Teorema de incompletitud de Gödel

Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.


La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.


sábado, 22 de marzo de 2014


By Alfredo Salvador C. García
Mexico City

Erwin Schrödinger, who took
the ondulatory nature in order to describe
corpuscles movement.

Let be Ψ the function that describes correctly the movement circumstances (or movement state) of particles. If this is true, it will be coherent with all laws describing the Universe.

So then, Ψ(x,y,z,t) is expressed because movement circumstances of particles are given by the position (x,y,z) and the time coordinate associated to them (t). In that case Ψ describes both position and time for particles movement.

Supposing that Ψ=f(x,y,z), where f(x,y,z) is any position function, Ψ is independent of the position's localization; its movement circumstances are valid to any position in the Universe, or what is the same, because, in principle, the movement circumstances of a particle are intrinsic to it, the particle may be found at every position in the Universe necessarily; the circumstances associated to the particles movement are spacially present for all over the Universe. In other words, the particle is a wave that is spacially and constantly distributed through the Universe.

To research if this is true, it is just necessary to localize at any region of the Universe another particle with its own Ψm value (m for measurement; the particle is used to measure). When a change is presented for the Ψm value, it will be known that the first particle was found in a determinated place. After be done in many times at different places, it will be observed the same variation for the Ψm value. However, doing this also modifies the Ψ value and does not allow to determine if it actually makes reference to the particle whose circumstances were proposed for the original Ψ value. This is, if Ψ changes its value, it does not describe any more the movement circumstances of the particle in the same way it is desired to be known, with the original value of Ψ.

To reach the Ψ value for a particle in some movement circumstances so any particle can not have influence to another particle in its value is not possible. For that it is required to do a measurement, and that means to modify the Ψ value and, eventually, not to find the Ψ value in the required circumstances. This occurs, but may be the Ψ would be found because it has influence by itself and determines its own Ψ value that would not change: the movement circumstances does not change because there is not another particle that modify them. How could be a particle having influence by itself? Note the following reasoning: Ψ only changes its value because of a particle having influence to another particle. Then, if Ψ does not change its value, it can be explained by the lack of influence. Only a particle can have influence to another particle and change its Ψ value and its movement circumstances. That is why a particle can not have influence by itself; Ψ can not change its own value, in principle, in order to its corresponding particle would find it.

Consequently, Ψ=f(x,y,z) is actually false if it is assumed for a particle without influence from other particles, because Ψ can not be known according the proposed circumstances. In general, any Ψ value is false by the same reasoning.

Schrödinger's equation proposes the same, let us say, a Ψ=f(x,y,z) value known for the indicated circumstances, then this equation is false for this condition. What is, it can not be valid to use Schrödinger's equation for particles that are not having influence, evidently, by other particles. It does not mean that the equation is not valid for other circumstances where, in fact, it has been proved completely valid. Only for particles that do not have influence has not been proved if it is or is not valid. Note that it has been proved the case where a particle is not having influence and then it reaches some influence (by the Ψm initially proposed), but never for a particle simply without influence. Cases where there is a change from the lack of influence to the influence are various and known: any kind of «tunnel effect» situation, the Heisenberg's collision between a photon and an electron –that derives as a result its uncertainty principle–, and some others. It has never been observed the case of a particle perceiving itself.

This implies that Schrödinger's equation is only valid for circumstances where there is not interaction between particles, also called «measurement». Then:


that is Schrödinger's equation with h Planck's constant for energy quantisize, U the potential energy, and E the total energy associated to the particle, may be modified for the circumstances that can not describe. It is proposed a new equation as follows:


where 2·J is the «importance factor» defined as

J={0 if there is not a measurement; 1/2 if there is a measurement.

