INDECIDIBILIDAD DE LA CONJETURA DE GOLDBACH (ESBOZO)

El siguiente es un esbozo sobre la demostración de la indecidibilidad de la conjetura de Goldbach (que no sea posible demostrarla ni cierta ni falsa).

Se conforma de tres etapas de razonamiento. La primera consiste en demostrar que los números primos no pueden calcularse inductivamente (no existe fórmula para calcularlos uno a uno de manera ordenada, con base en los números naturales).

La segunda etapa consiste en relacionar el resultado anterior con los requerimientos mínimos para que la conjetura de Goldbach sea demostrada.

La tercera etapa consiste en generalizar la indecidibilidad de la conjetura observada en la segunda etapa para todos los métodos de deducción potenciales.


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Primera etapa:

Obsérvese un caso matemático usual, por ejemplo, n(i+1)=n(i)+(i+1) con n(1)=1. Con este esquema de secuencia es posible calcular n(i)=½•i•(i+1), que es la fórmula de inducción correspondiente. Esto es, que n(i) puede calcularse con una fórmula en función únicamente de i.

Si los números primos se calculan de manera suficiente (sin necesidad de otras definiciones) a partir de la criba de Eratóstenes, la determinación de n(i+1) que representa al primo i+1 depende no sólo de n(i) y una función j(i), sino también de n(i-1), n(i-2), etc. hasta n(1)=2.

Como sea un requisito fundamental para la inducción que n(i+1) sólo dependa de n(i) y una función j(i), queda demostrado que no es posible inducir los números primos, o sea, que no hay fórmula que permita calcularlos a partir sólo de su posición en el listado de primos.


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Segunda etapa:

Demostrar la conjetura de Goldbach requiere de demostrar que existe una paridad (relación biunívoca) forzosa entre al menos algún primo desde 2 hasta n y algún primo desde n hasta 2•n-1.

Esto porque todos los pares 2•n mayores a 2, son susceptibles de descomponerse en la suma de dos números, el primero entre 1 y n, y el segundo entre n y 2•n-1. Dado que para la conjetura de Goldbach sólo son relevantes los casos de pares de sumandos primos, basta para demostrarla con saber que existe siempre al menos un par de primos, uno desde 2 hasta n y otro desde n hasta 2•n-1, que coinciden haciendo en suma el número 2•n.

Para establecer dicha coincidencia se debe hallar una fórmula (si existe) para calcular los primos entre 2 y n, y otra fórmula para hallar los primos entre n y 2•n-1. Esas fórmulas, para obtener una generalización, deben basarse en la posición que representan en el listado de los primos desde 2 hasta n, y desde n hasta 2•n-1.

Esas posiciones se relacionan en una función que permita el cálculo de los pares de primos coincidentes, tales que permitan calcular, sumados, un número par.

La cuestión es que los números primos no son inducibles en forma general (casos particulares son los polinomios que calculan primos) y por ello no es posible establecer un teorema sobre las condiciones que debe cumplir el par de primos respecto a la suma 2•n.

Entonces, por esta forma de análisis del problema, la conjetura de Goldbach resultaría indecidible, es decir, que la conjetura no es demostrable por medios matemáticos ni cierta ni falsa.

Y esto es así porque en la ausencia de una regla que relacione a los primos en cuestión con 2•n no es posible asegurar si siempre habrá primos que sean sus sumandos o no.


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Tercera etapa:

La indecidibilidad es una propiedad que debe mantenerse para todos los métodos matemáticos, y no sólo para la propuesta de la etapa anterior.

Si no fuera así, se deducirían absurdos: que por unos métodos la conjetura sea, por decir, verdadera y por otros métodos indecidible. Debe quedar en todos los casos indecidible.

Así, sólo basta pensar que la Matemática es coherente en sí misma (aunque no pueda demostrarse matemáticamente) para deducir que la conjetura de Goldbach es indecidible para cualquier propuesta de razonamiento.


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Nota: Esta demostración es válida siempre y cuando las reglas parciales de inducción para los primos no puedan relacionarse "en cadena" tal que terminen formando una regla general.

Sin embargo, eso es improbable: si la conjetura es así indecidible, también resulta indecidible saber si existen reglas parciales que en conjunto formen una regla general.

30 de Julio de 2016

SER RACIONAL

«Manos dibujándose», de M. C. Escher.

«Manos dibujándose» persigue la recurrencia, así como gran parte de la obra de Escher. Y, como él bien concluye, existe un absurdo lógico implicado con dicha cuestión. En el caso de «Manos dibujándose», el absurdo es evidente: no hay una mano de origen.

La resolución lógica de los absurdos –las paradojas– consiste en admitir que se está anteponiendo una idea como verdadera o como falsa (la falsedad es la veracidad de «lo que no es verdadero»), cuando en realidad no tiene sentido tal imposición.

En «Manos dibujándose», la idea antepuesta para construir la paradoja es que “debe existir necesariamente una primera mano”. Admitir esa idea de previamente implica el hallazgo ineludible del absurdo en «Manos dibujándose», porque en la imagen no hay una primera mano. De haberla, la siguiente no dibujaría a la primera, sin embargo lo hace.

Otra forma de observar la paradoja –esta forma es menos común– yace en la siguiente idea antepuesta: no existe una primera mano. Si esto se cumple (siendo lo contrario a la primera idea, es decir, considerando que la primera idea es falsa), implica que ambas son la última mano, lo cual es incoherente: así como con los números, el antecesor y el sucesor no pueden ser iguales; una mano debe ser la primera y la otra, en consecuencia, la última.

Se resuelve la paradoja que representa Escher con «Manos dibujándose» de la siguiente forma:

Prescindiendo del concepto de «orden».

