Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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domingo, 13 de abril de 2014

SOBRE LAS CAUSAS DE LAS INTERACCIONES Y LA IMPOSIBILIDAD DE LA UNIFICACIÓN DE FUERZAS EN UNA «TEORÍA DE TODO»

De Alfredo Salvador C. García 
Ciudad de México
 
James Clerk Maxwell, quien formuló matemáticamente
la primera unificación de fuerzas en la Física.


Es sabido que la proposición Q≡Fi(x,y)=f[Pi(x),Pi(y)] con ¬(x=y), o también x≠y, es verdadera siempre y cuando M(Q), y consiguientemente U(Q). La misma proposición resulta indecidible cuando 1) x=y, 2) ó cuando Pi(x) ó Pi(y), los valores de la propiedad Pi generadora de la interacción Fi, se desconocen. La función matemática f no puede ser calculada en tales circunstancias y de ahí la indecidibilidad de la proposición Q [Fundamentos de la Mecánica Lógica y primeras deducciones, 12 de Abril de 2014].

Dicha indecidibilidad podría no tener limitaciones. De alguna forma, x=y, que un objeto esté aislado, se mantendría inalterable indefinidamente: podría no conocerse nada acerca de x de manera indefinida (y así la indecidibilidad de Q estaría sin alterarse indefinidamente). También podría mantenerse inalterable el hecho de no conocer valor alguno acerca de la propiedad Pi para algún objeto. Sin embargo, las interacciones se llevan a cabo, es decir, la indecidibilidad de las proposiciones de la Física no es una circunstancia de duración indefinida. ¿Cuál es la causa que da lugar a las interacciones?

Antes de responder a dicha pregunta, serán inscritos en este texto algunos fragmentos de la publicación Sobre las mediciones y sus consecuencias deterministas [12 de Enero de 2014]. Se plantea en dicha publicación la imposibilidad de obtener mediciones 100% veraces o falaces. Y si bien, lo expuesto a partir del ahí llamado principio de determinación no es válido según los axiomas de la Mecánica Lógica, lo expuesto a partir del ahí llamado principio de incertidumbre sí lo es.

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I. DEFINICIÓN INTUITIVA DE MEDICIÓN

Sea un objeto. Aparte, se tiene una “caja” hipotética adonde éste es introducido. Dicha caja mide alguna característica del objeto, una propiedad. Si el objeto cumple la propiedad, la caja mostrará como resultado en alguna pantalla o panel, lo que fuere, un «sí». Por el contrario, si no cumple dicho objeto la propiedad, la caja mostrará un «no». Este esquema de razonamiento intuitivo es llamado medición. Por lo tanto, medir es reconocer alguna propiedad dado un objeto.

Puede simbolizarse el razonamiento con tal de formalizarlo. Así pues, si f(P)=sí, el objeto P cumple con f(P), la propiedad de tal objeto. Por el contrario, si f(P)=no, es que el objeto no cumple la propiedad. Un ejemplo de medición es el siguiente:

Se tiene una vara de 15 cm. Ésta es introducida en una caja imaginara de altura 15 cm según la regla que trae aunada dicha caja.

En realidad la regla tiene una gran variedad de cajas imaginarias que la atraviesan, pero eso no es relevante para la medición: la vara se introduce y embona perfectamente en la caja, entonces ésta le “dice” automáticamente al cerebro «sí». Que la vara sí mide 15 cm.

Otro ejemplo de medición es el siguiente:

Se tiene un balón de fútbol soccer. Éste es introducido a una caja imaginaria que le “dice” al cerebro si el objeto adentro es o no esférico. Para el caso, la caja anuncia «sí».

No se pone en duda, por el momento, con qué precisión cuentan las cajas de ambos ejemplos. En otras palabras, si se asume que las cajas pueden equivocarse en su veredicto, la precisión es con qué probabilidad aciertan. Esta probabilidad es determinada por el usuario de la caja medidora. Qué tan “buen diseño” le haya conferido a las cajas que construya el usuario con su criterio designa directamente la precisión en las mediciones. Incluso cuando las cajas medidoras son reales, si el usuario (o el fabricante que vende la caja al usuario) le confiere tales o cuales criterios al medir, influye directamente en la precisión de sus mediciones. Es así que algunos podrían decir que el balón no es esférico, esto porque sus cajas poseen una precisión mayor al resto, quienes tienen cajas cuya precisión es, por supuesto, menor.


II. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Supóngase que hay una caja que mide la precisión de otras cajas medidoras. A esta caja le corresponde el símbolo π( ). Si la caja medida presenta una precisión de 1, es decir, nunca yerra el veredicto, entonces la caja que mide la precisión mostrará un «sí». Si ocurre lo contrario, que la caja presente una precisión menor a 1, entonces mostrará un «no».

Así, cuando la caja K es introducida a la caja medidora de precisión 1.0 (CMP1.0), puede tenerse tanto π(K)=sí como π(K)=no. ¿Qué ocurre si una CMP1.0 idéntica en todos sus aspectos a la CMP1.0 que evaluó a la caja K es introducida a esta última CMP1.0? Se tienen dos opciones:

1. π(CMP1.0)=sí. Por lo cual ambas CMP's serían de precisión 1, pues son idénticas en todos sus aspectos.
2. π(CMP1.0)=no. Por lo cual ambas CMP's serían de precisión menor a 1, pues son idénticas en todos sus aspectos.

Si el segundo caso ocurre, cabría la posibilidad de que la CMP1.0 medidora hubiese cometido un equívoco y, por consiguiente, no se tendría la certeza plena de que estas CMP's, ninguna de las dos –lo que se diga de una se dice intrínsecamente de la otra por ser idénticas en todo sus aspectos–, sean de precisión menor a 1. No obstante, tampoco cabe la posibilidad de que su precisión sea 1, pues ese «no» de la respuesta sería muestra de que, en efecto, no son de precisión 1 las CMP's. No importaría el número de mediciones por realizar: es imposible que las CMP's en la segunda opción tengan alguna precisión.

Si ocurre la primera opción, π(CMP1.0)=sí, no se tendría certeza de que la CMP1.0 medidora posea una precisión de 1 ó no, pues cabe la posibilidad de que su respuesta sea un equívoco. Naturalmente, esto habla por las dos CMP's. Tampoco importaría el número de mediciones por realizar: siempre cabe la posibilidad de que el «sí» sea erróneo. En el caso de que fuere erróneo, se presenta la segunda opción. Por lo tanto, no importando qué respuesta arrojen las CMP's, se tiene el siguiente

Teorema. «Es imposible que las CMP1.0 tengan alguna precisión.»

Entonces, tanto la fórmula π(K)=sí como la fórmula π(K)=no, siendo K cualquier caja que no sea CMP1.0, serían no sólo cuestionables, sino absurdas. Esto es, si un usuario no puede asignarle precisión a una caja, como las CMP's, es porque la caja no realiza medición alguna. Le es imposible realizarla. Esto se argumenta porque el concepto de medición implica necesariamente, y se ha mostrado con ejemplos, el concepto de precisión. Si una caja no puede tener precisión es porque no puede realizarse medición alguna que permita evaluar cuántos aciertos presenta la caja, así como cuántos equívocos. Cuando las mediciones son posibles, con cualquier valor de precisión, éstas han sido realizadas y permiten declarar que la precisión es una cantidad. Siendo imposible declarar algún valor de precisión, la caja en cuestión no mide.

Podrían sugerirse, por el contrario a las CMP's, un par de cajas idénticas entre sí que midieran si la precisión de otras cajas es 0 ó no. Sin embargo, esto equivaldría a tener unas CMP1.0: si la respuesta de las cajas sugeridas es «no», equivale a una respuesta «sí» de las CMP1.0. Asimismo, si la respuesta de las cajas sugeridas es «sí», equivale a una respuesta «no» de las CMP1.0. Convertir las cajas sugeridas (sean CMP0.0) en CMP1.0 es cuestión de un aditamento que incluso sea mental [por ejemplo, asumir el 0 como 1, y el 1 como 0]. Entonces se enuncia el siguiente

Principio de incertidumbre. «En ninguna medición la precisión puede ser 0 ó 1

Si según el Teorema no existen las CMP's por carecer de precisión, no puede garantizarse entonces que la precisión de otras cajas que no sean CMP's valga ya sea 0 ó 1. La única forma de lograr hallar un valor de precisión sería realizando varias mediciones y declarando si se obtuvo un acierto o un equívoco en cada una de ellas. Pudiéndose declarar aciertos hasta una medición dada k, nada asegura, en principio, que la medición k+1 no sea un equívoco. La incertidumbre (posibilidad de equívoco) es una cuestión intrínseca a las mediciones.

