LA ARITMÉTICA DE LOS CUERPOS

Aparentemente los axiomas que se presentarán son fundamentales para el establecimiento de la aritmética de los llamados cuerpos. No se aborda esto por medio de cierta teoría de conjuntos sino por medio de un sistema lógico independiente. Aún así es bien sabido que existen tales equivalencias con las teorías de conjuntos y por lo tanto es válida la propuesta presente. Cualquier teorema resultado del sistema debe ser consistente con lo que intuitivamente y tradicionalmente entendemos por un cuerpo.

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc. A continuación, el sistema planteado.

LENGUAJE FORMAL Y SISTEMA

Axioma 1. Definición de los elementos neutros de la suma y el producto. Formalmente:

∀a→RaΛ=a+a0=a·a1=0+a-a↔¬=a0=1·a/aR-aR/a

donde Ra dice a es real, +xy diría la suma de x e y, ·xy diría el producto de x e y, =ab diría a igual a b, -a dice el recíproco aditivo de a, y /a dice el recíproco multiplicativo de a.

Entiéndase que Ra tiene análogos en su aplicación, es decir, existen otras acepciones como a es imaginario que son igualmente válidas. Asimismo se aplica para el resto de los relatores y funtores del lenguaje que se está empleando. Una situación análoga se observa en la teoría del orden con las acepciones estar a la diestra y estar a la siniestra. En función de lo anterior, recuérdese que comúnmente la suma y la adición así como el producto y la multiplicación son sinónimos.

Axioma 2. La igualdad es simétrica. Formalmente:

∀ab→ΛRaRb=ab=ba

Axioma 3. La suma es conmutativa. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc↔=c+ab=c+ba

Axioma 4. El producto es conmutativo. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc↔=c·ab=c·ba

Axioma 5. La igualdad es transitiva. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc=ab=cb=ac

Axioma 6. La igualdad se puede expandir sólo si la expansión se puede simplificar hacia la igualdad. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc=+ab+ac=bc

Axioma 7. La igualdad se puede expandir factorialmente sólo si la expansión se puede simplificar hacia la igualdad. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc=·ab·ac=bc

Axioma 8. La suma es asociativa. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc↔=d++abc=d+a+bc

Axioma 9. El producto es asociativo. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc↔=d··abc=d·a·bc

Axioma 10. El producto es sustituible en la suma. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc↔Λ=c·ab=d+ce=d+·abe

Axioma 11. La suma es sustituible en el producto. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc↔Λ=c+ab=d·ce=d·+abe

Axioma 12. El producto es sustituible en el producto. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc↔Λ=c·ab=d·ce=d··abe

Axioma 13. La suma es sustituible en la suma. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc↔Λ=c+ab=d+ce=d++abe

Axioma 14. Si son reales, entonces la suma y producto de estos son reales. Formalmente:

∀ab→ΛRaRbΛR+abR·ab

Estos axiomas son operativos. A continuación los axiomas de orden:

Axioma 15. De uno dado, la suma con un positivo es mayor que éste. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc↔

Axioma 16. Los axiomas de la teoría del orden son válidos. Estos implican:

Teorema I: El orden es transitivo. Formalmente:

∀abc→ΛRaRbRc

Así la teoría de cuerpos requiere de la adición de los axiomas del orden para hacer válidas estructuras como las desigualdades. De la misma forma que en la teoría del orden, si se adicionan a los axiomas aquí presentes las fórmulas de esta teoría pero con acepciones distintas, en particular la análogas a Rx, se obtiene una teoría de cuerpos n – dimensional. Con la realización anterior se construye la teoría de cuerpos de los complejos, cuaterniones, etc. No se han definido operaciones como la raíz y el logaritmo; la estructura que se conoce como cuerpo no involucra estas definiciones intrínsecamente aunque es posible llevarlas a cabo sin que pierda su caracterización como tal.

30 de Diciembre de 2011

EL BINOMIO DE NEWTON

Nota: Para observar la publicación adecuadamente, descargue la imagen y lea el texto desde su ordenador. Gracias.

 

SUMA DE COMBINATORIAS CONSECUTIVAS

Teorema: la suma de combinatorias consecutivas en selección para un universo de cardinal n es igual a la combinatoria con la selección mayor de las anteriores para un universo de cardinal n+1.

La hipótesis (por el momento) anterior se traduce como sigue simbólicamente:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=[(n+1)ℂ(m+1)]

Si se desarrolla la suma en términos de factoriales, se tiene:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]={n!/[m!(n-m)!]}+{n!/[(m+1)!(n-m-1)!]}

Luego, factorizando n!/m!, la expresión cambia por:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!){[1/(n-m)!]+{1/[(m+1)(n-m-1)!]}}

La suma que queda al interior de los corchetes puede desarrollarse como sigue:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)[(m+1)(n-m-1)!+(n-m)!]/[(m+1)(n-m-1)!(n-m)!]