Es decir, el absurdo se resuelve haciendo que las palabras «primero» y «último» no cobren sentido alguno. Si el «orden» carece de significado, no cabe preguntar cuál es la primera y cuál la última mano. ¿Cómo es posible quitarle significado al «orden»? ¿Cómo es que dicho concepto podría no representar nada?

Suponiendo que “somos” una de las manos, al dibujar la siguiente tendríamos que dibujar, a la vez, nuestra propia imagen, porque la mano que nos sucede está dibujándonos según «Manos dibujándose». Pero nosotros ya estamos dibujados. De lo contrario, no podríamos estar dibujando a la mano siguiente. Entonces la mano que nos sucede ya está dibujada (porque ya estamos dibujados) y, finalmente, no queda más dibujo por hacer. En otras palabras, «Manos dibujándose» ya estaba dibujado y no es necesario dibujar nada antes ni nada después de ninguna de las manos. Así, ambas manos fueron dibujadas al mismo tiempo por Escher, y el «orden» en el dibujo carece de significado: es la expresión «al mismo tiempo» lo que expresa la carencia de «orden».

En general, como ya se ha mencionado, la recurrencia genera absurdos. En general, como se ha mostrado, las paradojas se resuelven al prescindir de una idea que en principio parece razonable, pero que en realidad no lo es. Eso muestra Escher con su obra pictórica.

«Cinta de Möbius con hormigas rojas», de M. C. Esher.

Como otro ejemplo, la imagen anterior plantea una paradoja: las hormigas no pueden salir del pequeño universo que la cinta de Möbius constituye. ¿Qué origen tiene aquel universo? No hay principio ni fin. Si tuviera algún comienzo, dado que se trata de una cinta de Möbius, también debe de ser el final, pero eso es contradictorio: el principio va antes del final y no pueden ser lo mismo a la vez.

Sin embargo, si nuevamente se prescinde del concepto de «orden», el absurdo desaparece: así como en el conjunto cuyo único número es el 1, no existe ni primer ni último elemento, igualmente las hormigas se encuentran caminando sobre una única superficie. El universo de las hormigas no tiene anverso ni reverso; sólo tiene una cara.

Quizá ello ocurre con nuestro Universo, el Cosmos, que intentando buscar su origen y su final nunca los encontramos. Quizá hablar del origen del Cosmos es tan falso como hablar de su final y, entonces, en realidad no tiene sentido siquiera preguntarlo porque la pregunta no debería representar nada.

La recurrencia suele asociarse directamente a las paradojas. Es claro: al intentar que exista un «orden» donde no lo hay, donde ello no tiene sentido, se generan las paradojas (porque hablar o pensar con mentiras tarde o temprano lleva a mentiras, según refiere el teorema fundamental de la Lógica).

Por decir, al intentar obtener todos los números naturales se presenta una idea repetitiva, recurrente: siempre hay un número sucediendo a algún número natural. Si se pregunta cuál es el último número natural, no hay respuesta. Decir que un número dado es el último de todos es falso. Decir que, consiguientemente, el siguiente a ese número es el último también es falso. Buscar el final en la lista de los números naturales simplemente no tiene sentido y en realidad no debería cobrar significado alguno dicha cuestión. Siendo racionales, la pregunta «¿Cuál es el último número natural?» debería resultar incomprensible al ser escuchada, tanto como cualquier pregunta absurda, por ejemplo, tanto como «¿Qué comerás ayer?»

No obstante, las palabras tienen significado pleno, independientemente de la pregunta. De ahí que incluso las preguntas absurdas resulten en cierta medida comprensibles. Ya Gödel nos ha mostrado tal situación con su teorema de incompletitud, que dice (con palabras cotidianas)

«Existen saberes verdaderos que jamás podremos acceder.»

En la pregunta «¿Qué comerás ayer?», cada palabra es perfectamente comprensible, y con cierta imaginación toda ella también tiene un significado accesible a cualquiera. Sin embargo, la respuesta es inaccesible: de haberla, implicaría un absurdo. No obstante, según el mismo Gödel y su teorema de suficiencia, «Todas las preguntas tienen respuesta.»

La pregunta «¿Qué comerás ayer?» tiene respuesta, pero es inaccesible a nosotros, los seres racionales. Es inalcanzable dicho saber porque la respuesta a la pregunta no es ni verdadera ni falsa: simplemente no tiene sentido. Cualquier cosa que se conteste es válida: pescado, pollo, cerdo, espinacas, manzanas, etc. Sin embargo, ninguna de ellas es ni verdadera ni falsa, porque preguntar por el futuro en el pasado no tiene significado real alguno, aunque sus palabras sí lo tengan (aun teniendo significado la pregunta misma, con cierta imaginación).

Ha sido resaltada la palabra «real». Porque, al final de cuentas, nuestras nociones de veracidad o falsedad provienen de lo que nos rodea, lo que asumimos como real. Jamás hemos visto que los días futuros sean igualmente días pasados y por ello la pregunta «Qué comerás ayer» es absurda. Tampoco se ha visto que exista algo que se cree a sí mismo, como ocurre con las «Manos dibujándose», y por ello es posible asumir que esa imagen fue la obra de Escher y no de las manos mismas. Ni tampoco se ha visto que la sucesión de números naturales se detenga en alguno de ellos, por lo cual la pregunta «¿Cuál es el último número natural» también carece de sentido, y por ello confiamos que los axiomas de Peano son ciertos. La realidad, lo que podemos sentir, medir, vivir, ver, es la base de la razón, de nuestra cordura.

