CIENTIFICIDAD
DE LA MATEMÁTICA
La
Lógica pura está determinada por medio de definiciones
elementales, básicas, que permiten desarrollar un estudio de
las inferencias, o bien, de los esquemas de razonamiento. Este
estudio se halla formalizado con simbología biunívoca a
los conceptos utilizados para razonar. No era exagerada la
denominación que da George Boole a la Lógica pura como
el estudio de las Leyes del pensamiento [Laws of thought]. La
Lógica pura, la que sólo se invoca para referirse a las
inferencias, es corta. Lo mismo ocurre con el resto de la Ciencia. La
Biología queda corta si no se liga con la Lógica, la
Física y la Química quedan cortas si no se ligan entre
sí, etc.
La
Lógica formal y pura permite establecer un principio de
cientificidad susceptible de la razón, o sea, formalizado. La
Ciencia en sí misma es una. La Ciencia se dedica al
entendimiento de la naturaleza por medio de investigaciones, pero es
con esta formalización que se gana algo más
trascendental: no sólo queda el saber por saber sino el
saber con motivo, con objetivo. Ningún estudio ha
aportado tanto al saber científico como la Lógica pura
lo hace por medio del principio de cientificidad formalizado (PC).
Ocurre que la Lógica pura no depende del principio de
cientificidad para su fundamentación. Es un estudio
filosófico, desligado de la evidencia, dependiente de la
intuición, el sentido común.
La
nobleza de todos los estudios hace que la Lógica deje su
pureza para admitir el principio de cientificidad. De esta manera
pasa a compartir un puesto junto con todos los estudios que son
formalizables. La Ciencia sin Lógica otorga resultados
interesantes derivados de la investigación sin motivo, pero
con Lógica, la Ciencia gana formalidad y es posible teorizar.
Así existen escuelas para cada estudio formalizado
de la Ciencia. Cada fenómeno puede adquirir modelos y
valoraciones por medio de la Lógica (según como ésta
los define).
Todos
los estudios formalizados tienen en su definición al tipo de
fenómeno bajo estudio y la forma de acceder a él.
Física: estudio de los fenómenos corporales por
medio de sus interacciónes, Química: estudio de
los fenómenos corporales por medio de sus combinaciones,
Lingüística: estudio de los fenómenos de la
comunicación considerando sus aspectos físicos,
fisiológicos y psíquicos, etc. Al fenómeno se
accede por su naturaleza; al principio del fenómeno (dado el
PC) se accede por la Lógica pura y de allí es posible
teorizar entorno a él.
Existe
un tipo de fenómeno que, dada su naturaleza, es confundido con
aquello que trata la Lógica. Se trata de los fenómenos
inductivos. Estos fenómenos se derivan de la observación
de patrones, lo que intuitivamente entendemos por repeticiones. A
diferencia de la Lógica pura, que viene directamente de la
intuición, la Matemática tiene bases
evidenciales y, como todos los estudios científicos
formalizados, tiene su fundamento teórico, la base que le
permite elaborar deducciones, según el PC.
Un
tipo de fenómeno inductivo es el siguiente: al agregar algo,
la totalidad se ve incrementada y sólo se ve disminuída
al retirar algo de ella. La Matemática estudia fenómenos
de esta categoría. La evidencia experimental de los fenómenos
inductivos se halla en las convenciones que se tengan sobre ellos y
que convenzan a cualquiera. Cualquier persona que entiende el
fenómeno mencionado puede mostrar un esquema que
convencionalmente se asume para representar al hecho en cuestión.
Del ejemplo, se podría proponer el siguiente esquema: xxxx,
como la totalidad, x como lo agregado, xxxxx como el
incremento de la totalidad y xxxx como la disminución
de la totalidad al retirar lo agregado.