Is called 2·J «importance factor» because it indicates if it is necessary to quantisize or not the energy. If J=1/2, h value becomes necessary (or important) to the equation, also as the quantization that this constant implies. If J=0, the h value is not needed in the equation (it does not change its value, but J=0 makes us ignore it) and the energy quantization becomes not important. This 2·J importance factor is also present in the redefined Heisenberg's uncertainty relation, let us say,

Δr·Δpr=J·h/(2·π), with r=x, or r=y, or r=z.

When a particle has influence due to another particle, J=1/2 and the Heisenberg's uncertainty relation is obtained in its original form. When there is not influence in a particle due to another particle, J=0 and the uncertainty does not have any physical sense; the particle is necessarily determined by its position and its moment (or velocity). Because Δr·Δpr=0 implies Δr=0, that the particle is determined by its position at r: the particle is at the same place where it is (does not matter it sounds tautological) even if its nature is ondulatory or corpuscular, or another kind of nature, and this agrees the fact that Ψ does not change its value. Furthermore, Δpr=0 is also valid because the particle is moving at the same velocity itself is moving (does not matter it also sounds tautological), and this agrees again the fact that Ψ does not change its value: if the reference frame is found from the same particle's perspective, p=0 in any case and Ψ effectively does not change its value.

Now it will be proposed again the solution to Schrödinger's equation for the particle without influence. If this happens, J=0. Also, U(x,y,z)=0 because there is a lack of influence from another particle; there are not forces generating any kind of potential energy. Finally, if the particle is not moving according to a frame following the particle's velocity and there is not potential energy, it is assumed that the total energy associated to the particle is E=0. Therefore:


is found without considering any Ψ value, just as it was specified, let us say, that any known Ψ value was false. By this it can be concluded:

1. If n=1, where n is the number of particles in a reference frame, J=0.
2. If n is greater than 1, J=1/2 (this implies an interaction between particles). In general,

J={0 if n=1; 1/2 if n is greater than 1.

3. Again, 2·J=0 indicates that energy quantization is not important; 2·J=1 indicates that energy quantization is necessary.
4. Schrödinger's equation is redefined as


and the uncertainty relation becomes

Δr·Δpr=J·h/(2·π), with r=x, or r=y, or r=z.

5. Even if Ψ is not determined for its value when n=1, Δr=0 and Δpr=0 are according to the only phenomenological agent, the studied particle. Has Ψ a value whose meaning is for the rest of the particles in the Universe; for the studied particle, Ψ is also not important in its value as the energy quantization is not. That is, according to the particle, the only fact of being a particle is sufficient to express its movement circumstances; the particle does not require a Ψ value, or another property value, to express its movement circumstances by itself.

Consider that the influence of a particle by another, or an interaction, or a measurement, implies the field particles exchange. Therefore, n=1 when a particle is not exchanging field particles, or what is the same, when it does not interact with any particle. Then, n=1 for the particle until any region where there are not any particles (this sound repeatitive, but is necessary to be mentioned to observe that coherence exists between the phenomenon description and the used simbols). If n=0, J is not defined; this implies that either J=0 or J=1/2 are the same valid and the same obtain contradictory conclusions for the space-time nature as a physical quantity (n=0 expresses that only the space-time is analysed). This entity can be studied by other reasonings (it is necessary to have other conditions different to the described by Quantum Mechanics), by the use of Relativity Theory.

March 22nd, 2014


De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México
Erwin Schrödinger, quien retoma
la naturaleza ondulatoria para describir
el movimiento de los corpúsculos.

Es Ψ la función que describe acertadamente las circunstancias de movimiento (o estado de movimiento) de las partículas. Si esto es cierto, debe ser coherente con todas las leyes que caractericen al Universo.

Así, Ψ(x,y,z,t) se expresa porque las circunstancias de movimiento de las partículas se dan en términos de la posición (x,y,z) y la coordenada de tiempo asociada a éstas (t). Entonces Ψ describe tanto la posición como el tiempo para el movimiento de una partícula.

