Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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lunes, 15 de julio de 2013

SOBRE LA NATURALEZA SUFICIENTE (COMPLETA) DE LOS SISTEMAS FORMALES DE RAZONAMIENTO


Kurt Gödel, El lógico.


Un sistema formal de razonamiento tiene ciertas características. Por sistema se entiende a una colección de objetos. Asimismo, el sistema es formal porque los objetos de la colección son símbolos, que pueden ser escritos en un solo caracter. Esto se emplea para razonar, para establecer deducciones donde unos símbolos lleven necesariamente a otros símbolos de acuerdo a unas reglas de deducción que determinen este hecho.

Como el título refiere, se reconocerá la naturaleza suficiente de estos sistemas, es decir, que basta con un sistema de este tipo para deducir todos los símbolos posibles de ser deducidos. También se puede nombrar a esa naturaleza suficiente como completa porque no haría falta ningún símbolo ni regla ajenos a estos sistemas para deducir todos los símbolos posibles de ser deducidos.

El hallazgo de esta naturaleza suficiente fue hecho por vez primera gracias a Kurt Gödel en su artículo «La suficiencia de los axiomas del cálculo lógico de primer orden» en el año 1930.

Aquí se toma un camino distinto al original de Gödel para llegar al mismo resultado. Primeramente se establecerán todos los símbolos que conformen a los sistemas formales de razonamiento. Luego, se detallarán las reglas de deducción para, finalmente, observar que una consecuencia del sistema formal de razonamiento es la suficiencia.

ESTABLECIMIENTO DE UN LENGUAJE LÓGICO

Sea un lenguaje lógico tal que cuente necesariamente con:

1. Variables (i, j, k, etc.). Hacen referencia a «cosas», aquello sujeto a un razonamiento. Por ejemplo, al referirse a los hijos de una mujer se tienen las variables hijo1, hijo2, hijo3, etc. (hasta donde sean posibles o existentes) y mujer. Estas variables pueden abreviarse con letras: hijo1=i, hijo2=j, hijo3=k, etc., y mujer=χ.

2. Constantes (a, b ,c, etc.). Hacen referencia a «cosas» fijas y sujetas a un razonamiento. Por ejemplo, María es una constante y se podría simbolizar como m.

No es necesario contar con las constantes para el lenguaje, pero es posible tenerlas presentes.

3. Cuantificador universal (). Hace referencia a la totalidad. Por ejemplo, cualquier hijo se escribe ∀i, siendo i la representación en forma de variable de los hijos. Se dice cualquier hijo, cualquier madre y se escribe ∀i∀j, o simplificando, ∀ij.

4. Relatores. Al menos uno que relacione pares de variables. Por ejemplo, Riχ, donde i y χ son las variables relacionadas por el relator R. Es posible que R sea el relator de la relación i es el hijo de χ.

5. Negador (¬). Muestra el complemento de una expresión. Por ejemplo, de la relación Rij mencionada, ¬Rij expresa la relación i no es hijo de j, que es la expresión complementaria a la primera.

Si se tiene una parte (como Rij), su complemento (¬Rij) es lo faltante, y no hay más. Por lo tanto, el complemento del complemento de una relación es necesariamente dicha relación (a Rij le falta ¬Rij; el complemento del complemento, ¬¬Rij, es aquello que le falta a ¬Rij, o sea Rij).

La negación ¬ expresa lo que no es la totalidad, o sea la parcialidad, cuando sólo se conoce la existencia de una parte. La negación ¬ se simboliza como y dice para algún, y se observa que no se refiere a la totalidad, sino a una parte. También es un cuantificador (cuantificador particular). Más adelante, al detallar las reglas de deducción lógica, se especificará la naturaleza de éste.

6. Implicador (). Hace que una relación implique a otra. Por ejemplo, con la relación Rij mencionada, i es hijo de j, también se puede expresar que j es madre de i con la relación Sji. Entonces queda RijSji, si i es hijo de j, entonces j es madre de i.

A partir del negador y el implicador se pueden abreviar y simbolizar algunas expresiones como el:

7. Conjuntor (Λ). Sean A y B expresiones con relatores (como Rij). Se tiene que →A¬B puede abreviarse como ΛAB.

Por ejemplo, con la relación Rij ya conocida y otra relación Qij diciendo i es hermano de j es posible establecer ¬→Rij¬Rkj, es decir, la negación (¬) de si () i es hijo de j (Rij), entonces k no es hijo de j (¬Rkj). Esta negación refiere a lo faltante de dicha condición, es decir donde no se tiene la condición. Si la condición está ausente para que ambos i y k sean hijos de j, simplemente se admite que ambos lo son, o sea tanto i es hijo de j como k es hijo de j, o ΛRijRkj.

También se puede expresar ΛRijRkj como i es hijo de j y k es hijo de j.

Así, la expresión →ΛRijRkjQik dice si () i es hijo de j y k es hijo de j (ΛRijRkj), entonces i es hermano de k (Qik).