Convencionalmente
se tiene este tipo de esquemas que son la evidencia requerida para
validar un principio partiendo de un fenómeno inductivo, según
dice el PC que se requiere para cualquier estudio. Quizá el
matemático tradicional no perciba su ámbito de esta
forma, sin embargo en esto se hallan la mayoría de los
problemas que la Matemática sufre actualmente. Siempre se ha
tenido este tipo de fenómenos y el matemático
normalmente teoriza para demostrar su veracidad. Por ejemplo, la
conjetura de Goldbach es evidencialmente correcta, está
formalizada y parece consistente con el resto de los principios
matemáticos. No obstante, parte de la comunidad matemática
se empeña en demostrar la conjetura por medios exclusivamente
teóricos.
Demostrar
los fenómenos inductivos con el sólo hecho teorizar
equivale a tratar de demostrar el principio de relatividad, en
Física, partiendo de teorías previas a él, por
ejemplo, Mecánica clásica. El matemático
obsecado normalmente rechaza como una situación relevante a la
evidencia, pero es crucial que se tenga ésta, con esquemas
convencionales como el mostrado. Por ello es que la hipótesis
del continuo no encuentra solución: no hay esquema
convencional que represente algo por el estilo y que a prueba de toda
duda razonable conveza a cualquiera.
La
Matemática puede tomar un rumbo más claro si se asume
su definición como se ha esbozado y como será
presentada a continuación.
EL
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
La
Matemática se propone definida como sigue:
Estudio
relativo a los fenómenos inductivos a través de
esquemas convencionales.
Con
esta aclaración sobre lo que es la Matemática, es
posible entender la veracidad de los resultados que a la fecha han
sido demostrados a prueba de toda duda razonable y será
posible hallar resultados inesperados.
Se
había mencionado que ligar a los estudios de la Ciencia hace
más constructivo su trabajo. La Matemática se puede
ligar a la Lógica pura, a la Física, a la Química,
etc. En todos estos ámbitos (aún cuando la Lógica
pura es intuitiva) hay fenómenos inductivos. Los esquemas
convencionales son los experimentos que se efectúan, ya sean
experimentos verificables o únicamente propuestos, ficticios.
La Lógica pura va aportar a la Matemática la mayor
parte de su formalidad. Luego la Matemática le aporta a ésta
la mayor parte de sus resultados más sofisicados.
La
estructura crucial de razonamiento para la Matemática es el
principio de inducción matemática. Se observará
con un ejemplo en qué consiste tal principio. Se retoma el
ejemplo de los agregados a las totalidades: x se asume como
una totalidad, x es la misma totalidad que la anterior, se
agrega x a las totalidades, xx queda en ambos casos; se
tiene una totalidad del tipo xxx...xx, la misma totalidad
xxx...xx se asume aparte, a ambas se les agrega x,
xxx...xxx queda en ambos casos como la misma totalidad. Como
para las mismas totalidades, sean cuales sean, queda siempre de
agregar lo mismo una misma totalidad, entonces una totalidad queda
definida por lo que se agregue.
El
resultado obtenido del fenómeno se sigue del hecho de haber
considerado el análisis evidencial que aporta el esquema
convencional. Se ha especificado en qué consiste una
totalidad, agregar y el esquema debido. No obstante, el resultado no
es obvio sino por un razonamiento. El razonamiento empleado fue el
siguiente: se tiene el caso más particular del fenómeno,
es decir, aquel inmediatamente derivado de su determinación, y
el resultado que aporta; luego se tiene un caso ampliado y arbitrario
del fenómeno junto con el resultado que aporta. Cuando el
resultado es el mismo para ambos casos, se puede generalizar el
resultado a todos los fenómenos determinados de la misma
forma. Este esquema de razonamiento es el principio de inducción
matemática (PI).