De tal forma es difícil pensar que existan propiedades imposibles de ser medidas, y que, no obstante, sepamos demasiado sobre ellas. Es absurdo pensar que sepamos lo que ocurre al interior de la caja de Schrödinger (el ser vivo en su interior es irrelevante) cuando ni siquiera la hemos abierto, no obstante existe una aceptación casi unánime sobre los conocimientos místicos que refieren una simultánea condición de vida y muerte. Tanto la vida como la muerte son posibles, pero no simultáneamente: eso es absurdo. Sólo contamos con la posibilidad (jamás certeza) de que alguna de las dos ocurra. Esa posibilidad sí es simultánea, pero ninguna de las dos condiciones ocurrirá a la vez que la otra ya abierta la caja. Preguntarnos sobre lo que ocurre al interior de la caja no tiene sentido, y es tan absurdo como preguntar «¿Qué comerás ayer?»

Igualmente es difícil pensar que sepamos lo que ocurre con los electrones o los fotones cuando no son detectados, y más difícil es pensar que podemos saber especulativamente lo que ocurre donde ni siquiera hemos medido interacción alguna entre partículas que se ha dado a bien llamar “entrelazadas”. Sólo podemos saber que existe una ley respetando el principio de Pauli entre electrones, no importando las distancias, pero es imposible saber qué ocurre previamente: es imposible saber si hay o no información “superlumínica”, porque saberlo lleva a contradicciones evidentes como las planteadas por Einstein. Porque preguntarnos qué ocurre cuando no detectamos una partícula es tan absurdo como preguntarnos «¿Cuál es el último número natural?»

Y se ha mencionado que «hablar o pensar con mentiras tarde o temprano lleva a mentiras». Por ello se insiste siempre en la evidencia: medir, siempre medir. Y quizá pecando en el exceso, «Una imagen vale más que mil palabras», más que mil razonamientos absurdos. Y si es imposible medir, entonces habremos de callar para no errar en lo que podría ni siquiera tener algún significado coherente.

Nadie siente el color rojo como yo lo siento, porque no son yo, sino ellos. O quizá lo sientan como yo lo siento, rojo, pero no son yo y no les evoca lo mismo. Porque sentir es medir con la vida, es real la soledad en el Cosmos: nadie puede sentir como yo siento lo que siento. No obstante, existe alguna pequeña confianza en que algún Escher hizo el universo en el que estamos, que somos hormigas idénticas y que, finalmente, quizá los demás sienten como yo y no lo puedo saber porque eso es un conocimiento inaccesible para mí, alguien que ocasionalmente intenta ser racional.

9 de Agosto de 2014

[Esta entrada participa en la XI Edición del Carnaval de Humanidades alojado por @ScientiaJMLN en el blog SCIENTIA]

 

SOBRE LA INDECIDIBILIDAD DEL PROBLEMA ONTOLÓGICO

De Alfredo Salvador C. García 

Ciudad de México

 René Descartes: «Pienso, entonces existo.»

«Si fueran ciegos, no tendrían pecado.

Pero ustedes dicen: “Vemos”,

y ésa es la prueba de su pecado.»

Juan 9,41

Se plantea la definición ∀x↔ΠxΩx donde Πx dice «x puede existir» y Ωx dice «x existe». No se confunda al cuantificador ∃ con el relator Ω: el cuantificador ∃ expresa cantidad y es conveniente referirlo como «algún».

Entonces la existencia de x queda definida mientras x pueda existir. La definición puede tomar la forma ∀xΛ→ΠxΩx→ΩxΠx. Por consiguiente, para que la definición sea deducida verdadera bastaría con probar que tanto →ΠxΩx como →ΩxΠx son verdaderas. Se observará inicialmente que →ΩxΠx es veradera según la intuición: si un x existe, por decir, una hoja de papel, o una letra, o un libro, o una idea, etc., entonces claramente ese x puede existir. Ahora, si un x puede existir pero se desconoce que existe, ¿ese x existe? ¿Puede saberse verdadero que una hoja de papel existe sólo por el hecho de que su existencia sea posible?

La veracidad de Πx se prueba confirmando la existencia de x pues ello implica intuitivamente que Πx según →ΩxΠx. Si se desea ir en sentido inverso, que Πx sea en principio verdadera, es cuestionable que Ωx sea verdadera pues no se contaría con evidencia para asumir que Πx fuere verdadera. ¿Hay forma de probar la veracidad de Πx sin probar la veracidad de Ωx?

Por el momento sólo se sabe que ∀x↔Ωx↔ΠxΩx, y en esas circunstancias sólo de ΛΩxΠx se deduce Ωx, lo cual también ya se sabe. Supóngase que →NΠx, donde N es una sentencia que incluye variables aparte de x. Asimismo se tiene que →ΛΩy_iΠx, donde Ωy_i≡Ωy₁Ωy₂Ωy₃... Ωy_n con una n dada y ΛΩy_i es verdadera porque se ha observado el cumplimiento de cada Ωy_j (Ωy₁, Ωy₂, Ωy₃, etc.) Entonces Πx sería verdadera mientras cada Ωy_j fuese verdadera. Para asegurar que ∀x↔ΠxΩx sea cierta es necesario solamente probar que ¬=xy_j (que no sea igual x con ninguna y_j).

Por ejemplo, cuando J. Maxwell plantea su teoría electromagnética obtiene una sentencia N que hace referencia a la velocidad de la luz como valor de velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas, es decir, se tiene una Ωy_j componente de la Ωy_i, por decir, Ωy₁ donde y₁ era cualquier onda electromagnética, o bien, en general, =onda electromagnética y_j. Aparte, →NΠx con =luz x, pues si N hace referencia a la velocidad de la luz, la luz puede existir. Sin embargo, sería demasiado extraño que la luz pudiese existir pero que no existiese ésta –independientemente de la evidencia obvia sobre la existencia de la luz–. Y en efecto, =xy_j, o sea, la luz es una onda electromagnética. Por lo tanto, el caso de la teoría electromagnética de Maxwell aporta evidencia para admitir verdadera a la sentencia ∀x↔Ωx↔ΠxΩx y no a la sentencia ∀x↔ΠxΩx.

