Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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martes, 27 de mayo de 2014

EL TEOREMA DE ABEL. DEMOSTRACIÓN

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México
 
Niels Abel. Antes de morir dejó
como legado al mundo la demostración
del teorema al cual se dedica este texto.


La demostración original –distinta a la aquí expuesta
 se encuentra en las Œuvres Complètes I de N. H. Abel.
 Otros trabajos relevantes de este matemático
se hallan en las Œuvres Complètes II.


***

Cada operación aritmética puede definirse como una función de tres números: dos números operantes (sean p y q) y un número característico (sea a). Así se obtiene:

1. Adición: O1(a1, p, q)=a1·(p+q), pudiendo ser p y q complejos –los reales también son complejos– y a1 solamente igual a 1.
2. Producto: O2(a2, p, q)=a2·(p·q), pudiendo ser p y q complejos y a2 solamente igual a 1.

Estas dos operaciones son fundamentales: no se requiere de otras operaciones para definir las presentes. Tampoco se define la potencia (pq) porque es fácilmente calculable a partir del producto, sin embargo se empleará en este texto.

3. División: O3(a3, p, q)=a3·(p/q), pudiendo ser p y q complejos (q distinto de 0) y a3 solamente igual a 1.
4. Raíz par: O4(a4, p, q)=a4·p√(q), pudiendo ser p número par, q complejo, y a4 ya sea igual a 1 ó igual a -1.
5. Raíz non: O5(a5, p, q)=a5·p√(q), pudiendo ser p número non, q complejo, y a5 solamente igual a 1.

Nótese la utilidad de a4 en la raíz par; porque ésta en principio permite obtener tanto el valor |p√(q)| como el valor -|p√(q)|. Con a4 se establece la posibilidad de que ambos valores puedan presentarse en forma de función de acuerdo a la operación O4.

***

Un polinomio

f(x)=k0·x0+k1·x1+k2·x2+...+kn-1·xn-1+ kn·xn

es, con las operaciones en su forma de función,

f(x)=O1(a1, O2(a2, k0, x0), O1(a1, O2(a2, k1, x1),
O1(a1, O2(a2, k2, x2), O1(a1, O2(a2, k3, x3), ...))))

hasta alcanzar el término O2(a2,kn,xn). Por esta forma adquirida, el polinomio puede representarse como una función de todos los números involucrados, es decir,

f(x)=f(a1, a2, k0, k1, k2, ..., kn, x)

Análogamente es deseable que con las operaciones disponibles se pueda obtener una función

x(f)=x(a1, a2, a3, a4, a5, k0, k1, k2, ..., kn, f)

que es la función inversa del polinomio –o en términos coloquiales, es deseable “despejar x”–. Este “despeje” se halla limitado por cada número de la función x. Si f puede tomar cualesquiera valores complejos –el polinomio no ofrece ninguna restricción al respecto–, y las ki son constantes, y a1, a2, a3, a5, son constantes –todas valen 1 solamente–, será a4 el valor que permita o impida obtener los resultados de x.

***

Si se halla la función inversa x(f), cuando f=0 ésta permite calcular las raíces del polinomio f. Se sabe que cuando n=1, el polinomio f tiene sólo una raíz –sólo existe un valor x(0) posible–.

Como x(0)=x(a1, a2, a3, a4, a5, k0, k1, 0) se plantea –y sólo a4 limita la cantidad de valores posibles para x–, a4 únicamente podría adquirir un valor y no dos (1 y -1); por ello se deduce que para el cálculo de la raíz x(0) –tampoco de la función inversa x(f)no se requiere de la raíz par –ni se requiere, por supuesto, del valor a4–.

En efecto, así es. Si f(x)=k1·x+k0, entonces x(f)=(f-k0)/k1.

Se ha observado la utilidad que puede representar conocer el comportamiento de a4. Conociendo sus alcances en el cálculo de la función inversa, es factible saber cuántas raíces se pueden calcular, o bien, si la función inversa se puede calcular.

Para n=2, se sabe que existen 2 valores posibles para la raíz x(0) –existen máximo n posibles raíces para un polinomio dado n en su último término kn·xn, así que el cálculo de raíces es x(0)=x(a1, a2, a3, a4, a5, k0, k1, 0) y en este caso a4 necesariamente presenta dos valores posibles, lo cual es cierto según se definió en la raíz par. Por ello se deduce que en el cálculo de x(0) para n=2 es necesaria la utilización de la raíz par. En efecto, así es. La fórmula general para la resolución de polinomios con n=2 contiene a la raíz cuadrada (p=2, que es par) como operación determinante en la obtención de los valores posibles de las raíces del polinomio en cuestión.