8. Disyuntor (V). Sean A y B expresiones con relatores. Se tiene que →¬AB puede abreviarse como VAB.

Por ejemplo, con la relación Sij mencionada (i es madre de j) es posible establecer que →¬SijSik, es decir, si () i no es madre de j (¬Sij), entonces i es madre de k (Sik). Esto sólo especifica que en caso de que el hecho ¬Sij ocurra, será que necesariamente Sik también ocurra. Sin embargo, que no ocurra ¬Sij no implica necesariamente que el hecho Sik deje se ocurrir; sólo lo anterior ofrece garantía de validez lógica.

Entonces cuando Sik ocurre, tanto si ¬Sij ocurre o no, es decir, tanto si Sij o ¬Sij ocurren o no. Cuando ¬Sij no ocurre se sabe directamente que no ocurre Sik, o bien, que ¬Sik ocurre.

En resumen, cuando Sik ocurre pueden ocurrir ¬Sij o Sij. Si no ocurre ¬Sik es porque Sij ocurre (no ocurre ¬Sij). Puede ser que Sik y Sij ocurran juntos, o que uno ocurra y el otro no. Se dice, según esto último, que ocurre Sik o Sij (o ambos), o sea VSijSik (que i es madre de j, o i es madre de k, o i es madre tanto de j como de k).

9. Biyector (). Sean A y B expresiones con relatores. Se tiene que Λ→AB→BA puede abreviarse como ↔AB.

Con las relaciones ya conocidas, tanto RijSji (si i es hijo de j, entonces j es madre de i) como →SjiRij (si j es madre de i, entonces i es hijo de j) ocurren. Esto se sabe puede expresarse como Λ→RijSji→SjiRij, o bien como RijSji (que i es hijo de j si y sólo si j es madre de i).

Mientras todas las abreviaciones puedan expresarse en términos del implicador y el negador, se dirá que sólo basta con esos recursos para establecer el lenguaje. No obstante, las abreviaciones facilitan el empleo del mismo, simplificando expresiones que podrían quedar realmente largas. Cualquier definición a partir de las abreviaciones (como aquella empleada para el biyector) es válida, pues todas ellas se encuentran en términos del implicador o el negador.

REGLAS DE DEDUCCIÓN

El lenguaje establecido permite expresarse de forma razonable, lógica, sobre las «cosas». La frase «expresarse de forma lógica» significa que pueden deducirse relaciones entre las «cosas» sabiéndose con anterioridad algo más sobre éstas. Para ello también se requiere de reglas sobre tales deducciones. Algunas ya se han expuesto:

1. Las expresiones A y B se forman con relatores. Cuando A implica B (cuando A lleva a deducir B), se escribe →AB. Cuando tanto A como B ocurren o se conocen, se escribe ΛAB. Cuando A o B (o ambas) ocurren, se escribe VAB.
2. →¬¬AA. (Si ¬A se niega, entonces queda A, o ¬¬A implica A).
3. ¬∀xA∃x¬A. (El complemento del cuantificador universal se da si y sólo si se da el cuantificador particular; x es cualquier variable presente en los relatores de A).
4. ∀xAA (A es si y sólo si ∀xA, con x una variable en A)
5. →Λ→ABAB. (→AB y A implican que B).
6. →VΛABAΛAB (Tanto A como B, o A –o ambas– implican que sean tanto A como B).
7. →ΛVABAA (Tanto A o B –o ambas–, como A implican A).
8. ↔↔AB∀xy...zΛ→ABBA Aquí x, y, …, z son variables que se encuentran en las relaciones conformando tanto a A como a B.

Con ellas las deducciones adquieren precisión.

Por ejemplo, retomando las relaciones Rij, Sij y Qij conocidas, se realizan algunas deducciones comunes:

1. →ΛRijRkjQik se sabe que si i y k son hijos de j, ambos resultan hermanos.
2. Rij se sabe que i es hijo de j.
3. Rkj se sabe que k es hijo de j.
4. ΛRijRkj porque Rij y Rkj se saben, según la regla 1.
5. Λ→ΛRijRkjQikΛRijRkj porque tanto la condición (→ΛRijRkjQik) como ΛRijRkj se saben.
6. Qik como se sabe aquello en 5, según la regla 3 debe ser así, que implique Qik. En ese caso, de la regla 5 A es ΛRijRkj y B es Qik.

Se dedujo que i es hermano de k.

Con las reglas y los recursos considerados pueden conseguirse razonamientos favorables y acordes con aquello presente en la intuición general, donde según el ejemplo observado, efectivamente, si dos individuos son hijos de la misma madre, ambos son hermanos.

Las deducciones pueden ampliarse y complicarse de las formas más diversas, estableciéndose reglas nuevas derivadas de las ocho reglas de deducción establecidas. Todo ello puede aplicarse a lo que es sabido, lo que se conoce, de las «cosas» sin importar qué sean dichas «cosas», con tal de descubrir nuevos aspectos de las mismas.