A la fecha no se cuenta con ninguna teoría que lleve a ∀x↔ΠxΩx, pues se basan todas aquellas comprobadas verdaderas (hasta el momento verdaderas) en la prueba de →ΩxΠx y no en el sentido inverso. De hecho, las teorías que por lo general admiten →ΠxΩx llevan junto con →ΩxΠx a que ΛΠx¬Πx –lo cual es absurdo– porque al realizar observaciones resulta que ¬Ωx. Por ejemplo, se se parte de las transformaciones de Galileo, se tiene que →ΠxΩx siendo =coordenadas de tiempo únicas x; luego se deduce Ωx, pero al realizar observaciones se infiere en realidad que ¬Ωx (las coordenadas de tiempo no son las mismas para marcos de referencia a velocidades distintas) y por ello ΛΠx¬Πx, que, por una parte, las coordenadas de tiempo son iguales para todos los observadores en el Universo y que, por otra parte, no lo son pues aquello simultáneo para un observador no lo es para otro (según lo expresa A. Einstein).

Sin embargo, esto no significa que ∀x↔Ωx↔ΠxΩx sea indudablemente cierta: supóngase que ↔Ωx¬Mx para un x, donde Mx dice «x es corroborable en cuanto a su existencia». Esto es, ¬Mx queda como característica inherente de x. Por consiguiente, no podría saberse si Ωx es verdadera pues se asume que ↔UΩxMx donde UA dice «A se sabe verdadera». Así, cuando Ωx, queda para la x sugerida que ¬UΩx y también que ¬UΠx. Asimismo, si se abrevia ω≡∀x↔Ωx↔ΠxΩx, entonces ¬Uω. Puede simbolizarse lo anterior como sigue:

1. →MxBΩx en principio, donde Br dice «r es verdadera».

2. ↔Ωx¬Mx definición de Ωx, la existencia de un x dado.

3. Ωx premisa 1.

4. ¬Mx se deduce de la definición.

5. VBΩx¬BΩx se deduce del principio en 1.

6. VBω¬Bω se deduce de 5. y expresa lo mismo que ¬Uω.

Hasta el momento ω ha mostrado ser tan cierta como útil para fundar las grandes teorías científicas. Sin embargo, presenta limitaciones, particularmente que no necesariamente Bω. Pueden sugerirse variables simbolizando objetos tales que ↔Ωx¬Mx y jamás podría averiguarse su existencia. Eso ocurre con algunas religiones donde x toma el lugar de sus dioses, pero también toma el lugar de las partículas [subatómicas] mientras no interactuen con alguna otra partícula. Despúes de todo, si no es posible hacerlas interactuar tampoco es posible medirlas (para medir se requiere de hacer interactuar a la partícula medida con la medidora) y así tampoco resulta posible determinar su existencia tal que no se hallen interactuando.

Es el caso que, o bien existen las partículas sin interactuar (lo cual puede resultar intuitivamente creíble), o bien no existen las partículas sin interactuar y todas dependen unas de las otras para existir interactuando (lo cual también puede resultar intuitivamente creíble). Sin embargo, considerar esto último conlleva algunas contradicciones: interacciones superlumínicas (que rebasan la velocidad de la luz –y que en principio, según la Teoría de la Relatividad no pueden presentarse–), agujeros negros donde una partícula deja de existir no obstante el resto del Universo (o al menos otra partícula con la cual se hallaría entrelazada) sigue existiendo, entre otras semejantes. Aún así, como ↔Ωx¬Mx, no es posible saber si una u otra de las opciones intuitivas son ciertas, o si existe otra inesperada, y esto lleva a que en la realidad física (aquella que sí se ha logrado medir y que puede medirse) ω no tenga validez plena, aún cuando se ha puesto toda la confianza en ella desde la fundación de la Física hecha por Newton al establecer sus leyes del movimiento. Y si ω no es plenamente válida, mucho menos se puede esperar que ∀x↔ΠxΩx lo sea. La manera cartesiana en la frase «Pienso, luego existo», o bien, «Lo pienso, luego existe» es indecidible.

16 de Marzo de 2014

CIENCIA Y ARTE

La pequeña bailarina de catorce años (1881),

de Edgar Degas.

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La Ciencia emplea el método científico así:

1. Se tiene una hipótesis, es decir, se asume como verdadera (no de forma definitiva) una idea.

2. Se busca la evidencia (las mediciones corroborables por quienquiera que así lo desee) que determine el carácter verdadero o falso de la hipótesis. Esto es, que la evidencia empate con lo expresado en la hipótesis. Por ejemplo, si la hipótesis dice «1+1=3» y se tiene que «x x, xx», entonces esas dos «x» muestran que 1+1 no es 3.

3. Si la evidencia confirma el carácter verdadero de la hipótesis, entonces la hipótesis se convierte ante las personas en «ley» (porque ante la Naturaleza la hipótesis siempre fue verdadera; siempre fue ley).

4. De lo contrario, la hipótesis se guarda en el baúl de la experiencia como una idea falsa. Esto sirve para no considerarla nuevamente, a menos que sea para realizarle modificaciones tales que den lugar a una nueva hipótesis, así regresando al paso 1.