Es posible dividir la suma del numerador en la expresión desarollada por el factor (n-m-1)! que ya se halla en el denominador de la fracción, de tal forma que se observe:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)[(m+1)+(n-m)]/[(m+1)(n-m)!]

Con ello se simplifica el numerador:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)(n+1)/[(m+1)(n-m)!]

Efectuando el producto con el factor n!/m!, queda:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n+1)!/[(m+1)!(n-m)!]

Justamente el valor (n-m)! es idéntico al valor [(n+1)-(m+1)]! (puede simplificarse para observar lo dicho), por lo cual es posible decir que:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=[(n+1)ℂ(m+1)]

Comprobando la validez de la hipótesis.

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26 de Diciembre de 2012

RESOLUCIÓN GENERAL DE LAS PARADOJAS

FÓRMULAS DE OMNIPOTENCIA

Se plantea la paradoja de la omnipotencia de la siguiente manera:

«Sea una entidad omnipotente la cual puede crear un objeto con el cual ni siquiera esta entidad pueda interactuar (aún siendo omnipotente).»

En realidad su planteamiento lógico suficiente se tiene que realizar por medio de lógica de primer orden. En ese sentido las fórmulas que se pudieren plantear no mantienen la sentencia «la entidad es omnipotente» como parte de su suficiencia por lo que se tiene debe definir en esta lógica este concepto.

Así queda:

∀e(ω(e)↔∀o(c(e,o)Λi(e,o))), o bien, ∀e↔ωe∀oΛceoieo

donde ω(e) (o ωe) es la entidad e es omnipotente, o es el objeto, c(e,o) (o ceo) es la entidad e crea al objeto o y i(e,o) (o ieo) la entidad e interactúa con el objeto o. Se observa claramente que la omnipotencia como sentencia queda independiente de la lógica de primer orden y por tanto se generan fórmulas que completen la definición de omnipotencia.

Con ello se puede vislumbrar que el planteamiento de la paradoja de la omnipotencia depende de asumir como parte de la suficiencia de la lógica al concepto de omnipotencia. Se plantea ahora la fórmula con la cual quedaría esta paradoja:

∀e(ω(e)↔∃o(c(e,o)Λ¬i(e,o))), o bien, ∀e↔ωe∃oΛceo¬ieo

Este problema resulta de contradecir la proposición inicial que define la omnipotencia. No obstante tampoco constituye parte de la suficiencia de la lógica en la cual se analiza. Sea un sistema S para el cual la definición de omnipotencia es consistente. Si el sistema S es consistente por hipótesis, la definición será verdadera y en consecuencia el problema posterior queda falso. Lo mismo ocurre si se considera consistente a S con el problema pues así sería la definición una proposición falsa.

Entonces no hay forma de entender la razón de la paradoja sino porque al comienzo se asumía verdadera la sentencia la entidad e es omnipotente y se la consideraba como parte de la suficiencia de la lógica. Esta asunción es una proposición indecidible (la suficiencia lógica no tiene que ver con ello) para ambas proposiciones y por ello es la confusión (se asumía verdadera cuando en realidad era indecidible). Esto remite a la resolución general de paradojas que resuelve las paradojas al identificar las proposiciones “verdaderas” como indecidibles.

RESOLUCIÓN GENERAL

Se tiene una proposición que contradice a otra siendo que deberían ser consistentes estas:

r↔p (o ↔rp) es una fórmula de válida para la lógica de primer orden.

p↔q (o ↔pq) se tiene que la proposición necesariamente implica otra fórmula.

q↔¬r (o ↔q¬r) la siguiente proposición se tiene como verdadera.

p↔¬r (o ↔p¬r) la proposición contradice la primera fórmula.

Entonces se ha planteado el esquema general de paradojas. Al igual que con las fórmulas de omnipotencia, esto se puede analizar de forma tal que se halle la consistencia de las proposiciones respecto a un sistema de axiomas. Se sugiere un sistema S. La fórmula r↔p (o ↔rp) resulta consistente con S. Necesariamente, y dada la suficiencia de la lógica de primer orden, la proposición p↔¬r (o ↔p¬r) queda inconsistente, o sea, la primera proposición (por hipótesis) queda verdadera y la última queda falsa.

Con esto último se tiene que alguna de las proposiciones que permiten llegar a partir de la fórmula inicial a una contradicción influye en la formación de la paradoja. Por hipótesis, nuevamente, se supone que q↔¬r (o ↔q¬r) es inconsistente con S y consistente con la última proposición, por lo cual la segunda fórmula, p↔q (o ↔pq), debe ser responsable de la paradoja. Supóngase que esta proposición no puede hallarse verdadera o falsa, esto porque tanto ésta como su falsedad son indecidibles. Entonces en realidad es que se asume verdadera de forma inicial a esta proposición y debería considerarse como indecidible.

Todas las paradojas se originan a partir de proposiciones indecidibles que se asumen verdaderas, esto respecto a un sistema por medio del cual se analiza la veracidad de las proposiciones restantes de la paradoja.

9 de Agosto de 2011