Suponiendo que Ψ=f(x,y,z), donde f(x,y,z) es una función cualquiera dependiente de las coordenadas x, y, z, Ψ queda independiente de dónde se halle la partícula; sus circunstancias de movimiento son válidas para cualquier posición en el Universo, o bien, dado que, en principio, las circunstancias de movimiento de una partícula son intrínsecas a ésta, la partícula debe de hallarse en todas las posiciones del Universo necesariamente, porque las circunstancias asociadas a la partícula están presentes espacialmente en todo el Universo. En otras palabras, la partícula es una onda que se distribuye espacialmente y de forma constante a través del Universo.

Para averiguar que esto se cumple, basta con colocar en cualquier región del Universo otra partícula de valor Ψm propio (m por medición; la partícula se emplea para medir). Cuando se presente un cambio en el valor de Ψm, entonces se sabrá que la primera partícula se hallaba en un sitio determinado. Tras hacerlo en varias ocasiones en distintos sitios, se observará la misma variación en el valor de Ψm. Sin embargo, hacer esto también modifica Ψ de valor y no permite determinar si realmente se trata de la partícula cuyas circunstancias se veían planteadas por el valor de Ψ original. Esto es, si Ψ cambia de valor, ya no describe las circunstancias de movimiento de la partícula en la forma en que se desea conocer, con el valor original de Ψ.

Conocer el valor de Ψ para cierta partícula en unas circunstancias de movimiento tales que no influye ninguna otra partícula en su valor no es posible. Para ello se requiere de realizar una medición, lo que significa modificar el valor de Ψ y, finalmente, no encontrar el valor de Ψ en las condiciones requeridas. Esto a menos de que Ψ sea averiguada porque la partícula se vea influida por ella misma y determine su propio valor de Ψ que ya no cambiará: las circunstancias de movimiento no cambian porque no hay otra partícula que las modifique. ¿Cómo puede influirse una partícula a sí misma? Obsérvese el siguiente razonamiento: Ψ sólo cambia de valor porque una partícula influye a otra. Entonces, si Ψ no cambia de valor es porque no hay ninguna influencia presente. Sólo un partícula puede influir en otra y cambiar el valor de Ψ y, por lo mismo, las circunstancias de movimiento de ésta. Así, es absurdo que una partícula se influya a sí misma; Ψ no puede cambiar su valor, en principio, para que la partícula correspondiente lo averigüe.

Por consiguiente, Ψ=f(x,y,z) es en realidad falsa si se asume para una partícula sin influencia de otras partículas, puesto que Ψ no puede conocerse si ésas son las circunstancias propuestas. En general, cualquier valor de Ψ es falso por el mismo argumento.

La ecuación de Schrödinger sugiere esto mismo, es decir, un valor Ψ=f(x,y,z) conocido para las circunstancias señaladas, por lo cual dicha ecuación es falsa en esta condición. Esto es, no resulta válido emplear la ecuación de Schrödinger para partículas no influidas, evidentemente, por otras partículas. No significa que la ecuación se inválida para otras circunstancias donde, de hecho, ha probado su completa validez. Sólo es para partículas no influidas donde no ha comprobado cumplirse. Nótese que sí se ha comprobado válida cuando la partícula no influida pasa a ser influida (a través de los valores Ψm sugeridos inicialmente), pero nunca para la partícula simplemente no influida. Casos de cambio desde la no influencia a la influencia son varios y conocidos: cualquier situación tipo «efecto túnel», la colisión de Heisenberg entre un fotón y un electrón –misma que arroja como resultado su principio de incertidumbre–, y otros más. Nunca se ha observado el caso de una partícula percibiéndose a sí misma.

Esto conlleva a que la ecuación de Schrödinger sólo sea válida para circunstancias donde hay una interacción entre partículas, también llamada «medición». Entonces:


que es la ecuación de Schrödinger con h la constante de Planck para la cuantización de la energía, U la energía potencial, y E la energía total asociada a la partícula, debe ser modificada para las circunstancias que no puede caracterizar. Se plantea nuevamente la ecuación como sigue:


donde 2·J es el «factor de relevancia» tal que

J={0 si no hay medición; 1/2 si hay medición.