Nuevamente,
quizá el matemático tradicional no observe el principio
de la misma forma en que aquí se propone. No obstante, la
evidencia señala que es posible utilizarlo para los fenómenos
inductivos. Debe dejarse de asumir que los fenómenos
inductivos tienen una definición. Esto equivale a darle
una definición a la comunicación en Lingüística
o las fenómenos corporales en la Física y la
Química. Más aún, sería como definir a
los conjuntos. Se tiene que los fenómenos inductivos
sólo pueden ser accedidos (a saberse) por medio de esquemas
convencionales que se ha visto validan la utilización del PI.
En adelante, todos los resultados matemáticos lógicamente
generalizados deben ser presentados en alguna modalidad del
principio.
FORMALIZACIÓN
Se
había dicho que la Lógica permite formalizar a la
Matemática. Esto se logra al formalizar los fenómenos
según el PC. Una vez formalizados los fenómenos, es
fácil teorizar entorno a ellos con la manipulación de
símbolos por medio de los axiomas de la Lógica y
ciertas reglas de inferencia.
Ya
se había formalizado el fenómeno de los agregados y las
totalidades al emplear estos términos para referirse a ellos y
luego se obtuvo un resultado. Con cierto rigor se puede únicamente
acudir a letras o figuras para representar estos términos sin
retomar lo que necesariamente se sabe significan. Por ejemplo, se
puede determinar el fenómeno empleado por medio de uno o
varios axiomas. Esto quedaría como sigue:
Axioma
I. Existe aquel equivalente a la ligadura de otros. Formalmente:
∀ij∃k=kBij
donde Bij dice la ligadura dados i y j.
Con este axioma se
observa que si, por ejemplo, =ixxxx y =jxxx,
entonces existe =kBxxxx xxx, o sea =kxxxxxxx.
Se omiten las palabras agregado y totalidad porque se
puede prescindir de ellas dada la formalización. Por ello
conviene el PC la utilización de la lógica de primer
orden que permite el entendimiento racional y preciso de un fenómeno,
a la vez que se obtiene un nivel expresivo suficiente para el mismo
(aunque insuficiente al emplear una lengua ordinaria como el Español
o el Inglés).
La modalidad de
formalidad lógica que aquí se expone es la que evita
emplear paréntesis. Es por ello que un conector lógico
queda al comienzo de una expresión, que una relación
como = se coloca al comienzo de dos variables y no entre éstas
y que los cuantificadores afectan a todas las variables al frente de
ellos, además de que se evita también el uso de comas
entre variables en una relación. En adelante se empleará
esta modalidad para toda demostración con lógica de
primer orden.
Se puede proceder como
sigue para demostrar formalmente lo obtenido:
Teorema I. Existe aquel
equivalente a la ligadura de uno consigo mismo. Demostración:
=ij premisa
∀i∃k=kBii por
el axioma I.
Con este resultado se
procede con una deducción según el PI:
=ix premisa.
Aquí x es una constante.
∃j=jBii por
el teorema I.
∀k→=kBii=kj porque
Bii es constante (en virtud del funtor) y j lo es (por
la igualdad).
∃jn+1=jn+1Bijn donde
jn es una constante obtenida de sucesivos
pasos con =jBii como el inicial.
∀k→Λ=ix=kBijn=kjn+1 porque
Bijn es una constante según lo
anterior.
Se ha demostrado
formalmente el resultado obtenido anteriormente por la evidencia. Así
queda con mucha mayor precisión la expresión toda
totalidad queda determinada por sus agregados. Esta frase debería
ser dividida en dos como lo hace la demostración para decir
que la totalidad x es constante y luego que toda totalidad
resultado de ligar otras totalidades también es constante.
El PI se ha manifestado
al presentar el caso Bii como el que inmediatamente surge del
fenómeno (formalizado) y luego al exponer el caso arbitrario
con jn. La ventaja observada en la
demostración formal para el PI es la posibilidad de
introducción del cuantificador generalizador en el
razonamiento sin que esto sea sucedido esencialmente por la regla de
inferencia de introducción del generalizador del cálculo
deductivo de primer orden.
Una vez establecida la
forma de teorizar con la Matemática, se procederá a la
observación de las teorías que la representan.
