática por medio de las funciones f es suficiente. No obstante, si existe la naturaleza lógica de las proposiciones como entidades de estudio, es necesario estudiarla para averiguar más sobre la naturaleza de las interacciones que involucran al Universo entero.

En conclusión, para obtener la teoría que unifique todos los aspectos de la Física, o mejor aún, todos los aspectos de la Naturaleza, no ha de ignorarse ni un sólo tipo de enfoque que se pueda tener sobre la teorías que representan todo ello.

14 de Abril de 2014


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