Es nombrado 2·J «factor de relevancia» porque indica si es relevante cuantizar o no la energía. Si J=1/2, el valor de h toma relevancia en la ecuación, así como la cuantización que dicha constante implica. Si J=0, el valor de h carece de relevancia en la ecuación y queda irrelevante la cuantización de la energía. Este factor 2·J de relevancia está presente en la redefinición de la relación de incertidumbre de Heisenberg, es decir,

Δr·Δpr=J·h/(2·π), con r=x, ó r=y, ó r=z.

Cuando hay influencia de una partícula en otra, J=1/2 y se obtiene la relación de incertidumbre de Heisenberg en su forma original. Cuando no hay influencia en una partícula por medio de otra, J=0 y la incertidumbre carece de sentido físico; la partícula necesariamente está determinada en su posición y momento (o velocidad). Porque Δr·Δpr=0 lleva a Δr=0, que la partícula esté con posición determinada en r: la partícula está en el mismo sitio donde ella misma esté (aunque luzca tautológico) no importando si su naturaleza es ondulatoria o corpuscular, o cualquier otra, lo cual concuerda con el hecho de que Ψ no cambie su valor. Asimismo, Δpr=0 también es válido porque se mueve la partícula a la misma velocidad con que ella misma se mueve (aunque también luzca tautológico), lo cual concuerda nuevamente con el hecho de que Ψ no cambie su valor: si el marco de referencia se encuentra desde la perspectiva de la partícula, p=0 en cualquier caso y Ψ efectivamente no cambia de valor.

Ahora se planteará nuevamente la solución de la ecuación de Schrödinger para la partícula sin influencia. Siendo así, J=0. Aparte, U(x,y,z)=0 porque carece de la influencia de otra partícula; no hay fuerzas que generen energía potencial alguna. Finalmente, si la partícula no se mueve respecto a un marco de referencia con su misma velocidad y no hay energía potencial presente, se asume que la energía total aunada a la partícula es E=0. Por lo tanto:


queda no importando el valor de Ψ, tal y como se especificó, es decir, que cualquier Ψ de valor conocido era falsa. Es por ello que se concluye:

1. Cuando n=1, donde n es el número de partículas en un marco de referencia, J=0.
2. Cuando n es mayor que 1, J=1/2 (porque así hay interacción entre las partículas). En general,

J={0 si n=1; 1/2 si n es mayor que 1.

3. Nuevamente, 2·J=0 indica que la cuantización de la energía es irrelevante; 2·J=1 indica que es necesaria dicha cuantización.
4. La ecuación de Schrödinger queda redefinida como


y la relación de incertidumbre pasa a ser

Δr·Δpr=J·h/(2·π), con r=x, ó r=y, ó r=z.

5. Aunque Ψ queda indeterminada en su valor para n=1, Δr=0 y Δpr=0 respecto al único agente fenomenológico, la partícula en cuestión. Es Ψ un valor con significado para el resto de las partículas en el Universo; para la partícula en cuestión, Ψ es también irrelevante en su valor como lo es la cuantización de la energía. Esto es, según la partícula, el hecho de ser partícula resulta suficiente para expresar sus circunstancias de movimiento; respecto a ella no se requiere de Ψ alguna para expresarlo, ni de otra propiedad (energía, temperatura, carga, masa, etc.) en particular

Considérese que la influencia de una partícula dada otra, o la interacción, o la medición, implica el intercambio de partículas de campo. Por lo tanto, n=1 cuando una partícula no se halla intercambiando partícula de campo, o bien, cuando no interactúa con ninguna. Así, n=1 dada la partícula hasta cualquier región donde no haya más partículas (lo cual es redundante, pero necesario de mencionarse para observar que existe coherencia entre la descripción del fenómeno y la simbología empleada). Si n=0, J no está definido; esto implica que tanto J=0 ó J=1/2 sean igualmente válidos y que igualmente lleven a conclusiones contradictorias en cuanto a la naturaleza del espacio-tiempo como cantidad física (n=0 expresa que se está analizando sólo al espacio-tiempo). Dicha entidad es analizada por medio de otros argumentos (es necesario tener otros para condiciones distintas a las descritas por la Mecánica Cuántica), a través de la Teoría de la Relatividad.