El método puede tener vertientes como la siguiente:

1. Se deduce a partir de una o varias leyes un teorema.

2. Se busca la evidencia que determine el carácter verdadero o falso del teorema que, por el momento, se considera hipótesis (es más probable que un teorema deducido a partir de leyes verificadas antes como verdaderas sea verdadero, que una hipótesis como sugerencia sin más fundamento que la intuición).

3. Si la evidencia confirma el carácter verdadero del teorema, entonces las leyes que permitieron deducirlo afianzan su carácter verdadero.

4. De lo contrario, alguna, o algunas, o todas, las leyes que permitieron deducir al teorema son falsas -realmente no son leyes-. Entonces se realizan modificaciones a las mismas (según el ingenio del científico que las realice) para concebir nuevas hipótesis que lleven al paso 1. de la primera vertiente del método científico.

Por supuesto, a través de los años y los siglos se han adquirido varias leyes. A la colección de leyes que en conjunto permiten explicar una parte dada de la realidad -lo que existe- se le llama «teoría».

Para describir toda la realidad se pretende que las teorías existentes puedan formar una sola colección que en conjunto explique lo que esté a su alcance, averiguando, además, qué falta por ser descrito (de entre lo experimentado, lo medido).

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El Arte sigue un método análogo:

1. Se tiene una hipótesis, es decir, se asume como verdadera (no de forma definitiva) una idea.

2. Se busca la evidencia (las observaciones corroborables por quienquiera que así lo desee) que determine el carácter verdadero o falso de la hipótesis. Esto es, que lo observado empate con lo expresado en la hipótesis. Por ejemplo, si la hipótesis dice «El amor es triste en todos los casos» y se tiene que alguien ignorante de la hipótesis está contento por ver a alguien a quien asegura amar, entonces el amor no es triste en todos lo casos.

3. Si la evidencia confirma el carácter verdadero de la hipótesis, entonces la hipótesis se convierte en parte de una «obra de Arte». Así, la evidencia es la obra de Arte. En «La última cena», la imagen es la evidencia que sustenta como verdadera la perspectiva de Da Vinci acerca de la última cena.

4. De lo contrario, la hipótesis se guarda en el baúl de la experiencia como una idea falsa. Esto sirve para no considerarla nuevamente, a menos que sea para realizarle modificaciones tales para concebir una nueva hipótesis regresando al paso 1. La presunta obra de Arte, la que no muestra más que falsedad, es destruida o corregida.

En la Ciencia, la verdad la llevan las leyes. En el Arte, la verdad la llevan las ideas expresadas en una obra de Arte. En la Ciencia, la verdad no la llevan los símbolos, letras o palabras empleados para expresar por escrito las leyes. La obra de Arte es el medio físico (colores, sabores, texturas, sonidos, fonemas y palabras, etc.) útil para obviar las ideas que se confirmen verdaderas a través de las observaciones que en ella misma se ofrecen. Se hace la obra de Arte para hallar la veracidad (o falsedad) de una idea, a la vez que la obra de Arte al ser realizada va expresando poco a poco -sí lo hace- la verdad buscada. Esto equivale a ir deduciendo poco a poco la veracidad de un teorema -que sin ser deducido como verdadero sigue siendo hipótesis- a partir de leyes científicas -asumidas previamente como verdaderas por alguna evidencia obtenida, dado el método científico-.

Por ejemplo, el «David» de Miguel Ángel evidencia desnudo al hombre. A partir de la observación de dicha desnudez se reconoce tal característica como intrínseca a nuestra humanidad, no importando raza ni religión -David es judío-, ni época -aún hoy es posible ver la desnudez de David-, ni cualesquiera otras circunstancias (como que la desnudez sea objeto de prohibición). Asimismo, Miguel Ángel hace notar otras características ocultas: hace patente su homosexualidad y la protege a través del desnudo de David. La homosexualidad de Miguel Ángel puede pasar como una hipótesis que él mismo confirma verdadera a través de su obra de Arte (¿por qué tendría que hacer Miguel Ángel la escultura tal cual la concibió -un David desnudo y atlético- si no es porque encuentra en ello algo atractivo? Hay quienes encuentran incluso en lo repugnante algo atractivo -como Degas lo manifestó en su grotesca bailarina de catorce años-).

La capacidad de ocultar verdades podría ser dada en Ciencia, sin embargo no resulta práctico: si se desea hallar la verdad, es necesario contar con las mediciones e hipótesis de otras personas; al ocultar la verdad se hace difícil que otros puedan confirmarlas con la prontitud esperada: en Ciencia el hallazgo de la verdad es primordial; mientras más pronto, mejor.

En contraste, el poder ocultar verdades a través del Arte es un hábito generalizado. Esto es, se exhiben verdades válidas para todos, medibles por todos; lo que no es medible por todos, el sentir personal, la experiencia individual, se exhibe de forma callada y detrás de la verdad que todos pueden ver en la obra de Arte. También se ocultan los tabúes o las ideas que son prohibidas por algún régimen fundamentalista; la idea verdadera y transgresora puede viajar a través de cualesquiera fronteras por medio de verdades universales que la amparan, como una incógnita inocente.

Nótese que en la obra de Arte la verdad es mostrada de la mano con la evidencia (la verdad en un relato, verbigracia, requiere del relato mismo). En Ciencia, la evidencia y las leyes yacen separadas (las leyes se expresan en papel y los experimentos se efectúan fuera del papel redactado).

El «método artístico» puede tener vertientes como la siguiente:

1. Se realizan obras de Arte a partir de las ideas que otras obras de Arte exhiben.

2. Se busca la imagen, el relato, el poema, el color, el sonido, lo que sea, que determine el carácter verdadero o falso de la idea por exhibir que, por el momento, se considera hipótesis.

