Sean
a, b, c las medidas de los lados del triángulo
Δabc. A su
vez, α,
β,
γ son los
valores de los ángulos opuestos a cada lado, respectivamente.
Una vez caracterizado el triángulo, es posible desarrollar la
demostración de la fórmula que Herón propone
para calcular el valor del área de un triángulo en
función de las medidas de sus lados:
A=B·h/2
donde A es el valor del área del triángulo
en cuestión; B
es la medida de la base del triángulo y h
la medida de la altura.
Considerando
que la medida de la base es B=b, el valor de la altura se
deduce h=a·sen(γ).
Por lo tanto, la demostración es como sigue:
A=a·b·sen(γ)/2 tiene
validez en virtud de las inferencias hechas.
c2=a2+b2-2a·b·[1-sen2(γ)]1/2 brinda
el valor de c según la ley de cosenos.
sen(γ)={1-[(a2+b2-c2)/(2·a·b)]2}1/2 da
el valor de sen(γ)
por lo anterior.
A=a·b·{1-[(a2+b2-c2)/(2·a·b)]2}1/2/2 el valor del área en función de los lados.
A
pesar de tener el valor del área del triángulo en
función de las medidas de sus lados, no se tiene la fórmula
deducida por Herón, en términos del semiperímetro
del triángulo. Para ello se continúa la deducción:
A={4·a2·b2-(a2+b2-c2)2}1/2/4 simplificando
la suma en la raíz cuadrada.
A={(2·a·b+a2+b2-c2)·(2·a·b-a2-b2+c2)}1/2/4 factorizando
la diferencia de cuadrados.
A={[(a+b)2-c2]·[c2-(a-b)2]}1/2/4 factorizando
los binomios cuadrados.
A=[(a+b+c)·(a+b-c)·(c+a-b)·(c-a+b)]1/2/4 factorizando las diferencias de cuadrados.
....
A=[(a+b+c)/2·(a+b-c)/2·(c+a-b)/2·(c-a+b)/2]1/2 por
ser equivalente.
S=(a+b+c)/2 S
es el valor del semiperímetro.
A=[S·(S-c)·(S-b)·(S-a)]1/2 dada
la premisa anterior.
Y
finalmente, se obtiene la fórmula de Herón,
A=[S·(S-a)·(S-b)·(S-c)]1/2,
que es una forma simple para el cálculo del área en
función de las medidas de los lados de un triángulo.
∎
5
de Enero de 2013
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