LA FÓRMULA DE HERÓN

Sean a, b, c las medidas de los lados del triángulo Δabc. A su vez, α, β, γ son los valores de los ángulos opuestos a cada lado, respectivamente. Una vez caracterizado el triángulo, es posible desarrollar la demostración de la fórmula que Herón propone para calcular el valor del área de un triángulo en función de las medidas de sus lados:

A=B·h/2 donde A es el valor del área del triángulo en cuestión; B es la medida de la base del triángulo y h la medida de la altura.

Considerando que la medida de la base es B=b, el valor de la altura se deduce h=a·sen(γ). Por lo tanto, la demostración es como sigue:

A=a·b·sen(γ)/2 tiene validez en virtud de las inferencias hechas.

c²=a²+b²-2a·b·[1-sen²(γ)]^1/2 brinda el valor de c según la ley de cosenos.

sen(γ)={1-[(a²+b²-c²)/(2·a·b)]²}^1/2 da el valor de sen(γ) por lo anterior.

A=a·b·{1-[(a²+b²-c²)/(2·a·b)]²}^1/2/2 el valor del área en función de los lados.

A pesar de tener el valor del área del triángulo en función de las medidas de sus lados, no se tiene la fórmula deducida por Herón, en términos del semiperímetro del triángulo. Para ello se continúa la deducción:

A={4·a²·b²-(a²+b²-c²)²}^1/2/4 simplificando la suma en la raíz cuadrada.

A={(2·a·b+a²+b²-c²)·(2·a·b-a²-b²+c²)}^1/2/4 factorizando la diferencia de cuadrados.

A={[(a+b)²-c²]·[c²-(a-b)²]}^1/2/4 factorizando los binomios cuadrados.

A=[(a+b+c)·(a+b-c)·(c+a-b)·(c-a+b)]^1/2/4 factorizando las diferencias de cuadrados.

....

A=[(a+b+c)/2·(a+b-c)/2·(c+a-b)/2·(c-a+b)/2]^1/2 por ser equivalente.

S=(a+b+c)/2 S es el valor del semiperímetro.

A=[S·(S-c)·(S-b)·(S-a)]^1/2 dada la premisa anterior.

Y finalmente, se obtiene la fórmula de Herón, A=[S·(S-a)·(S-b)·(S-c)]^1/2, que es una forma simple para el cálculo del área en función de las medidas de los lados de un triángulo.

∎

5 de Enero de 2013

LA DEFINICIÓN DE DEFINICIÓN

Los sistemas formales incompletos son aquellos en los cuales pueden plantearse teoremas cuya veracidad o falsedad es indemostrable. Con este antecedente, se analiza al esquema de definición, una sentencia que permite satisfacer o refutar si una sentencia dada es o no una definición. La cuestión principal es ¿el esquema de definición es o no una definición? Al final se demuestra que ni una, ni otra son posibles de deducirse verdaderas o falsas, por lo cual quedan indecidibles. Así, siguiendo el esquema de definición (planteado por primera vez y de manera intuitiva por Aristóteles) o su contraria junto con cualquier sistema formal consistente, se obtienen sistemas formales consistentes e incompletos. Esto último es una forma parcial del teorema de Gödel.

Como nota preliminar a la presente deducción, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc.

Inicialmente, se propone la sentencia que representa al esquema de definición como sigue:

∀iP↔ΞPDiΛExPΞP=iQ¬IiQ donde Ξij dice i es idéntico a j, Di dice i es definición, Exi dice i es expresión (formal, simbólica), =ij dice i equivale a j (= es el relator diádico básico) y Iij dice i es término de j.

De la sentencia anterior se observa el planteamiento que Aristóteles propuso para las definiciones, tal que 1) la definición es una expresión válida en su retórica (o es una expresión formal), 2) la definición representa la equivalencia conceptual entre una palabra y su valor, un grupo de palabras que detalle a la primera (o tiene un término i equivalente a otro Q, =iQ) y 3) no puede incluir en sus términos a la palabra por definirse (o hay un término i que no lo es de Q, ¬IiQ). Es fácil deducir si una expresión es o no una sentencia, pues sólo basta darle legibilidad, o bien basta con seguir el algoritmo pertinente para ello, mismo que es conocido de manera fundamental. Cabe decirse que del esquema se deduce a Q como una expresión del tipo Rx₁x₂...x_n, pues para el relator = es la única manera en que puede considerársele de forma que el esquema de definición resulte ser una sentencia. Asimismo, también se deduce que ¬=ix_j. Entonces el esquema puede transformarse en una sentencia distinta de éste, pero necesaria para la validez del mismo:

∀iP↔ΞPDiΛExPΞP=iRx₁x₂...x_n¬=ix₁¬=ix₂...¬=ix_n

Es con el relator R que se puede decir con toda claridad que la sentencia anterior es realmente un esquema y no un axioma como tal. Sin embargo, al esquema puede dársele la forma necesaria para sugerirlo axioma y que se generen los sistemas formales mencionados al comienzo de esta exposición. Con esto se supondrá que existe un término d llamado definición y que se orientará para ser definido, o bien, se tratará de hallar la definición de definición que significa directamente en hallar la veracidad o falsedad del esquema de definición, pues es posible interpretarlo como a través de sí mismo. Así que se siguen las siguientes premisas:

ΛΞ=dRx₁x₂...x_nP_d¬=ix₁¬=ix₂...¬=ix_n la definición d no es termino de su igual.

ExP_d P_d se comprueba que es una expresión.

Y dado el esquema de definición, se deduce que:

ΞP_dDd P_d es la definición de la definición.

∀P_d→ΛΞ=dRx₁x₂...x_nP_d¬=ix₁¬=ix₂...¬=ix_nΞP_dDd la generalización de lo anterior.

Esta sentencia es la transformación final del esquema de definición, y se observa la indecidibilidad de éste por lo siguiente:

ΛΞ=d'Rx₁x₂...x_nP_dZ¬=ix₁¬=ix₂...¬=ix_n generando la sentencia Z.

ΞZDd' por la transformación final.

E inductivamente se pueden obtener sentencias Z y términos d. No obstante, si se detiene el proceso de obtención de sentencias Z, resulta que el término d correspondiente generado por la existencia de la última de las Z no se presenta y, por consiguiente, no se pueden determinar las valoraciones dado un modelo aplicado a las sentencias Z. Más aún, si se trata de obtener a “todas” las sentencias Z, queda indecidible el hecho de que cada una de ellas sea verdadera (pues se trata de una verificación por modelo “infinita”). Entonces, dado que la indecidibilidad se ha obtenido únicamente partiendo del esquema de definición, éste queda igualmente indecidible. También se puede observar el mismo procedimiento si se efectúa con su contraria y las contrarias de las sentencias Z generadas. La indecidibilidad del esquema se confirma. Por lo tanto, al generar sistemas formales con el esquema de definición o su contraria y sentencias formales consistentes, se obtienen sistemas formales incompletos, pero necesariamente consistentes. Esto implica el siguiente:

Teorema: Existen sistemas formales consistentes e incompletos.

La situación que se observa es una muestra parcial del teorema de Gödel, donde se deduce que todos los sistemas formales consistentes son necesariamente incompletos.

4 de Enero de 2013