Para n=3, también se sabe de la existencia de una fórmula para el cálculo de x(0). Sin embargo, cuando se retoma x(0)=x(a1, a2, a3, a4, a5, k0, k1, 0), no concuerda la cantidad de raíces con la cantidad de valores permitidos por a4: según esto, serían dos raíces para un polinomio con n=3, no obstante el cálculo conocido incluye las tres raíces que implica n=3. La cuestión es que existe una operación no considerada al comienzo y que, no obstante, permite el cálculo de x(0) con tres valores posibles. Esta operación es la siguiente:

6. Raíz par II: O6(a6, p, q)=a6·p√(q), pudiendo ser p número par, q complejo, y a6 ya sea igual a 1, a 0 ó a -1.

Esto es, la raíz par II indica que puede emplearse a la raíz par para el cálculo de un resultado (con 1 y -1) o no (con 0). La raíz par II permite prescindir de esta operación con el solo hecho de que a6=0.

En la fórmula conocida para el cálculo de las tres raíces de un polinomio cuando n=3 –queda en el lector averiguar que efectivamente existe dicha fórmula– se calculan dos de las raíces considerando a la raíz par (con p=2) y la restante se calcula sin considerar a la raíz par. En todo caso, cada una de las operaciones podría tener un simil con la opción a prescindirse de ellas, pero no es necesario exponerlos: para los fines de esta demostración, sólo basta con saber que el máximo número de posibilidades para un número característico ai es 3, esto es, una opción positiva, otra negativa (ambas dadas para todas las raíces pares) y una más que prescinde de la operación.

No podrían existir más opciones porque no existen más operaciones aritméticas –a saberse– distintas a las ya señaladas (la substracción está incluida en la adición), y con las operaciones consideradas, el máximo número de posibilidades –obtenido para la raíz par– es 3. Las posibilidades de la potencia son las mismas que las posibilidades del producto. Incluso si se considerase al logaritmo para calcular las raíces de un polinomio, éste sólo tendría como máximo dos valores posibles de ai: 1 y 0 –si acaso–.

***

Cuando se conoce el valor de una raíz r1, se puede hipotetizar un valor d tal que permita calcular otra de las raíces por medio de la expresión r2=r1-d. Así, por ejemplo, cuando es un polinomio con n=2, se considera esta hipótesis y se obtiene

f(r1-d)=k2·(r1-d)2+k1·(r1-d)+k0=0

y 2·k2·r1+k1+k2·d=0

considerando que f(r1)=k2·r12+k1·r1+k0=0 –porque r1 es una raíz–. Hallar el valor d implica resolver la raíz del polinomio f(d) con n=1, cuyo cálculo ya ha sido expuesto. Por lo tanto, d se conoce y el hecho de conocer r2 sólo radicaría en que r1 pudiera ser calculado con una fórmula, para este caso, la fórmula general para la resolución de polinomios con n=2.

Entonces para toda fórmula que permita calcular x(0) con n dado, deben cumplirse necesariamente dos características fundamentales:

1) la fórmula para x(0) con n-1 dado debe de existir –para garantizar que conociendo una raíz se pueden calcular las demás–, y
2) la fórmula para calcular una de las raíces debe de existir.

En el caso particular de x(0) con n=3, se cumplen ambos requerimientos: 1) una de las raíces se puede calcular –y en su cálculo se puede considerar que a6=0–, y 2) existe la fórmula para x(0) con n=2 –que es la fórmula general para la resolución de ese tipo de polinomios–. Nótese que en la resolución de esa fórmula a6=1 y a6=-1 son válidos.

***

Ahora se procederá a demostrar el siguiente

Teorema. No es posible calcular aritméticamente –con operaciones aritméticas únicamente– la función inversa de polinomios con n mayor o igual a 5. (Teorema de Abel)

Demostración:

1. Si n=4, la función x(0)=x(a1, a2, a3, a4, a4', a5, k0, k1, 0) podría expresarse. Esto es, operar con la raíz par cada valor obtenido a partir de una función dependiente de la raíz par implica obtener la siguiente tabla de posibilidades para a4 y a4':

Raíz par 1 (a4) – Raíz par 2 (a4')
1                          -1
-1                          -1
1                            1
-1                           1

Por ejemplo, la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de 2 –simbólicamente, √[√(2)]– permite obtener cuatro valores diferentes: √[√(2)], √[-√(2)], -√[√(2)] y -√[-√(2)]. Asimismo, si esta utilización múltiple de la raíz par se implementa para el cálculo de x(0), con a4 y a4' se obtendrían cuatro valores posibles de raíces en el caso de que exista dicho cálculo. En efecto, la fórmula de x(0) con n=4 existe y presenta las cuatro posibilidades de cálculo para cada raíz, esto debido a la implementación sucesiva de la raíz par, tal y como se sugirió al calcular el número de opciones posibles dados a4 y a4'.

2. Es condición necesaria para la existencia de una fórmula que permita calcular x(0) con n dada que

A. El número de opciones dadas las a4 ó a6 implicadas sea exactamente n, y
B. Exista la fórmula para el cálculo de x(0) con n-1 dada,

se cumplan. La primera parte de la condición expresa que si las opciones de cálculo no son las mismas tanto porque n se conozca –y deba haber n raíces posibles– como por las operaciones aritméticas con que se cuente, entonces no es posible asumir que exista la posibilidad de calcular aritméticamente las raíces.