***

El principio de incertidumbre podría parecer contradictorio con la Mecánica Lógica. Explícitamente, si físicamente una medición es una interacción entre objetos, tanto U(Q) como ¬U(Q) serían indecidibles siempre (porque U(Q) es admitir que se tiene un acierto en la medición y, según el principio de incertidumbre, U(Q) nunca sería válida al presentarse una medición –por ser ésta una interacción–). Entonces no existiría interacción en ningún caso, situación que no se observa en la realidad.

Sin embargo, observando con más profundad, Q contiene el símbolo Fi. Podría ser que para la interacción del tipo i (Fi) efectivamente U(Q) sea realmente indecidible, pero no así para otra interacción del tipo k (Fk) con su propia U(Q'). Esto es, si la interacción tipo i ocurre, la interacción tipo k no ocurre y, por consiguiente U(Q') no se deduce. Si la interacción tipo k ocurre, la interacción tipo i no ocurre y, por consiguiente U(Q) no se deduce. Suponiendo una caja medidora que determine si ambas interacciones se llevan a cabo simultáneamente, dicha caja jamás tendría una precisión ni de 0 ni de 1, es decir, mostraría que se cumple el principio de incertidumbre.

¿Por qué dicha caja no podría determinar separadamente si una u otra interacción se llevan a cabo? La Naturaleza no se encuentra fraccionada; las interacciones no se llevan a cabo sólo para cierto tipo de Naturaleza, sino para una misma Naturaleza. Por consiguiente, si la caja medidora sugerida es parte de la Naturaleza (como cualquier instrumento de medición real), no sólo se verá influenciada por un tipo de interacción, sino por ambos tipos. Si no pudiera mostrar el valor de la interacción tipo i no significaría que la interacción tipo i no fuese posible en la Naturaleza: significa que le es imposible medir interacciones tipo i; la indecidibilidad sería marcada en todo momento por dicho instrumento, no porque la interacción tipo k no se presente (que U(Q) fuese indecidible), sino por un defecto de la caja en sí.

Aclarado ese punto, se observa que el principio de incertidumbre es realmente compatible y necesario para la Mecánica Lógica: se deduce de ella. Entonces, las mediciones completas (que determinan los valores tanto de interacciones tipo i como interacciones tipo k simultáneamente) sólo pueden llevarse a cabo con una probabilidad de veracidad o falsedad posibles, pero nunca con certeza plena de haber acertado o fallado, es decir, nunca con precisión igual a 1 ó 0.

La precisión de una medición está intrínsecamente relacionada con el principio de incertidumbre de Heisenberg (distinto al principio de incertidumbre mostrado anteriormente). En cuestión de energía E y tiempo t se expresa

Γ≡ΔE·Δt≥h/(4·π).

siendo Γ el símbolo que abrevia a la proposición completa. La energía E es un valor dada la proposición Rj tal que, según marcan los axiomas de la Mecánica Lógica, Rj→E y RjQ, por lo cual E tiene relación directa con el valor Fi. Si E se determina en su valor cuando M(Rj), entonces E representa indirectamente al valor Fi: Rj permite calcular E a partir de Fi. Y aunque Rj se defina de distintas formas, el principio de incertidumbre se ha observado verdadero a partir de la experimentación, es decir, ΓQ y cuando una interacción se lleva a cabo, M(Fi), según determina la Mecánica Lógica también M(Γ). Por lo tanto, U(Γ), el principio de incertidumbre de Heisenberg se deduce verdadero.