3. Si la evidencia expuesta en la presunta nueva obra de Arte confirma el carácter verdadero de la idea que exhibe, entonces la obra de Arte afianza el carácter verdadero de las ideas obtenidas en las obras de Arte de partida.

4. De lo contrario, alguna, o algunas, o todas, las ideas que permitieron elaborar la presunta obra de Arte son falsas. Entonces se realizan modificaciones a las mismas (según el ingenio del artista) para concebir nuevas ideas que lleven al paso 1. de la primera vertiente.

Al basarse en otras obras de Arte se tiene el uso de una «corriente artística» de ideas consideradas verdaderas. También, como en Ciencia, a través de los años y los siglos se han elaborado varias obras de Arte, cuya colección permite explicar en conjunto las diferentes facetas de la realidad, distintas perspectivas y, sobre todo, aquello que convierte a todas las personas en iguales universalmente y aquello que nos distingue a unos de otros. Ese legado que abarca a todas las obras de Arte, análogo a las «teorías» unidas por actuar en conjunto para explicar la realidad, se conoce como «Cultura».

Para describir toda la realidad partiendo del Arte se busca que las obras de Arte existentes formen nuestra Cultura y muestren qué falta por ser descrito (de entre lo ya observado) o por observar (de entre lo ya imaginado).

1 de Febrero de 2014

[Esta entrada participa en la IX Edición del Carnaval de Humanidades alojado por @Diplotaxis en el blog Ciencia y alguna otra cosa]

PARA HALLAR CONTRADICCIONES (O MENTIRAS)

Sócrates, el padre de la búsqueda de la verdad.

***

Iterando se llega a Roma.

1. Lea o escuche atentamente.

2. Intente refutar lo leído o escuchado.

3. Si no lo logra, siga intentándolo.

4. Si lo logra, verifique que usted no se contradiga.

Cabe mencionarse que en ocasiones se miente inocentemente, por la ignorancia intrínseca del ser humano.

13 de Diciembre de 2013

  

[Esta entrada participa en la VIII Edición del Carnaval de Humanidades alojado por @MartaMachoS en el blog ZTFNews.org]

 

SOBRE LA NATURALEZA SUFICIENTE (COMPLETA) DE LOS SISTEMAS FORMALES DE RAZONAMIENTO

Kurt Gödel, El lógico.

Un sistema formal de razonamiento tiene ciertas características. Por sistema se entiende a una colección de objetos. Asimismo, el sistema es formal porque los objetos de la colección son símbolos, que pueden ser escritos en un solo caracter. Esto se emplea para razonar, para establecer deducciones donde unos símbolos lleven necesariamente a otros símbolos de acuerdo a unas reglas de deducción que determinen este hecho.

Como el título refiere, se reconocerá la naturaleza suficiente de estos sistemas, es decir, que basta con un sistema de este tipo para deducir todos los símbolos posibles de ser deducidos. También se puede nombrar a esa naturaleza suficiente como completa porque no haría falta ningún símbolo ni regla ajenos a estos sistemas para deducir todos los símbolos posibles de ser deducidos.

El hallazgo de esta naturaleza suficiente fue hecho por vez primera gracias a Kurt Gödel en su artículo «La suficiencia de los axiomas del cálculo lógico de primer orden» en el año 1930.

Aquí se toma un camino distinto al original de Gödel para llegar al mismo resultado. Primeramente se establecerán todos los símbolos que conformen a los sistemas formales de razonamiento. Luego, se detallarán las reglas de deducción para, finalmente, observar que una consecuencia del sistema formal de razonamiento es la suficiencia.

ESTABLECIMIENTO DE UN LENGUAJE LÓGICO

Sea un lenguaje lógico tal que cuente necesariamente con:

1. Variables (i, j, k, etc.). Hacen referencia a «cosas», aquello sujeto a un razonamiento. Por ejemplo, al referirse a los hijos de una mujer se tienen las variables hijo₁, hijo₂, hijo₃, etc. (hasta donde sean posibles o existentes) y mujer. Estas variables pueden abreviarse con letras: hijo₁=i, hijo₂=j, hijo₃=k, etc., y mujer=χ.

2. Constantes (a, b ,c, etc.). Hacen referencia a «cosas» fijas y sujetas a un razonamiento. Por ejemplo, María es una constante y se podría simbolizar como m.

No es necesario contar con las constantes para el lenguaje, pero es posible tenerlas presentes.

3. Cuantificador universal (∀). Hace referencia a la totalidad. Por ejemplo, cualquier hijo se escribe ∀i, siendo i la representación en forma de variable de los hijos. Se dice cualquier hijo, cualquier madre y se escribe ∀i∀j, o simplificando, ∀ij.

4. Relatores. Al menos uno que relacione pares de variables. Por ejemplo, Riχ, donde i y χ son las variables relacionadas por el relator R. Es posible que R sea el relator de la relación i es el hijo de χ.

5. Negador (¬). Muestra el complemento de una expresión. Por ejemplo, de la relación Rij mencionada, ¬Rij expresa la relación i no es hijo de j, que es la expresión complementaria a la primera.

Si se tiene una parte (como Rij), su complemento (¬Rij) es lo faltante, y no hay más. Por lo tanto, el complemento del complemento de una relación es necesariamente dicha relación (a Rij le falta ¬Rij; el complemento del complemento, ¬¬Rij, es aquello que le falta a ¬Rij, o sea Rij).

La negación ¬∀ expresa lo que no es la totalidad, o sea la parcialidad, cuando sólo se conoce la existencia de una parte. La negación ¬∀ se simboliza como ∃ y dice para algún, y se observa que no se refiere a la totalidad, sino a una parte. También ∃ es un cuantificador (cuantificador particular). Más adelante, al detallar las reglas de deducción lógica, se especificará la naturaleza de éste.

