Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 4 de enero de 2013

LA DEFINICIÓN DE DEFINICIÓN

Los sistemas formales incompletos son aquellos en los cuales pueden plantearse teoremas cuya veracidad o falsedad es indemostrable. Con este antecedente, se analiza al esquema de definición, una sentencia que permite satisfacer o refutar si una sentencia dada es o no una definición. La cuestión principal es ¿el esquema de definición es o no una definición? Al final se demuestra que ni una, ni otra son posibles de deducirse verdaderas o falsas, por lo cual quedan indecidibles. Así, siguiendo el esquema de definición (planteado por primera vez y de manera intuitiva por Aristóteles) o su contraria junto con cualquier sistema formal consistente, se obtienen sistemas formales consistentes e incompletos. Esto último es una forma parcial del teorema de Gödel.

Como nota preliminar a la presente deducción, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc.

Inicialmente, se propone la sentencia que representa al esquema de definición como sigue:

iP↔ΞPDiΛExPΞP=iQ¬IiQ donde Ξij dice i es idéntico a j, Di dice i es definición, Exi dice i es expresión (formal, simbólica), =ij dice i equivale a j (= es el relator diádico básico) y Iij dice i es término de j.

De la sentencia anterior se observa el planteamiento que Aristóteles propuso para las definiciones, tal que 1) la definición es una expresión válida en su retórica (o es una expresión formal), 2) la definición representa la equivalencia conceptual entre una palabra y su valor, un grupo de palabras que detalle a la primera (o tiene un término i equivalente a otro Q, =iQ) y 3) no puede incluir en sus términos a la palabra por definirse (o hay un término i que no lo es de Q, ¬IiQ). Es fácil deducir si una expresión es o no una sentencia, pues sólo basta darle legibilidad, o bien basta con seguir el algoritmo pertinente para ello, mismo que es conocido de manera fundamental. Cabe decirse que del esquema se deduce a Q como una expresión del tipo Rx1x2...xn, pues para el relator = es la única manera en que puede considerársele de forma que el esquema de definición resulte ser una sentencia. Asimismo, también se deduce que ¬=ixj. Entonces el esquema puede transformarse en una sentencia distinta de éste, pero necesaria para la validez del mismo:

iP↔ΞPDiΛExPΞP=iRx1x2...xn¬=ix1¬=ix2...¬=ixn

Es con el relator R que se puede decir con toda claridad que la sentencia anterior es realmente un esquema y no un axioma como tal. Sin embargo, al esquema puede dársele la forma necesaria para sugerirlo axioma y que se generen los sistemas formales mencionados al comienzo de esta exposición. Con esto se supondrá que existe un término d llamado definición y que se orientará para ser definido, o bien, se tratará de hallar la definición de definición que significa directamente en hallar la veracidad o falsedad del esquema de definición, pues es posible interpretarlo como a través de sí mismo. Así que se siguen las siguientes premisas:

ΛΞ=dRx1x2...xnPd¬=ix1¬=ix2...¬=ixn la definición d no es termino de su igual.
ExPd Pd se comprueba que es una expresión.

Y dado el esquema de definición, se deduce que:

ΞPdDd Pd es la definición de la definición.
∀Pd→ΛΞ=dRx1x2...xnPd¬=ix1¬=ix2...¬=ixnΞPdDd la generalización de lo anterior.

Esta sentencia es la transformación final del esquema de definición, y se observa la indecidibilidad de éste por lo siguiente:

ΛΞ=d'Rx1x2...xnPdZ¬=ix1¬=ix2...¬=ixn generando la sentencia Z.
ΞZDd' por la transformación final.

E inductivamente se pueden obtener sentencias Z y términos d. No obstante, si se detiene el proceso de obtención de sentencias Z, resulta que el término d correspondiente generado por la existencia de la última de las Z no se presenta y, por consiguiente, no se pueden determinar las valoraciones dado un modelo aplicado a las sentencias Z. Más aún, si se trata de obtener a “todas” las sentencias Z, queda indecidible el hecho de que cada una de ellas sea verdadera (pues se trata de una verificación por modelo “infinita”). Entonces, dado que la indecidibilidad se ha obtenido únicamente partiendo del esquema de definición, éste queda igualmente indecidible. También se puede observar el mismo procedimiento si se efectúa con su contraria y las contrarias de las sentencias Z generadas. La indecidibilidad del esquema se confirma. Por lo tanto, al generar sistemas formales con el esquema de definición o su contraria y sentencias formales consistentes, se obtienen sistemas formales incompletos, pero necesariamente consistentes. Esto implica el siguiente:

Teorema: Existen sistemas formales consistentes e incompletos.

La situación que se observa es una muestra parcial del teorema de Gödel, donde se deduce que todos los sistemas formales consistentes son necesariamente incompletos.

4 de Enero de 2013

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