La incertidumbre con Δ se interpreta como la diferencia que se halla para un valor dadas dos circunstancias. Si la circunstancia 1 conlleva una energía de valor E1 y la circunstancia 2 conlleva una energía de valor E2, entonces la incertidumbre de energía entre ambas circunstancias vale ΔE=E2-E1. Para las mismas circunstancias, las coordenadas temporales t1 y t2 son dadas e implican la incertidumbre de tiempo Δt=t2-t1. El principio de incertidumbre de Heisenberg establece que la incertidumbre de energía es inversamente proporcional a la incertidumbre de tiempo. Si dos circunstancias tienen casi el mismo valor de energía, ΔE≃0 y Δt→∞, es decir, transcurre un periodo de tiempo prolongado con tal de observarse el cambio de una circunstancia a otra por ser tan cercanas en valor de energía. Por ejemplo, mientras un electrón interactuando con un núcleo atómico (y formando un átomo) se encuentre en su estado de menor energía posible, dado que es requerida la influencia de un fotón sobre el electrón para hacerlo pasar a un estado de mayor energía, dos circunstancias al carecerse del fotón mencionado conllevan el mismo valor de energía, es decir, la del estado de menor energía posible (y ΔE=0). Así, el tiempo de interacción del electrón con el núcleo será indefinidamente largo según lo señalado por el principio de incertidumbre de Heisenberg (Δt→∞).

Por otra parte, si dos circunstancias tienen valores muy distintos de energía, tales que ΔE→∞, entonces Δt≃0, es decir, el tiempo para observarse el cambio de una circunstancia a otra es muy corto. Por ejemplo, cuando un protón en el núcleo atómico interactúa alejándose de otro protón, la energía entre dicha circunstancia y aquella donde el protón no se aleja es muy distinta en valor. Esto es porque la fuerza (interacción) nuclear fuerte es menor en valor cuando los protones se hallan próximos que cuando se hallan alejados. Sería necesario incrementar el valor de la energía cada vez más para lograr una mayor separación (ΔE→∞). Si repentinamente el protón deja de alejarse, el tiempo de retorno a la circunstancia de proximidad con el otro protón será muy corto (Δt≃0).

Otro caso semejante se presenta cuando se intenta acercar lo más posible dos partículas con la misma carga eléctrica, por mencionar un ejemplo, dos electrones. Mientras más próximos se hallen, al contrario de la fuerza nuclear fuerte, más grande será la fuerza eléctrica entre ambos y será necesario incrementar aún más el valor de la energía para continuar con el acercamiento entre electrones. Si repentinamente se deja de aproximar a los electrones, ambos se alejarán rápidamente (Δt≃0 para el alejamiento) porque la circunstancia de energía menor se halla de esta forma (ΔE→∞ entre el alejamiento y el acercamiento comparados). Podría notarse que mientras más se alejen los electrones, menor será la incertidumbre energética (ΔE≃0) entre una circunstancia y otra, por lo cual el alejamiento tardará cada vez más (se llevará en lapsos de tiempo cada vez más largos, Δt→∞).

Otros ejemplos sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg podrían observarse: cuando dos substancias químicamente afines no se encuentran mezcladas, el valor de la energía que conllevan para generar una mezcla es mucho mayor al valor de la energía que conllevan cuando están mezcladas. La mezcla se lleva a cabo con mayor rapidez cuando no se encuentran mezcladas que estando ya mezcladas (esto puede notarse en las variaciones de concentración de una substancia respecto a la mezcla). Este efecto macroscópico no es una casualidad respecto al principio de incertidumbre de Heisenberg, sino que lo ve involucrado directamente: la energía de mezcla entre dos substancias se debe a la suma de las energías de mezcla de cada molécula de cada substancia, y de ahí que el principio de incertidumbre de Heisenberg implique macroscópicamente efectos apreciables (y notados a su vez con la segunda ley de la Termodinámica por el valor de la energía de Gibbs).