6. Implicador (→). Hace que una relación implique a otra. Por ejemplo, con la relación Rij mencionada, i es hijo de j, también se puede expresar que j es madre de i con la relación Sji. Entonces queda →RijSji, si i es hijo de j, entonces j es madre de i.

A partir del negador y el implicador se pueden abreviar y simbolizar algunas expresiones como el:

7. Conjuntor (Λ). Sean A y B expresiones con relatores (como Rij). Se tiene que →A¬B puede abreviarse como ΛAB.

Por ejemplo, con la relación Rij ya conocida y otra relación Qij diciendo i es hermano de j es posible establecer ¬→Rij¬Rkj, es decir, la negación (¬) de si (→) i es hijo de j (Rij), entonces k no es hijo de j (¬Rkj). Esta negación refiere a lo faltante de dicha condición, es decir donde no se tiene la condición. Si la condición está ausente para que ambos i y k sean hijos de j, simplemente se admite que ambos lo son, o sea tanto i es hijo de j como k es hijo de j, o ΛRijRkj.

También se puede expresar ΛRijRkj como i es hijo de j y k es hijo de j.

Así, la expresión →ΛRijRkjQik dice si (→) i es hijo de j y k es hijo de j (ΛRijRkj), entonces i es hermano de k (Qik).

8. Disyuntor (V). Sean A y B expresiones con relatores. Se tiene que →¬AB puede abreviarse como VAB.

Por ejemplo, con la relación Sij mencionada (i es madre de j) es posible establecer que →¬SijSik, es decir, si (→) i no es madre de j (¬Sij), entonces i es madre de k (Sik). Esto sólo especifica que en caso de que el hecho ¬Sij ocurra, será que necesariamente Sik también ocurra. Sin embargo, que no ocurra ¬Sij no implica necesariamente que el hecho Sik deje se ocurrir; sólo lo anterior ofrece garantía de validez lógica.

Entonces cuando Sik ocurre, tanto si ¬Sij ocurre o no, es decir, tanto si Sij o ¬Sij ocurren o no. Cuando ¬Sij no ocurre se sabe directamente que no ocurre Sik, o bien, que ¬Sik ocurre.

En resumen, cuando Sik ocurre pueden ocurrir ¬Sij o Sij. Si no ocurre ¬Sik es porque Sij ocurre (no ocurre ¬Sij). Puede ser que Sik y Sij ocurran juntos, o que uno ocurra y el otro no. Se dice, según esto último, que ocurre Sik o Sij (o ambos), o sea VSijSik (que i es madre de j, o i es madre de k, o i es madre tanto de j como de k).

9. Biyector (↔). Sean A y B expresiones con relatores. Se tiene que Λ→AB→BA puede abreviarse como ↔AB.

Con las relaciones ya conocidas, tanto →RijSji (si i es hijo de j, entonces j es madre de i) como →SjiRij (si j es madre de i, entonces i es hijo de j) ocurren. Esto se sabe puede expresarse como Λ→RijSji→SjiRij, o bien como ↔RijSji (que i es hijo de j si y sólo si j es madre de i).

Mientras todas las abreviaciones puedan expresarse en términos del implicador y el negador, se dirá que sólo basta con esos recursos para establecer el lenguaje. No obstante, las abreviaciones facilitan el empleo del mismo, simplificando expresiones que podrían quedar realmente largas. Cualquier definición a partir de las abreviaciones (como aquella empleada para el biyector) es válida, pues todas ellas se encuentran en términos del implicador o el negador.

REGLAS DE DEDUCCIÓN

El lenguaje establecido permite expresarse de forma razonable, lógica, sobre las «cosas». La frase «expresarse de forma lógica» significa que pueden deducirse relaciones entre las «cosas» sabiéndose con anterioridad algo más sobre éstas. Para ello también se requiere de reglas sobre tales deducciones. Algunas ya se han expuesto:

1. Las expresiones A y B se forman con relatores. Cuando A implica B (cuando A lleva a deducir B), se escribe →AB. Cuando tanto A como B ocurren o se conocen, se escribe ΛAB. Cuando A o B (o ambas) ocurren, se escribe VAB.

2. →¬¬AA. (Si ¬A se niega, entonces queda A, o ¬¬A implica A).

3. ↔¬∀xA∃x¬A. (El complemento del cuantificador universal se da si y sólo si se da el cuantificador particular; x es cualquier variable presente en los relatores de A).

4. ↔∀xAA (A es si y sólo si ∀xA, con x una variable en A)

5. →Λ→ABAB. (→AB y A implican que B).

6. →VΛABAΛAB (Tanto A como B, o A –o ambas– implican que sean tanto A como B).

7. →ΛVABAA (Tanto A o B –o ambas–, como A implican A).

8. ↔↔AB∀xy...zΛ→AB→BA Aquí x, y, …, z son variables que se encuentran en las relaciones conformando tanto a A como a B.

Con ellas las deducciones adquieren precisión.

Por ejemplo, retomando las relaciones Rij, Sij y Qij conocidas, se realizan algunas deducciones comunes:

1. →ΛRijRkjQik se sabe que si i y k son hijos de j, ambos resultan hermanos.

2. Rij se sabe que i es hijo de j.

3. Rkj se sabe que k es hijo de j.

4. ΛRijRkj porque Rij y Rkj se saben, según la regla 1.

5. Λ→ΛRijRkjQikΛRijRkj porque tanto la condición (→ΛRijRkjQik) como ΛRijRkj se saben.

6. Qik como se sabe aquello en 5, según la regla 3 debe ser así, que implique Qik. En ese caso, de la regla 5 A es ΛRijRkj y B es Qik.