ORDEN
El orden es una
situación lo suficientemente conocida en tantos ámbitos
de la Matemática que en realidad es una parte fundamental de
ella. El esquema convencional que se propone muestra lo que se
entiende por orden: x xx xxx xxxx xxxxx
exhibe que x se halla a la izquierda de xx, que xxx
está a un lado de xxxx y de xx, y que xxxxx
está a la derecha de xxxx. Estas ideas básicas
constituyen un primer paso para la obtención de un orden, es
decir, para poder ubicar a cualquiera de los objetos que conforman el
esquema.
La formalización
del orden es la siguiente:
Axioma
1. O está a la diestra de otro, o el otro a la diestra del
primero. Formalmente:
∀xy¬↔RxyRyx
donde Rxy dice x
está a la diestra de y.
En
este caso estar a la diestra es equivalente a estar detrás
o previamente o ser menor que. Esto no tiene
importancia: todos estos conceptos son válidos. Lo mismo
ocurre cuando se trata de la siniestra. Esto quiere decir que,
por ejemplo, de xx y xxxx sólo se puede decir
que xxxx se halla a la derecha de xx pero no al
contrario.
Axioma
2. Está a la siniestra sólo si no está a la
diestra. Formalmente:
∀xy↔¬RxySxy
donde Sxy
dice x está a la
siniestra de y.
Análogamente
al axioma anterior, de x y xxx, si se sabe que x
está a la izquierda de xxx, entonces no es posible
cambiar la palabra izquierda por la palabra derecha y que la
expresión quede correcta.
Axioma
3. Está lateral a otro sólo si el otro el lateral
al primero. Formalmente:
∀xy↔LxyLyx
donde Lxy dice x
es lateral a y.
Así
es posible expresar que xx se halla a un lado de xxx y
de igual forma que xxx se halla a un lado de xx.
Axioma
4. Si uno dado está a la diestra de otro, entonces si uno
distinto de los anteriores es lateral al primero se tiene que éste
se halla a la siniestra. Formalmente:
∀xy↔→ΛLxyRxy→LxzSxzΛ¬=zy¬=xz¬=xy
donde se reconoce el relator =
de los lenguajes formales.
Por ejemplo, de xx,
xxx y xxxx, que son distintos, se puede decir que xxx
está a un lado y a la derecha de xx. Luego, se dice que
xxx está a un lado de xxxx, por lo tanto, xxx
está a la izquierda de xxxx.
Axioma
5. Si uno dado está a la siniestra de otro, entonces si
uno distinto de los anteriores es lateral al primero se tiene que
éste se halla a la diestra. Formalmente:
∀xy↔→ΛLxySxy→LxzRyzΛ¬=zy¬=xz¬=xy
Ocurre
como en el caso anterior con xx a la izquierda de xxx y
el resultado es xxxx a la derecha de xxx.
Axioma
6. Ninguno es lateral de sí mismo. Formalmente:
∀x¬Lxx
No
se observa que xx sea lateral de sí mismo (y en ningún
caso se observa esto).
Axioma
7. Alguno es lateral de otro. Formalmente:
∀x∃yLxy
Todos,
en efecto, están a lado de algún otro.
Axioma
8. Si uno dado es lateral a otro, entonces o está a la
diestra o a la siniestra. Formalmente:
∀xy→Lxy¬↔RxySxy
Con
xx se observa, por ejemplo, que xxx está a su
lado y a su derecha (si no fuera a la derecha, estaría a la
izquierda).
Como
se había mencionado, se pueden tener cualesquiera
equivalencias. Una de ellas puede ser arriba o encima,
abajo o debajo y adyacente. Si se utilizan los
relatores correspondientes a estos conceptos y se emplean los
esquemas aquí planteados y además se les juntan las
sentencias resultantes a los axiomas aquí propuestos, entonces
se puede establecer un esquema más completo. Incluso se puede
“diagonalizar” esta idea y obtener el esquema de un tablero de
ajedrez o algo parecido. No se pone en duda que esta adaptación
de axiomas se pueda llevar enésimas veces a cabo y se obtiene
una estructura n – dimensional y ordenada. El esquema
resultante sería un tablero con casillas en movimiento.
