HIPÓTESIS: EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Pitágoras, en cuya escuela surgió

el teorema que lleva su nombre.

ACOTACIONES

A partir de la siguiente figura,

arbitraria en cuanto a sus dimensiones, apenas representativa, se demostrará verdadera la

Hipótesis. Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa –lado frente al ángulo recto (de 90°)– es igual a la suma de los cuadrados de los catetos –los lados restantes–.

Expresado con símbolos de acuerdo a la figura, se tiene como hipótesis

MN²=NQ²+MQ², para ΔMNQ,

NQ²=NP²+PQ², para ΔNPQ, y

MQ²=MP²+PQ², para ΔMPQ,

porque los triángulos citados son rectángulos. Siendo sus dimensiones arbitrarias, la demostración será válida para todos los triángulos rectángulos, como la hipótesis enuncia. Se subraya a los segmentos de recta para expresar que se está calculando de acuerdo a su longitud.

Asimismo, se cuenta con la

Tesis. Los ángulos ∡MQP y ∡MNQ son iguales;

también los ángulos ∡NQP y ∡PMQ lo son.

Esto porque, según la figura, para el triángulo ΔMNQ, ∡MQP+∡NQP=90°. Luego, para ΔNPQ, ∡MNQ+∡NQP+∡NPQ=180° porque la suma de los ángulos internos de un triángulo suman siempre 180°. No obstante, ∡NPQ=90°, pues ΔNPQ es un triángulo rectángulo. Entonces, ∡MNQ+∡NQP+90°=180°, o bien, ∡MNQ+∡NQP=90°.

De todo ello,

 ∡MQP+∡NQP-(∡MNQ+∡NQP)=90°-(∡MNQ+∡NQP)=90°-90°=0°

y reduciendo términos semejantes, queda ∡MQP-∡MNQ=0°, es decir, ∡MQP=∡MNQ, que es finalmente la observación hecha por la tesis. Con argumentos similares es posible deducir ∡NQP=∡PMQ.

Para simplificar la expresión de los ángulos, será en adelante ∡MQP=∡MNQ=α.

DEMOSTRACIÓN

1. MN²=NQ²+MQ², considerando que la hipótesis sea verdadera.

2. (MP+NP)²=NQ²+MQ², porque el segmento MN es igual a la suma de sus partes, MP y NP.

3. MP²+2·MP·NP+NP²=NQ²+MQ², desarrollando el binomio cuadrado.

4. MP²+2·MP·NP+NP²=(NP²+PQ²)+(MP²+PQ²), porque siendo verdadera la hipótesis, NQ² y MQ² son expresados en términos de la suma de sus partes.

5. MP·NP=PQ², reduciendo términos semejantes.

6. MP/PQ=PQ/NP, válido por la expresión anterior.

Como, de acuerdo con la tesis, MP/PQ=tan(α) para ΔMPQ, y PQ/NP=tan(α) para ΔMPQ,

7. tan(α)=tan(α), lo cual es realmente verdadero.

Así, obteniendo una expresión realmente verdadera partiendo de que la hipótesis era verdadera, debe ser esta última correcta.

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20 de Octubre de 2014

LA FÓRMULA DE HERÓN

Sean a, b, c las medidas de los lados del triángulo Δabc. A su vez, α, β, γ son los valores de los ángulos opuestos a cada lado, respectivamente. Una vez caracterizado el triángulo, es posible desarrollar la demostración de la fórmula que Herón propone para calcular el valor del área de un triángulo en función de las medidas de sus lados:

A=B·h/2 donde A es el valor del área del triángulo en cuestión; B es la medida de la base del triángulo y h la medida de la altura.

Considerando que la medida de la base es B=b, el valor de la altura se deduce h=a·sen(γ). Por lo tanto, la demostración es como sigue:

A=a·b·sen(γ)/2 tiene validez en virtud de las inferencias hechas.

c²=a²+b²-2a·b·[1-sen²(γ)]^1/2 brinda el valor de c según la ley de cosenos.

sen(γ)={1-[(a²+b²-c²)/(2·a·b)]²}^1/2 da el valor de sen(γ) por lo anterior.

A=a·b·{1-[(a²+b²-c²)/(2·a·b)]²}^1/2/2 el valor del área en función de los lados.

A pesar de tener el valor del área del triángulo en función de las medidas de sus lados, no se tiene la fórmula deducida por Herón, en términos del semiperímetro del triángulo. Para ello se continúa la deducción:

A={4·a²·b²-(a²+b²-c²)²}^1/2/4 simplificando la suma en la raíz cuadrada.

A={(2·a·b+a²+b²-c²)·(2·a·b-a²-b²+c²)}^1/2/4 factorizando la diferencia de cuadrados.

A={[(a+b)²-c²]·[c²-(a-b)²]}^1/2/4 factorizando los binomios cuadrados.

A=[(a+b+c)·(a+b-c)·(c+a-b)·(c-a+b)]^1/2/4 factorizando las diferencias de cuadrados.

....

A=[(a+b+c)/2·(a+b-c)/2·(c+a-b)/2·(c-a+b)/2]^1/2 por ser equivalente.

S=(a+b+c)/2 S es el valor del semiperímetro.

A=[S·(S-c)·(S-b)·(S-a)]^1/2 dada la premisa anterior.

Y finalmente, se obtiene la fórmula de Herón, A=[S·(S-a)·(S-b)·(S-c)]^1/2, que es una forma simple para el cálculo del área en función de las medidas de los lados de un triángulo.

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5 de Enero de 2013