Si ΔE se presenta, también ΔFi porque sus valores están relacionados directamente por la proposición Rj. Luego Δt implica que si las circunstancias de interacción con E1 y Fi,1 a una coordenada temporal t1 permiten deducir M(Q1), para una coordenada t2=t1+Δt las circunstancias con E2 y Fi,2 permitirán deducir M(Q2). Con periodos de tiempo menores a Δt, sean Δt', tanto M(Q2) como ¬M(Q2) no son válidas. Asimismo, tanto U(Q2) como ¬U(Q2) no se deducen porque con periodos de tiempo Δt' no se presenta la interacción de valor Fi,2. Tampoco U(Γ) sería válida, es decir, sería indecidible el principio de incertidumbre de Heisenberg, porque, según se mencionó, el principio es verdadero sólo cuando se lleva a cabo una interacción y, sin embargo, no se presenta un valor Fi,2 válido. No obstante, si un valor de energía E2' existe para un periodo de tiempo Δt', entonces se lleva a cabo otra interacción de tipo k, esto es, el valor Fk,2 también existe y, por consiguiente, M(Q2') es válida, de lo cual se deduce U(Q2') y necesariamente U(Γ). Para un tipo de interacción (i) el principio de incertidumbre de Heisenberg es indecidible, pero ello no impide que para otro tipo de interacción (k) el mismo principio sea verdadero. Esto no es contradictorio: la indecidibilidad no significa rechazar la veracidad de Γ (o admitir su falsedad), sino simplemente que no existen pruebas suficientes (desde el punto de vista de una interacción tipo i) para declararlo verdadero.

¿A qué tipos de interacciones aluden i y k? Se refieren a dos tipos de interacciones cuyos periodos de tiempo Δt para ser llevadas a cabo son distintos. Actualmente se conocen dos tipos de interacciones cuyos Δt cumplen tal requerimiento: 1) la interacción (o fuerza) nuclear fuerte, y 2) la interacción (o fuerza) electrodébil (obtenida por la unificación de la interacción de tipo nuclear débil y la interacción de tipo electromagnética). Mientras que el periodo de tiempo Δt para la interacción nuclear fuerte vale alrededor de 10-23 s, el periodo Δt' para la interacción electrodébil vale alrededor de los 10-20 s y los 10-8 s. Entonces, cuando la interacción nuclear fuerte se presenta, la interacción electrodébil no se presenta; cuando la interacción electrodébil se presenta, la interacción nuclear fuerte no. Visto con el principio de incertidumbre de Heisenberg, para un periodo de tiempo Δt se valida una incertidumbre de energía ΔE que es, a lo más, igual a la energía de la partícula de campo que genera la interacción del tipo i; en tal periodo de tiempo es imposible determinar con total certeza la inexistencia de la partícula de campo. Para un periodo Δt', se valida una incertidumbre de energía ΔE' que es, a lo más, igual a la energía de la partícula de campo que genera la interacción del tipo k.

Se observa que al menos dos tipos de interacciones deben ser posibles para validar al principio de incertidumbre de Heisenberg en toda circunstancia, según se deduce de acuerdo al principio de incertidumbre [de precisión en las mediciones]. Cuando se efectúa una interacción nuclear fuerte en el núcleo, carece de sentido intentar observar una interacción electrodébil porque el periodo de tiempo requerido para observarlo es demasiado alto. Así, en el núcleo atómico la interacción nuclear fuerte entre los protones supera la influencia coulómbica de repulsión entre las cargas positivas y, de hecho, carece de sentido intentar otorgarle relevancia. En contraste, cuando un protón se libera del núcleo atómico por el efecto túnel, el periodo de tiempo para observar alguna interacción es tal que permite identificar a la interacción electrodébil (la repulsión coulómbica entre el núcleo y el protón liberado), más no a la interacción nuclear fuerte: en este caso carece de sentido otorgarle relevancia a dicho tipo de interacción.

***

Si según el tratamiento intuitivo que se sugirió para las mediciones, la probabilidad de que U(Q) nunca es 1 ni 0, entonces se simboliza lo siguiente

Sean Up(Q) y ¬Up(Q) las probabilidades de veracidad y falsedad, respectivamente, dada Q,
entonces ¬Up(Q)+Up(Q)=1 se cumple.