Es
importante señalar que si la teorización se había
dicho era insuficiente para establecer resultados matemáticos,
también es cierto que esta misma puede simplificar los hechos
que proceden de fenómenos inductivos. Para el orden, existe el
fenómeno inductivo y la formalización, luego se pueden
obtener resultados cuyos esquemas convencionales son ciertamente
inaccesibles (como las casillas en movimiento).
En
una situación así, es válido omitir el esquema
para la obtención de teoremas de veracidad razonable; lo que
no se admite en Matemática es la obtención de
resultados a partir de sentencias lógicas que formalizan
aquello que no tiene esquemas convencionales, es decir, cuya
referencia a un fenómeno inductivo no exista (como la
hipótesis del continuo basada en la infinitud que no
tiene, a saberse, esquema convencional asociado).
ARITMÉTICA
Ya se ha expuesto una
formalización de la aritmética con la disposición
de los agregados y las totalidades. Es un axioma simple que, unido
con el orden por medio de una sentencia o varias sentencias
adecuadas, permite establecer la teoría de números.
Entonces número es la entidad presente en los fenómenos
inductivos y estudiada por medio de los axiomas de orden, el axioma
de la aritmética (axioma I) y la sentencia o sentencias
mencionadas. Las totalidades, según esto, son un caso especial
de números. Con esto se dice también que el Cálculo
es el estudio del número.
Como en el caso del
orden, se pueden formular equivalencias de modelo para el axioma
formulado de la aritmética, es decir, se pueden establecer
totalidades de totalidades formadas por agregados (modelo de la
multiplicación), totalidades de totalidades formadas por
totalidades formadas por agregados (modelo de potenciación),
etc. Entonces, es posible obtener una “súperestructura”
aritmética ordenada n – dimensional. Uno de los
modelos más importantes es el que dice Bij la
separación dados i y j, lo que vulgarmente se conoce como
sustracción. Otro de los modelos reconocidos es Bij la
ligadura (o separación) imaginaria dados i y j,
o dicho diferente, la suma (o sustracción) de números
imaginarios. Las formalizaciones en Matemática pueden abarcar
distintas formas del mismo fenómeno inductivo.
Para completar al
Cálculo, es necesario establecer la sentencia faltante entre
el orden y la aritmética:
Axioma II. Aquel
equivalente a la ligadura de otros está a la diestra de estos.
Formalmente:
∀ijk↔ΛRkiRkj=kBij
Los axiomas I, II y la
teoría del orden observan por convención un mismo
modelo. Por ejemplo, el modelo donde Bij dice la ligadura
dados i y j y Rki dice k está a la diestra de i
es uno admitido. Otra convención es el modelo donde Bij
dice la separación dados i y j y Rki dice k
está a la siniestra de i. Obsérvese que en este
caso, Sxy quedaría entonces como x está a la
diestra de y. Al tener estructuras n – dimensionales se
pueden intercambiar modelos, un caso particular es el modelo donde
B1ij dice la ligadura dados i y j,
R1ki dice k está a la
siniestra de i, B2ij
dice el producto dados i
y j y R1ki
dice k está a la
diestra de i. Para los
relatores con subíndices idénticos se siguen los
axiomas y modelos correspondientes en forma única, y para los
subíndices distintos se pueden agregar premisas como
∀ijk↔ΛR1kiR1kj=kB2ij
que
son consistentes con lo que comúnmente se conoce como producto
de números negativos.
El cálculo y sus modelos permiten efectivamente entender a los
números (desde el cálculo variacional hasta las más
simples adiciones y sustracciones).
