Pitágoras,
en cuya escuela surgió
el
teorema que lleva su nombre.
ACOTACIONES
A
partir de la siguiente figura,
arbitraria
en cuanto a sus dimensiones, apenas representativa, se demostrará
verdadera la
Hipótesis.
Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa –lado frente al ángulo recto (de 90°)–
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos –los lados
restantes–.
Expresado
con símbolos de acuerdo a la figura, se tiene como hipótesis
MN2=NQ2+MQ2,
para ΔMNQ,
NQ2=NP2+PQ2,
para ΔNPQ, y
MQ2=MP2+PQ2,
para ΔMPQ,
porque
los triángulos citados son rectángulos. Siendo sus
dimensiones arbitrarias, la demostración será válida
para todos los triángulos rectángulos, como la
hipótesis enuncia. Se subraya a los segmentos de recta para
expresar que se está calculando de acuerdo a su longitud.
Asimismo,
se cuenta con la
Tesis.
Los ángulos ∡MQP y ∡MNQ son iguales;
también
los ángulos ∡NQP y ∡PMQ lo son.
Esto
porque, según la figura, para el triángulo ΔMNQ,
∡MQP+∡NQP=90°. Luego, para ΔNPQ,
∡MNQ+∡NQP+∡NPQ=180° porque la suma de los ángulos
internos de un triángulo suman siempre 180°. No
obstante, ∡NPQ=90°, pues ΔNPQ es un triángulo
rectángulo. Entonces, ∡MNQ+∡NQP+90°=180°, o
bien, ∡MNQ+∡NQP=90°.
De
todo ello,
∡MQP+∡NQP-(∡MNQ+∡NQP)=90°-(∡MNQ+∡NQP)=90°-90°=0°
y reduciendo términos semejantes, queda ∡MQP-∡MNQ=0°,
es decir, ∡MQP=∡MNQ, que es finalmente la observación
hecha por la tesis. Con argumentos similares es posible deducir
∡NQP=∡PMQ.
Para
simplificar la expresión de los ángulos, será en
adelante ∡MQP=∡MNQ=α.
DEMOSTRACIÓN
1.
MN2=NQ2+MQ2,
considerando que la hipótesis sea verdadera.
2.
(MP+NP)2=NQ2+MQ2,
porque el segmento MN
es igual a la suma de sus partes, MP
y NP.
3.
MP2+2·MP·NP+NP2=NQ2+MQ2,
desarrollando el binomio cuadrado.
4.
MP2+2·MP·NP+NP2=(NP2+PQ2)+(MP2+PQ2),
porque siendo verdadera la hipótesis, NQ2
y MQ2 son expresados en términos
de la suma de sus partes.
5.
MP·NP=PQ2,
reduciendo términos semejantes.
6.
MP/PQ=PQ/NP,
válido por la expresión anterior.
Como,
de acuerdo con la tesis, MP/PQ=tan(α)
para ΔMPQ, y PQ/NP=tan(α)
para ΔMPQ,
7.
tan(α)=tan(α), lo cual es realmente verdadero.
Así,
obteniendo una expresión realmente verdadera partiendo de que
la hipótesis era verdadera, debe ser esta última
correcta.
∎
20
de Octubre de 2014