Ocurrió con n=1 que a4 asumía sólo un valor, pero por definición de a4 tendrían que ser dos. Las opciones dada a4 no eran iguales en cantidad a n, por lo cual se dedujo que la operación correspondiente a a4 no formaba parte del cálculo de x(0) en ese caso. Asimismo, con otros valores de n se deberá asumir que las operaciones que impliquen a4 ó a6 no forman parte de la resolución de x(0). Y si ninguna de las operaciones con sus ai respectivas permite obtener una cantidad idéntica a n de valores posibles, entonces el cálculo aritmético de x(0) será ciertamente imposible. No ocurrió con n=1 porque existen otras operaciones con un único valor posible de ai que es idéntico a n=1.

La segunda parte de la condición, B, proviene de lo expresado anteriormente: es necesario que para n-1 pueda resolverse x(0) porque conociendo un valor de las raíces posibles de un polinomio con valor n, se tiene inmediatamente el cálculo aritmético de las restantes con la resolución del polinomio con valor n-1.

3. No es posible calcular aritméticamente x(0) con n=5.

Porque con n=5 no es posible cumplir la parte A de la condición en 2. Explícitamente, cuando se intenta hallar la cantidad de posibilidades de cálculo a partir de las ai, todas son o bien múltiplos de 2 –porque a4 tiene dos posibles valores–, ó bien de 3 –porque a6 tiene tres posibles valores–, ó de 6 –como consecuencia de a4 y a6 combinados–. Desde n=1 hasta n=4, los polinomios comparten alguna de esas características: n es divisible de 2, ó de 3. Sin embargo, n=5 por ser primo no comparte ninguna de esas características y, en consecuencia, no se cumple la parte A de la condición en 2 y, finalmente, se deduce que no existe el cálculo aritmético de x(0).

4. No es posible calcular aritméticamente x(0) con n mayor que 5.

Porque si con n=5 no existe la fórmula para el cálculo de x(0), mucho menos existe, según la parte B de la condición en 2, para n=6, ni desde luego para n=7, y por inducción para ningún valor n mayor que 5, incluso si cumplen la parte A de la condición en 2.

5. No es posible calcular aritméticamente x(0) con n mayor o igual a 5.

Que se obtiene de conjuntar lo deducido en 3 y en 4.

6. No es posible calcular aritméticamente la función inversa de los polinomios con n mayor o igual a 5.

Si x(0) no puede calcularse aritméticamente, dado que f=0 es sólo una sustitución sobre la función inversa x(f), en realidad el resultado es general para cualquier valor de f.


***

Unas reflexiones entorno a la demostración. Que el polinomio con n-1 no pueda resolverse implique que el polinomio con n tampoco pueda resolverse se basa en el argumento expuesto acerca de la diferencia d entre raíces. Esa diferencia está en términos de la resolución de un polinomio con n-1 y es una función de una raíz conocida calculada hipotéticamente con la resolución del polinomio con valor n. Si no es posible introducir esa resolución en una con n-1, entonces se está deduciendo que la diferencia d entre raíces no existe, lo cual es falso. Por ello la parte B de la condición en 2 de la demostración es necesaria.

Las posibilidades de cálculo se deben a las características de los números. Que la operación inversa a la raíz par permita obtener el mismo resultado tanto para un valor negativo como para un valor positivo realmente se debe a la naturaleza de los números complejos. Si existieran tres tipos de signos en los números, uno positivo, otro negativo y otro “z”, entonces existirían otras operaciones aritméticas y, finalmente, existirían mayores posibilidades de cálculo para las raíces de un polinomio. Ciertamente se requeriría de cuatro tipos de signos para la resolución de los polinomios con n=5: sólo así se podrían obtener las cinco opciones de cálculo necesarias –cuatro debidas a los signos y una prescindiendo de la operación que implique los cuatro signos–. Sin embargo, no es una condición suficiente. Se requerirían en realidad nuevas reglas de deducción y nuevas formas de análisis numérico para obtener una expresión que satisfaga el cálculo de la función inversa.

Aún así, en cuanto a las raíces, resulta totalmente posible obtenerlas con otros métodos matemáticos –especialmente de Análisis– aunque no sean únicamente aritméticos. El resultado tampoco garantiza que sea imposible determinar el valor de las raíces aritméticamente para algunos polinomios en particular. Por ejemplo, los polinomios de la forma

f(x)=k2·(xn)2+k1·(xn)+k0
o bien, f(x)=k2·x2·n+k1·xn+k0

son resolvibles por medio de la fórmula general de los polinomios con n=2, aunque n sea mayor o igual a 3 –y 2·n mayor a 5–. No obstante, en este caso sólo existen cuatro posibles raíces si n es par, y dos si n es non.

27 de Mayo de 2014
 
 

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