Al
añadir premisas correspondientes a los modelos se trata de
ramas particulares de la Matemática directamente relacionadas
con el Cálculo. Algunas de estas son la Probabilidad (con la
premisa para toda t, t
tiene a la siniestra una constante 0 y a la diestra una constante 1),
el Álgebra elemental (con ciertas premisas del tipo producto
de números negativos)
y la Aritmética euclidiana (con premisas referentes a la
divisibilidad de los números – adaptada según el
producto –).
REGIONES
Las teorías de
conjuntos han sido analizadas por muchos años y suponen el
nivel de desarrollo matemático más elevado. Esto tiene
una razón muy interesante: se han expuesto las teorías
que al momento se conocen en orden cronológico, es decir,
aritmética, orden y regiones (considerando que primero se
mostró la formalización de la aritmética). Esta
cronología se basa en la forma intuitiva en que nos percatamos
de los fenómenos inductivos, o sea, normalmente es más
fácil percatarse de la adición y sustracción de
cosas, luego de su prioridad y finalmente de su delimitación.
Por ejemplo, la gente
comienza contando el dinero, se sigue asignando valor al mismo y a
las cosas que permite comprar, y finalmente se delimitan las clases
sociales respecto a él. Es en ese sentido que la Matemática
evolucionó: se crea la teoría de números
naturales, se amplía ésta con el orden que otorga la
teoría de números reales y finalmente se culmina con el
hallazgo de las estructuras algebraicas y la Topología, todo
esto a grandes rasgos. No es de extrañarse que los conjuntos
sean difíciles de tratar si se consideran las relaciones que
deben tener con la aritmética y el orden, además de no
ser tan evidente su manifestación esquemática.
Por fortuna, la
formalización de las regiones es simple y compatible con los
fenómenos inductivos esquematizados con las x.
Prosiguiendo con el esquema del fenómeno de las regiones, se
tiene: xxxxxx exhibe que x se halla dentro de xx,
que aaa se encuentra fuera de xx, y que xxxx
está en contacto con xxxxxx (no lateral, sino que
podría encimarse xxxx con xxxxxx, o sea, estaría
en contacto). Como con la aritmética y el orden, se puede
tener una formalización como a continuación:
Axioma
A. Si está dentro de otra, entonces no está fuera
de esta última. Formalmente:
∀ij→Dij¬Fij
donde Dij
dice i está dentro
de j y Fij
dice i está fuera
de j.
Así
xxx que está dentro de xxxxx, implica que xxxxx
no esté fuera de xxx (porque xxx no basta para
cubrir todo xxxxx).
Axioma
B. Si está fuera de otra, entonces ninguna está
dentro de la otra. Formalmente:
∀ij→FijΛ¬Dij¬Dji
Según
esto, aaa está fuera de xxx (porque las a
son distintas de las x), por lo tanto aaa no está
dentro de xxx y viceversa (mejor dicho, no se pueden encubrir
entre sí).
Axioma
C. Está fuera de otra sólo si ésta se halla
fuera de la primera. Formalmente:
∀ij↔FijFji
Un ejemplo es aaaa
que está fuera de xxx, y viceversa (porque son
distintas entre sí).
Axioma
D. Si está dentro de
otra, entonces ésta no se halla dentro de la primera.
Formalmente:
∀ij→Dij¬Dji
Con esto, xxxx
se halla dentro de xxxxxx y por consiguiente xxxxxx no
está dentro de (no cubre a)
xxxx.
Axioma
E. Si está dentro de
otra, entonces se halla en contacto con la otra. Formalmente:
∀ij→DijKij
donde Kij
dice i está
en contacto con j.
Entonces, xx
está dentro de xxxx y se puede encimar xx en
xxxx.
Axioma
F. Están en contacto sólo
si éste es mútuo. Formalmente:
∀ij↔KijKji
Del anterior, xxxx
se puede encimar en xx.