22 de Marzo de 2014

domingo, 16 de marzo de 2014


De Alfredo Salvador C. García 
Ciudad de México

 René Descartes: «Pienso, entonces existo.»

«Si fueran ciegos, no tendrían pecado.
Pero ustedes dicen: “Vemos”,
y ésa es la prueba de su pecado.»

Juan 9,41

Se plantea la definición ∀xΠxΩx donde Πx dice «x puede existir» y Ωx dice «x existe». No se confunda al cuantificador con el relator Ω: el cuantificador expresa cantidad y es conveniente referirlo como «algún».

Entonces la existencia de x queda definida mientras x pueda existir. La definición puede tomar la forma ∀xΛΠxΩx→ΩxΠx. Por consiguiente, para que la definición sea deducida verdadera bastaría con probar que tanto ΠxΩx como →ΩxΠx son verdaderas. Se observará inicialmente que →ΩxΠx es veradera según la intuición: si un x existe, por decir, una hoja de papel, o una letra, o un libro, o una idea, etc., entonces claramente ese x puede existir. Ahora, si un x puede existir pero se desconoce que existe, ¿ese x existe? ¿Puede saberse verdadero que una hoja de papel existe sólo por el hecho de que su existencia sea posible?

La veracidad de Πx se prueba confirmando la existencia de x pues ello implica intuitivamente que Πx según →ΩxΠx. Si se desea ir en sentido inverso, que Πx sea en principio verdadera, es cuestionable que Ωx sea verdadera pues no se contaría con evidencia para asumir que Πx fuere verdadera. ¿Hay forma de probar la veracidad de Πx sin probar la veracidad de Ωx?

Por el momento sólo se sabe que ∀x↔Ωx↔ΠxΩx, y en esas circunstancias sólo de ΛΩxΠx se deduce Ωx, lo cual también ya se sabe. Supóngase que →NΠx, donde N es una sentencia que incluye variables aparte de x. Asimismo se tiene que →ΛΩyiΠx, donde Ωyi≡Ωy1Ωy2Ωy3... Ωyn con una n dada y ΛΩyi es verdadera porque se ha observado el cumplimiento de cada Ωyj (Ωy1, Ωy2, Ωy3, etc.) Entonces Πx sería verdadera mientras cada Ωyj fuese verdadera. Para asegurar que ∀xΠxΩx sea cierta es necesario solamente probar que ¬=xyj (que no sea igual x con ninguna yj).

Por ejemplo, cuando J. Maxwell plantea su teoría electromagnética obtiene una sentencia N que hace referencia a la velocidad de la luz como valor de velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas, es decir, se tiene una Ωyj componente de la Ωyi, por decir, Ωy1 donde y1 era cualquier onda electromagnética, o bien, en general, =onda electromagnética yj. Aparte, →NΠx con =luz x, pues si N hace referencia a la velocidad de la luz, la luz puede existir. Sin embargo, sería demasiado extraño que la luz pudiese existir pero que no existiese ésta –independientemente de la evidencia obvia sobre la existencia de la luz–. Y en efecto, =xyj, o sea, la luz es una onda electromagnética. Por lo tanto, el caso de la teoría electromagnética de Maxwell aporta evidencia para admitir verdadera a la sentencia ∀x↔Ωx↔ΠxΩx y no a la sentencia ∀xΠxΩx.