LA NATURALEZA SUFICIENTE

A continuación, se presenta una deducción donde las «cosas» expresadas en el razonamiento son unas cuya naturaleza se especificará con tal de demostrar que los recursos aquí presentados son suficientes para expresarlo todo de forma lógica.

Hasta el momento se ha asumido que esto es posible, que todo puede expresarse de forma lógica, pero no se ha mostrado la contundencia de ello, es decir, que esto resulte creíble no sólo porque así sea expuesto sino porque así sea realmente observado. Porque esa situación pueda ser puesta a discusión de forma lógica.

La pretensión es, por consiguiente, deducir que el lenguaje establecido junto con sus reglas puede expresar deducciones válidas para todas las «cosas». De antemano, si esto es cierto, quiere decir que 1) todas las expresiones lógicas posibles refieren únicamente a las «cosas» y que entonces 2) de todas esas expresiones sólo pueden deducirse otras expresiones y ninguna otra cosa. O que todas las expresiones son deducibles únicamente a partir de otras expresiones lógicas. Porque si todas las expresiones se refieren a todas las «cosas», cualquier expresión deducida tendría, por lo anterior, que hacer referencia a una de las «cosas».

Se supondrá que existe aquella «cosa» que no puede ser referida por medio de expresiones lógicas. Esto es, Exy dice x se expresa con (el lenguaje lógico) y. Y se está considerando que hay un x tal que ¬Exy.

Se sabe que existe dicha «cosa» inexpresable con el lenguaje y si y sólo si entonces no existen los símbolos para generar la expresión refiriéndose a tal «cosa». Esto puede expresarse como sigue: ∀ij↔¬Eij¬∀kΣki donde Σki dice k simboliza a i (o que k no es parte de los símbolos en la expresión de i). También, según la regla 3, puede expresarse como ∀ij↔¬Eij∃k¬Σki, o sea que para cualquier «cosa» (i) y para cualquier lenguaje lógico (j), si la «cosa» no es expresable con ese lenguaje (¬Eij), entonces existe un símbolo (k) tal que no simbolice a la «cosa» (∃k¬Σki).

Sin embargo, todos los símbolos , i, j, , ¬, E, , k, Σ, se hallan presentes en la expresión que refiere a la «cosa» que se suponía inexpresable. En otras palabras, se sabía que si la «cosa» era realmente inexpresable, entonces haría falta algún símbolo para expresarla. No obstante, los símbolos se han presentado y resultan suficientes para expresar cómo es que la «cosa» inexpresable resulta ser así. Entonces, se sabe por la evidencia que ¬∃k¬Σki; no hay símbolo (¬∃k) tal que no logre simbolizar a la «cosa» inexpresable (¬Σki).

De todo esto se tiene la siguiente deducción:

1. ∀ij↔¬Eij∃k¬Σki ó ∀ij↔¬Eij¬∀kΣki premisa 1 (primera circunstancia conocida).
2. ¬∃k¬Σki premisa 2 (segunda circunstancia conocida).
3. ∀kΣki según la regla 3.

Para continuar se deducirá previamente que:

A. ↔AB premisa A.
B. ¬A premisa B.
C. Λ→AB→BA según la abreviatura que es el biyector.
D. ΛV¬ABV→B¬A según la abreviatura que es el disyuntor.
E. ΛV¬ABAV→B¬A porque tanto A como ΛV¬ABV→B¬A se conocen.
F. ΛAV→B¬A según la regla 6.
G. ΛV→B¬AA porque la expresión no se modifica (tanto A como V→B¬A, o bien, tanto V→B¬A como A).
H. ¬B según la regla 6.
I. →Λ↔AB¬A¬B porque tanto ↔AB como A se conocen e implican ¬B.

Por lo tanto,

5. ↔¬Eij¬∀kΣki por la regla 8.
6. Λ↔¬Eij¬∀kΣki∀kΣki tanto lo anterior como ∀kΣki se conocen.
7. Eij según la deducción de I.
8. ∀ijEij según la regla 4.

Esto expresa que para todas las «cosas» y todos los lenguajes lógicos (∀ij), todas las «cosas» son expresables con ellos (Eij).

Así se garantiza la contundencia de que el lenguaje lógico establecido pueda referirse a las todas las «cosas» y que, en consecuencia, todas las expresiones sólo se refieren a dichas «cosas».

Finalmente, todas las expresiones del lenguaje lógico sólo deducen expresiones elaboradas con el mismo lenguaje. Nótese que se dedujo válido Eij para todo los lenguajes lógicos, pero deben ser sólo aquellos donde pueda ser deducible Eij. Y aquellos donde es deducible Eij deben presentar, al menos, las reglas de deducción aquí expuestas y utilizadas.

Para observar la deducción de cualquier expresión lógica es suficiente tener tanto al lenguaje lógico como sus reglas de deducción.

Con dicho lenguaje y sus reglas de deducción no hace falta nada más para observar la deducción de cualquier expresión lógica. El sistema formal de razonamiento está completo, pues no tiene ni símbolos ni reglas faltantes.

15 de Julio de 2013


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