Un
esquema convencional puede ser más apropiado en un caso y en
otro no. El fenómeno de las regiones se puede acceder con
mayor facilidad si se emplean manchas coloreadas o figuras con otras
figuras en ellas, etc. Por ejemplo, de ©,
c está dentro de O, de c y O, c está fuera de O, y de
Æ, A y E están en contacto (por supuesto, c y O también
lo están en ©).
La Matemática no se restringe al esquema que emplea las x.
Las
regiones son una forma de expresar lo que se entiende por conjuntos;
los modelos de estos axiomas pueden adaptarse como Dij
i pertenece a j,
Fij i
es exterior a j y Kij
i es vecino a j
y en general pueden formarse, como en los otros casos, modelos
equivalentes. La sentencia necesaria para complementar esta teoría
con las ya mencionadas queda como:
Axioma
III. Si uno es el
resultado de otros que se ligan, entonces los tres están
dentro del mismo. Formalmente:
∀pqr→=rBpq∃sΛDpsDqsDrs
Es
claro que asumir la premisa =ix
con x una
constante implica que s
del axioma sea única. Con esta última proposición
y la axiomática que precede se logran establecer las bases
incipientes de la Matemática conocida. Cabe decirse que las
teorías de conjuntos no poseen un éxito indiscutible
porque no logran aclarar o ser compatibles con lo que intuitivamente
se conoce como conjunto.
Partiendo
de este axioma (III) se puede deducir la extensionalidad con la
premisa =ix,
el axioma de pares con otras dos constantes, la unión, la
intersección, y se omiten conceptos como el conjunto vacío
y la infinitud (que entorpecen el saber matemático), todo
provisto en la teoría de Zermelo – Fraenkel – Skolem. En
particular, la infinitud se garantiza con la formalización de
la aritmética pero diferenciándola con exactitud, es
decir, haciéndola inductiva
y no ciertamente infinita.
Resultados como las cortaduras de Dedekind, uno de tantos, pueden
hablar de un orden inductivo, susceptible del PI, que es
intuitivamente más accesible (ciertamente esquematizable) que
un orden dados ciertos “conjuntos infinitos”.
RELEVANCIA DE LOS
FENÓMENOS INDUCTIVOS
Conceptos
tan intrigantes, importantes y discutibles como el cero
pueden hallarse con la axiomática de la aritmética, el
orden y las regiones al tomar la premisa =i0
con 0 una
constante. La funciones pueden observarse de la implementación
de modelos apropiados para el Cálculo. El cálculo
variacional se obtiene con la definición (o premisa) del
límite. Las teorías de estructuras algebraicas se
pueden determinar con las regiones, y el Cálculo. Incluso la
Geometría puede analizarse partiendo de los axiomas aquí
presentes en el instante en que se tiene el Álgebra y la
definición de las distintos lugares geométricos.
Se habla de una
Matemática establecida en un aspecto más fuerte que la
intuición, el PC. Asimismo, el PI queda como esquema de
razonamiento crucial por excelencia. La Física y la Química,
estudios cercanos a la Matemática, se enriquecen en su
formalización porque la mayoría de sus fenómenos
son inductivos (sobre todo las mediciones). Se dijo que la Lógica
gana resultados muy enriquecidos por la Matemática, esto si se
trata de la obra numérica y recursiva desarrollada por Kurt
Gödel.
No se propone con los
axiomas I, II, III, los de orden y los de regiones, una Matemática
demostrable consistente, sino una Matemática con una
formalización basada en la experimentación y la
evidencia. No es de extrañarse que la Matemática
siempre muestre señales de consistencia en sí: al
basarse sobre los mismos fenómenos, todo lo relativo a estos
debería ser coherente, a pesar de que esto sea indemostrable
en su formalización.
Si el PC garantiza un
alto grado de certeza, de credibilidad, es necesario admitir que la
Matemática se rija (y se haya ido rigiendo desde milenios
antes) por él.
31 de Enero de 2012