A la fecha no se cuenta con ninguna teoría que lleve a ∀xΠxΩx, pues se basan todas aquellas comprobadas verdaderas (hasta el momento verdaderas) en la prueba de →ΩxΠx y no en el sentido inverso. De hecho, las teorías que por lo general admiten →ΠxΩx llevan junto con →ΩxΠx a que ΛΠx¬Πx –lo cual es absurdo– porque al realizar observaciones resulta que ¬Ωx. Por ejemplo, se se parte de las transformaciones de Galileo, se tiene que →ΠxΩx siendo =coordenadas de tiempo únicas x; luego se deduce Ωx, pero al realizar observaciones se infiere en realidad que ¬Ωx (las coordenadas de tiempo no son las mismas para marcos de referencia a velocidades distintas) y por ello ΛΠx¬Πx, que, por una parte, las coordenadas de tiempo son iguales para todos los observadores en el Universo y que, por otra parte, no lo son pues aquello simultáneo para un observador no lo es para otro (según lo expresa A. Einstein).

Sin embargo, esto no significa que ∀x↔Ωx↔ΠxΩx sea indudablemente cierta: supóngase que ↔Ωx¬Mx para un x, donde Mx dice «x es corroborable en cuanto a su existencia». Esto es, ¬Mx queda como característica inherente de x. Por consiguiente, no podría saberse si Ωx es verdadera pues se asume que ↔UΩxMx donde UA dice «A se sabe verdadera». Así, cuando Ωx, queda para la x sugerida que ¬UΩx y también que ¬UΠx. Asimismo, si se abrevia ω≡∀x↔Ωx↔ΠxΩx, entonces ¬Uω. Puede simbolizarse lo anterior como sigue:

1. →MxBΩx en principio, donde Br dice «r es verdadera».
2. ↔Ωx¬Mx definición de Ωx, la existencia de un x dado.
3. Ωx premisa 1.
4. ¬Mx se deduce de la definición.
5. VBΩx¬BΩx se deduce del principio en 1.
6. VBω¬Bω se deduce de 5. y expresa lo mismo que ¬Uω.

Hasta el momento ω ha mostrado ser tan cierta como útil para fundar las grandes teorías científicas. Sin embargo, presenta limitaciones, particularmente que no necesariamente . Pueden sugerirse variables simbolizando objetos tales que ↔Ωx¬Mx y jamás podría averiguarse su existencia. Eso ocurre con algunas religiones donde x toma el lugar de sus dioses, pero también toma el lugar de las partículas [subatómicas] mientras no interactuen con alguna otra partícula. Despúes de todo, si no es posible hacerlas interactuar tampoco es posible medirlas (para medir se requiere de hacer interactuar a la partícula medida con la medidora) y así tampoco resulta posible determinar su existencia tal que no se hallen interactuando.

Es el caso que, o bien existen las partículas sin interactuar (lo cual puede resultar intuitivamente creíble), o bien no existen las partículas sin interactuar y todas dependen unas de las otras para existir interactuando (lo cual también puede resultar intuitivamente creíble). Sin embargo, considerar esto último conlleva algunas contradicciones: interacciones superlumínicas (que rebasan la velocidad de la luz –y que en principio, según la Teoría de la Relatividad no pueden presentarse–), agujeros negros donde una partícula deja de existir no obstante el resto del Universo (o al menos otra partícula con la cual se hallaría entrelazada) sigue existiendo, entre otras semejantes. Aún así, como ↔Ωx¬Mx, no es posible saber si una u otra de las opciones intuitivas son ciertas, o si existe otra inesperada, y esto lleva a que en la realidad física (aquella que sí se ha logrado medir y que puede medirse) ω no tenga validez plena, aún cuando se ha puesto toda la confianza en ella desde la fundación de la Física hecha por Newton al establecer sus leyes del movimiento. Y si ω no es plenamente válida, mucho menos se puede esperar que ∀xΠxΩx lo sea. La manera cartesiana en la frase «Pienso, luego existo», o bien, «Lo pienso, luego existe» es indecidible.

16 de Marzo de 2014