Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

·

La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

·

domingo, 26 de octubre de 2014

HIPÓTESIS: EL TEOREMA DE PITÁGORAS


Pitágoras, en cuya escuela surgió
el teorema que lleva su nombre.


ACOTACIONES

A partir de la siguiente figura,


arbitraria en cuanto a sus dimensiones, apenas representativa, se demostrará verdadera la

Hipótesis. Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa –lado frente al ángulo recto (de 90°)– es igual a la suma de los cuadrados de los catetos –los lados restantes–.

Expresado con símbolos de acuerdo a la figura, se tiene como hipótesis

MN2=NQ2+MQ2, para ΔMNQ,
NQ2=NP2+PQ2, para ΔNPQ, y
MQ2=MP2+PQ2, para ΔMPQ,

porque los triángulos citados son rectángulos. Siendo sus dimensiones arbitrarias, la demostración será válida para todos los triángulos rectángulos, como la hipótesis enuncia. Se subraya a los segmentos de recta para expresar que se está calculando de acuerdo a su longitud.

Asimismo, se cuenta con la

Tesis. Los ángulos ∡MQP y ∡MNQ son iguales;
también los ángulos ∡NQP y ∡PMQ lo son.

Esto porque, según la figura, para el triángulo ΔMNQ, ∡MQP+∡NQP=90°. Luego, para ΔNPQ, ∡MNQ+∡NQP+∡NPQ=180° porque la suma de los ángulos internos de un triángulo suman siempre 180°. No obstante, ∡NPQ=90°, pues ΔNPQ es un triángulo rectángulo. Entonces, ∡MNQ+∡NQP+90°=180°, o bien, ∡MNQ+∡NQP=90°.

De todo ello,

 ∡MQP+∡NQP-(∡MNQ+∡NQP)=90°-(∡MNQ+∡NQP)=90°-90°=0°

y reduciendo términos semejantes, queda ∡MQP-∡MNQ=0°, es decir, ∡MQP=∡MNQ, que es finalmente la observación hecha por la tesis. Con argumentos similares es posible deducir ∡NQP=∡PMQ.

Para simplificar la expresión de los ángulos, será en adelante ∡MQP=∡MNQ=α.


DEMOSTRACIÓN

1. MN2=NQ2+MQ2, considerando que la hipótesis sea verdadera.
2. (MP+NP)2=NQ2+MQ2, porque el segmento MN es igual a la suma de sus partes, MP y NP.
3. MP2+2·MP·NP+NP2=NQ2+MQ2, desarrollando el binomio cuadrado.
4. MP2+2·MP·NP+NP2=(NP2+PQ2)+(MP2+PQ2), porque siendo verdadera la hipótesis, NQ2 y MQ2 son expresados en términos de la suma de sus partes.
5. MP·NP=PQ2, reduciendo términos semejantes.
6. MP/PQ=PQ/NP, válido por la expresión anterior.

Como, de acuerdo con la tesis, MP/PQ=tan(α) para ΔMPQ, y PQ/NP=tan(α) para ΔMPQ,

7. tan(α)=tan(α), lo cual es realmente verdadero.

Así, obteniendo una expresión realmente verdadera partiendo de que la hipótesis era verdadera, debe ser esta última correcta.


20 de Octubre de 2014


No hay comentarios:

Publicar un comentario