Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 9 de agosto de 2014

SER RACIONAL


«Manos dibujándose», de M. C. Escher.


«Manos dibujándose» persigue la recurrencia, así como gran parte de la obra de Escher. Y, como él bien concluye, existe un absurdo lógico implicado con dicha cuestión. En el caso de «Manos dibujándose», el absurdo es evidente: no hay una mano de origen.

La resolución lógica de los absurdos –las paradojas– consiste en admitir que se está anteponiendo una idea como verdadera o como falsa (la falsedad es la veracidad de «lo que no es verdadero»), cuando en realidad no tiene sentido tal imposición.

En «Manos dibujándose», la idea antepuesta para construir la paradoja es que “debe existir necesariamente una primera mano”. Admitir esa idea de previamente implica el hallazgo ineludible del absurdo en «Manos dibujándose», porque en la imagen no hay una primera mano. De haberla, la siguiente no dibujaría a la primera, sin embargo lo hace.

Otra forma de observar la paradoja –esta forma es menos común– yace en la siguiente idea antepuesta: no existe una primera mano. Si esto se cumple (siendo lo contrario a la primera idea, es decir, considerando que la primera idea es falsa), implica que ambas son la última mano, lo cual es incoherente: así como con los números, el antecesor y el sucesor no pueden ser iguales; una mano debe ser la primera y la otra, en consecuencia, la última.

Se resuelve la paradoja que representa Escher con «Manos dibujándose» de la siguiente forma:

Prescindiendo del concepto de «orden».

Es decir, el absurdo se resuelve haciendo que las palabras «primero» y «último» no cobren sentido alguno. Si el «orden» carece de significado, no cabe preguntar cuál es la primera y cuál la última mano. ¿Cómo es posible quitarle significado al «orden»? ¿Cómo es que dicho concepto podría no representar nada?

Suponiendo que “somos” una de las manos, al dibujar la siguiente tendríamos que dibujar, a la vez, nuestra propia imagen, porque la mano que nos sucede está dibujándonos según «Manos dibujándose». Pero nosotros ya estamos dibujados. De lo contrario, no podríamos estar dibujando a la mano siguiente. Entonces la mano que nos sucede ya está dibujada (porque ya estamos dibujados) y, finalmente, no queda más dibujo por hacer. En otras palabras, «Manos dibujándose» ya estaba dibujado y no es necesario dibujar nada antes ni nada después de ninguna de las manos. Así, ambas manos fueron dibujadas al mismo tiempo por Escher, y el «orden» en el dibujo carece de significado: es la expresión «al mismo tiempo» lo que expresa la carencia de «orden».

En general, como ya se ha mencionado, la recurrencia genera absurdos. En general, como se ha mostrado, las paradojas se resuelven al prescindir de una idea que en principio parece razonable, pero que en realidad no lo es. Eso muestra Escher con su obra pictórica.


«Cinta de Möbius con hormigas rojas», de M. C. Esher.

Como otro ejemplo, la imagen anterior plantea una paradoja: las hormigas no pueden salir del pequeño universo que la cinta de Möbius constituye. ¿Qué origen tiene aquel universo? No hay principio ni fin. Si tuviera algún comienzo, dado que se trata de una cinta de Möbius, también debe de ser el final, pero eso es contradictorio: el principio va antes del final y no pueden ser lo mismo a la vez.

Sin embargo, si nuevamente se prescinde del concepto de «orden», el absurdo desaparece: así como en el conjunto cuyo único número es el 1, no existe ni primer ni último elemento, igualmente las hormigas se encuentran caminando sobre una única superficie. El universo de las hormigas no tiene anverso ni reverso; sólo tiene una cara.

Quizá ello ocurre con nuestro Universo, el Cosmos, que intentando buscar su origen y su final nunca los encontramos. Quizá hablar del origen del Cosmos es tan falso como hablar de su final y, entonces, en realidad no tiene sentido siquiera preguntarlo porque la pregunta no debería representar nada.

La recurrencia suele asociarse directamente a las paradojas. Es claro: al intentar que exista un «orden» donde no lo hay, donde ello no tiene sentido, se generan las paradojas (porque hablar o pensar con mentiras tarde o temprano lleva a mentiras, según refiere el teorema fundamental de la Lógica).

Por decir, al intentar obtener todos los números naturales se presenta una idea repetitiva, recurrente: siempre hay un número sucediendo a algún número natural. Si se pregunta cuál es el último número natural, no hay respuesta. Decir que un número dado es el último de todos es falso. Decir que, consiguientemente, el siguiente a ese número es el último también es falso. Buscar el final en la lista de los números naturales simplemente no tiene sentido y en realidad no debería cobrar significado alguno dicha cuestión. Siendo racionales, la pregunta «¿Cuál es el último número natural?» debería resultar incomprensible al ser escuchada, tanto como cualquier pregunta absurda, por ejemplo, tanto como «¿Qué comerás ayer?»