Se dedujo que i es hermano de k.

Con las reglas y los recursos considerados pueden conseguirse razonamientos favorables y acordes con aquello presente en la intuición general, donde según el ejemplo observado, efectivamente, si dos individuos son hijos de la misma madre, ambos son hermanos.

Las deducciones pueden ampliarse y complicarse de las formas más diversas, estableciéndose reglas nuevas derivadas de las ocho reglas de deducción establecidas. Todo ello puede aplicarse a lo que es sabido, lo que se conoce, de las «cosas» sin importar qué sean dichas «cosas», con tal de descubrir nuevos aspectos de las mismas.

LA NATURALEZA SUFICIENTE

A continuación, se presenta una deducción donde las «cosas» expresadas en el razonamiento son unas cuya naturaleza se especificará con tal de demostrar que los recursos aquí presentados son suficientes para expresarlo todo de forma lógica.

Hasta el momento se ha asumido que esto es posible, que todo puede expresarse de forma lógica, pero no se ha mostrado la contundencia de ello, es decir, que esto resulte creíble no sólo porque así sea expuesto sino porque así sea realmente observado. Porque esa situación pueda ser puesta a discusión de forma lógica.

La pretensión es, por consiguiente, deducir que el lenguaje establecido junto con sus reglas puede expresar deducciones válidas para todas las «cosas». De antemano, si esto es cierto, quiere decir que 1) todas las expresiones lógicas posibles refieren únicamente a las «cosas» y que entonces 2) de todas esas expresiones sólo pueden deducirse otras expresiones y ninguna otra cosa. O que todas las expresiones son deducibles únicamente a partir de otras expresiones lógicas. Porque si todas las expresiones se refieren a todas las «cosas», cualquier expresión deducida tendría, por lo anterior, que hacer referencia a una de las «cosas».

Se supondrá que existe aquella «cosa» que no puede ser referida por medio de expresiones lógicas. Esto es, Exy dice x se expresa con (el lenguaje lógico) y. Y se está considerando que hay un x tal que ¬Exy.

Se sabe que existe dicha «cosa» inexpresable con el lenguaje y si y sólo si entonces no existen los símbolos para generar la expresión refiriéndose a tal «cosa». Esto puede expresarse como sigue: ∀ij↔¬Eij¬∀kΣki donde Σki dice k simboliza a i (o que k no es parte de los símbolos en la expresión de i). También, según la regla 3, puede expresarse como ∀ij↔¬Eij∃k¬Σki, o sea que para cualquier «cosa» (i) y para cualquier lenguaje lógico (j), si la «cosa» no es expresable con ese lenguaje (¬Eij), entonces existe un símbolo (k) tal que no simbolice a la «cosa» (∃k¬Σki).

Sin embargo, todos los símbolos ∀, i, j, →, ¬, E, ∃, k, Σ, se hallan presentes en la expresión que refiere a la «cosa» que se suponía inexpresable. En otras palabras, se sabía que si la «cosa» era realmente inexpresable, entonces haría falta algún símbolo para expresarla. No obstante, los símbolos se han presentado y resultan suficientes para expresar cómo es que la «cosa» inexpresable resulta ser así. Entonces, se sabe por la evidencia que ¬∃k¬Σki; no hay símbolo (¬∃k) tal que no logre simbolizar a la «cosa» inexpresable (¬Σki).

De todo esto se tiene la siguiente deducción:

1. ∀ij↔¬Eij∃k¬Σki ó ∀ij↔¬Eij¬∀kΣki premisa 1 (primera circunstancia conocida).

2. ¬∃k¬Σki premisa 2 (segunda circunstancia conocida).

3. ∀kΣki según la regla 3.

Para continuar se deducirá previamente que:

A. ↔AB premisa A.

B. ¬A premisa B.

C. Λ→AB→BA según la abreviatura que es el biyector.

D. ΛV¬ABV→B¬A según la abreviatura que es el disyuntor.

E. ΛV¬ABAV→B¬A porque tanto A como ΛV¬ABV→B¬A se conocen.

F. ΛAV→B¬A según la regla 6.

G. ΛV→B¬AA porque la expresión no se modifica (tanto A como V→B¬A, o bien, tanto V→B¬A como A).

H. ¬B según la regla 6.

I. →Λ↔AB¬A¬B porque tanto ↔AB como A se conocen e implican ¬B.

Por lo tanto,

5. ↔¬Eij¬∀kΣki por la regla 8.

6. Λ↔¬Eij¬∀kΣki∀kΣki tanto lo anterior como ∀kΣki se conocen.

7. Eij según la deducción de I.

8. ∀ijEij según la regla 4.

Esto expresa que para todas las «cosas» y todos los lenguajes lógicos (∀ij), todas las «cosas» son expresables con ellos (Eij).

Así se garantiza la contundencia de que el lenguaje lógico establecido pueda referirse a las todas las «cosas» y que, en consecuencia, todas las expresiones sólo se refieren a dichas «cosas».

Finalmente, todas las expresiones del lenguaje lógico sólo deducen expresiones elaboradas con el mismo lenguaje. Nótese que se dedujo válido Eij para todo los lenguajes lógicos, pero deben ser sólo aquellos donde pueda ser deducible Eij. Y aquellos donde es deducible Eij deben presentar, al menos, las reglas de deducción aquí expuestas y utilizadas.

Para observar la deducción de cualquier expresión lógica es suficiente tener tanto al lenguaje lógico como sus reglas de deducción.

Con dicho lenguaje y sus reglas de deducción no hace falta nada más para observar la deducción de cualquier expresión lógica. El sistema formal de razonamiento está completo, pues no tiene ni símbolos ni reglas faltantes.

15 de Julio de 2013