Son valores de probabilidad ¬Up(Q) porque no es posible determinar un valor exacto de probabilidad ¬Up(Q)=1 ó ¬Up(Q)=0, sin restringir tal situación otros valores posibles. La expresión de suma entre ambas probabilidades es 1 porque siempre es cierto que ambas proposiciones ¬U(Q) y U(Q) son indecidibles: en suma, las probabilidades de que una proposición y su contraria sean cierta y falsa, respectivamente, siempre expresan la completa certeza de su indecidibilidad intrínseca. Con esa expresión se garantiza, además, que nunca sean ambos valores ¬Up(Q) y Up(Q) iguales a 1 o a 0 a menos que U(Q) sea posible porque una interacción se lleve a cabo. En realidad sería U(Q') posible siendo la interacción del tipo i (nuclear fuerte o electrodébil) solamente. Entonces Up(Q')=1 y ¬Up(Q)=0 se deduciría, aunque también se tendría que ¬Up(Q'')≠0 ó 1 (con doble apóstrofo para la interacción tipo k) y ¬Up(Q)≠1 ó 0.

¿Es contradictoria con la Mecánica Lógica la expresión de suma de probabilidad por haber sido deducida a partir de la indecidibilidad de Q durante la falta de interacción? No. Porque se sugiere un valor que refleja formalmente la indecidibilidad de Q, jamás la certeza de Q; esta última situación sí sería contradictoria. Entonces las siguientes inferencias tampoco son contradictorias respecto a la Mecánica Lógica:

Up(Q')→1 a medida que Δt'→Δt
Up(Q'')→0 a medida que Δt'→Δt

Por consiguiente, mientras el periodo de tiempo que transcurra sea cada vez más cercano al periodo que involucra se lleve a cabo una interacción de algún tipo, dígase i, entonces la probabilidad de que dicha interacción sea cuantificada (y que dicha cuantificación sea verdadera) es cada vez mayor para la interacción tipo i y cada vez menor para la interacción tipo k. O al contrario, podría ser cada vez mayor para la interacción tipo k y cada vez menor para la interacción tipo i, obteniéndose

Up(Q')→0 a medida que Δt'→Δt
Up(Q'')→1 a medida que Δt'→Δt

Se preguntó al comienzo «¿Cuál es la causa que da lugar a las interacciones?». Se contesta

La causa que da lugar a las interacciones es la variación de la probabilidad en la veracidad de la cuantificación de una interacción (la variación de los valores Up(Q) y ¬Up(Q')), involucrada intrínsecamente a la plena validez del principio de incertidumbre de Heisenberg durante las interacciones.

Esto implica que existan al menos dos tipos de interacciones físicas posibles (a saberse): la interacción nuclear fuerte y la interacción electrodébil.

Sin embargo, podrían existir más tipos de interacción. Esto conllevaría que esos tipos de interacción hipóteticos pudieran unificarse con alguno de los ya existentes para obtenerse solamente dos de los tipos necesarios. Si, por ejemplo, el nuevo tipo de interacción se llevase a cabo en tiempos menores a 10-23 s, entonces sería de alguna forma unificable necesariamente con la interacción nuclear fuerte. Si, otro tipo de interacción nuevo se llevase a cabo con periodos de tiempo mayores a 10-8 s, entonces sería unificable necesariamente con la interacción electrodébil. Si otro tipo de interacción nuevo se llevase a cabo con periodos entre los 10-23 s y los 10-20 s, entonces podría unificarse con alguno de los dos tipos de interacción, sea nuclear fuerte o electrodébil, pero no con ambos tipos. O bien, en el caso de lograr la unificación de todas las fuerzas, necesariamente existiría otro tipo de fuerza cuyo alcance estuviera en tiempos menores a los de la fuerza nuclear fuerte. Esta conclusión podría dar la pauta para unificar a la fuerza de gravedad con alguna de las otras fuerzas, es decir, primeramente con la interacción electrodébil.

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Personalmente conozco de una teoría que plantea dicha unificación [Análisis teórico de la constante de gravitación universal; Durand, G.; 11 de Julio de 2005], requeriendo de la observación de ondas gravitacionales altamente energéticas, y otra serie de cuestiones a la fecha no observadas experimentalmente, pero quizá observables en el futuro. Sin aprobar dicha teoría, tampoco es posible descartarla.

14 de Abril de 2014
 
 

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