No obstante, las palabras tienen significado pleno, independientemente de la pregunta. De ahí que incluso las preguntas absurdas resulten en cierta medida comprensibles. Ya Gödel nos ha mostrado tal situación con su teorema de incompletitud, que dice (con palabras cotidianas)

«Existen saberes verdaderos que jamás podremos acceder.»

En la pregunta «¿Qué comerás ayer?», cada palabra es perfectamente comprensible, y con cierta imaginación toda ella también tiene un significado accesible a cualquiera. Sin embargo, la respuesta es inaccesible: de haberla, implicaría un absurdo. No obstante, según el mismo Gödel y su teorema de suficiencia, «Todas las preguntas tienen respuesta.»

La pregunta «¿Qué comerás ayer?» tiene respuesta, pero es inaccesible a nosotros, los seres racionales. Es inalcanzable dicho saber porque la respuesta a la pregunta no es ni verdadera ni falsa: simplemente no tiene sentido. Cualquier cosa que se conteste es válida: pescado, pollo, cerdo, espinacas, manzanas, etc. Sin embargo, ninguna de ellas es ni verdadera ni falsa, porque preguntar por el futuro en el pasado no tiene significado real alguno, aunque sus palabras sí lo tengan (aun teniendo significado la pregunta misma, con cierta imaginación).

Ha sido resaltada la palabra «real». Porque, al final de cuentas, nuestras nociones de veracidad o falsedad provienen de lo que nos rodea, lo que asumimos como real. Jamás hemos visto que los días futuros sean igualmente días pasados y por ello la pregunta «Qué comerás ayer» es absurda. Tampoco se ha visto que exista algo que se cree a sí mismo, como ocurre con las «Manos dibujándose», y por ello es posible asumir que esa imagen fue la obra de Escher y no de las manos mismas. Ni tampoco se ha visto que la sucesión de números naturales se detenga en alguno de ellos, por lo cual la pregunta «¿Cuál es el último número natural» también carece de sentido, y por ello confiamos que los axiomas de Peano son ciertos. La realidad, lo que podemos sentir, medir, vivir, ver, es la base de la razón, de nuestra cordura.

De tal forma es difícil pensar que existan propiedades imposibles de ser medidas, y que, no obstante, sepamos demasiado sobre ellas. Es absurdo pensar que sepamos lo que ocurre al interior de la caja de Schrödinger (el ser vivo en su interior es irrelevante) cuando ni siquiera la hemos abierto, no obstante existe una aceptación casi unánime sobre los conocimientos místicos que refieren una simultánea condición de vida y muerte. Tanto la vida como la muerte son posibles, pero no simultáneamente: eso es absurdo. Sólo contamos con la posibilidad (jamás certeza) de que alguna de las dos ocurra. Esa posibilidad sí es simultánea, pero ninguna de las dos condiciones ocurrirá a la vez que la otra ya abierta la caja. Preguntarnos sobre lo que ocurre al interior de la caja no tiene sentido, y es tan absurdo como preguntar «¿Qué comerás ayer?»

Igualmente es difícil pensar que sepamos lo que ocurre con los electrones o los fotones cuando no son detectados, y más difícil es pensar que podemos saber especulativamente lo que ocurre donde ni siquiera hemos medido interacción alguna entre partículas que se ha dado a bien llamar “entrelazadas”. Sólo podemos saber que existe una ley respetando el principio de Pauli entre electrones, no importando las distancias, pero es imposible saber qué ocurre previamente: es imposible saber si hay o no información “superlumínica”, porque saberlo lleva a contradicciones evidentes como las planteadas por Einstein. Porque preguntarnos qué ocurre cuando no detectamos una partícula es tan absurdo como preguntarnos «¿Cuál es el último número natural?»

Y se ha mencionado que «hablar o pensar con mentiras tarde o temprano lleva a mentiras». Por ello se insiste siempre en la evidencia: medir, siempre medir. Y quizá pecando en el exceso, «Una imagen vale más que mil palabras», más que mil razonamientos absurdos. Y si es imposible medir, entonces habremos de callar para no errar en lo que podría ni siquiera tener algún significado coherente.

Nadie siente el color rojo como yo lo siento, porque no son yo, sino ellos. O quizá lo sientan como yo lo siento, rojo, pero no son yo y no les evoca lo mismo. Porque sentir es medir con la vida, es real la soledad en el Cosmos: nadie puede sentir como yo siento lo que siento. No obstante, existe alguna pequeña confianza en que algún Escher hizo el universo en el que estamos, que somos hormigas idénticas y que, finalmente, quizá los demás sienten como yo y no lo puedo saber porque eso es un conocimiento inaccesible para mí, alguien que ocasionalmente intenta ser racional.

9 de Agosto de 2014

[Esta entrada participa en la XI Edición del Carnaval de Humanidades alojado por @ScientiaJMLN en el blog SCIENTIA]

 

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