Johannes Bernoulli, demostrador
de la regla de L'Hôpital
Teorema.
Sean dos funciones f
y g
continuas
en todos sus puntos, tales que f(a)=0
y g(a)=0.
Entonces
límx→a
f(x)/g(x) = límx→a
fx(x)/gx(x)
se
cumple (Regla de L'Hôpital)
·
Demostración:
1.
fx(x)/gx(x) =
{límh→0 [f(x+h)-f(x)]/h}/{límh→0
[g(x+h)-g(x)]/h}, por la definición de la derivada [El teorema fundamental del Análisis (o del Cálculo),
16 de Julio de 2014],
2.
fx(x)/gx(x) =
límh→0
{[f(x+h)-f(x)]/h}/{[g(x+h)-g(x)]/h}; porque el cociente de
límites es igual al límite del cociente [Lo que involucra el límite,
20 de Julio de 2013].
3.
fx(x)/gx(x) =
límh→0 [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)],
efectuando el cociente, simplificando.
4.
límx→a fx(x)/gx(x)
= límx→a límh→0
[f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], representando el cálculo del
límite cuando x→a.
5.
límx→a fx(x)/gx(x)
= límh→0 límx→a
[f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)],
porque se cumple la igualdad
límx→a
lím y→b f(x,y) = límy→b
lím x→a f(x,y),
27 de Noviembre de
2014; Teorema 3]
6.
límx→a fx(x)/gx(x)
= límh→0
[f(a+h)-f(a)]/[g(a+h)-g(a)],
siempre y cuando existan f(a)
y f(a+h), lo mismo
que g(a) y g(a+h),
no importando el valor de h,
situación que se garantiza cuando tanto
f como
g son
continuas en todos sus puntos,
de acuerdo a la definición de continuidad [Lo que involucra el límite,
20 de Julio de 2013].
7.
límx→a fx(x)/gx(x)
= límh→0 f(a+h)/g(a+h), si es
que f(a)=0 y g(a)=0 (segunda parte de la condición
en la regla de L'Hôpital).
8.
límx→a fx(x)/gx(x)
= límh→0 límx→a
f(x+h)/g(x+h), que es posible porque tanto f como g
son continuas en todos sus puntos.
9.
límx→a fx(x)/gx(x)
= límx→a límh→0
f(x+h)/g(x+h), por lo mencionado en 5.
10.
límx→a fx(x)/gx(x)
= límx→a f(x)/g(x), nuevamente
porque f y g son continuas en todos sus puntos. O,
11.
límx→a f(x)/g(x) = límx→a
fx(x)/gx(x),
que es la regla de L'Hôpital,
sin
olvidar las especificaciones necesarias dadas en 6 y 7.
∎
·
Para
finalizar, un ejemplo. Se calculará límx→2
(x2-4)/(x-2)
de forma independiente a la regla de L'Hôpital y posteriormente
haciendo uso de ella, obsérvandose que es realmente válida.
1.
límx→2 (x2-4)/(x-2)
= límx→2 (x+2)·(x-2)/(x-2),
factorizando el numerador.
2.
límx→2 (x2-4)/(x-2)
= límx→2 (x+2),
efectuando el cociente.
3.
límx→2 (x2-4)/(x-2)
= 4, porque la función
x+2 es continua en
todos sus puntos, puede solamente sustituirse x
por 2; y queda
calculado el límite, independientemente de la regla de
L'Hôpital.
Aparte,
se calculará el mismo límite considerando la regla.
Nótese que f(x) = x2-4, g(x)
= x-2, siendo ambas continuas en todos sus puntos (pueden
calcularse f, g, y los límites respectivos para
cualquier valor de x, además de que los límites
son iguales a los valores f y g). Asimismo, f(2) =
0, g(2) = 0, y con lo anterior indica que es posible
emplear la regla de L'Hôpital. Entonces
1.
límx→2 (x2-4)/(x-2)
= límx→2 2·x/1, porque
fx(x)=2·x y gx(x)=1,
como lo requiere la regla.
2.
límx→2 (x2-4)/(x-2)
= límx→2 2·x,
simplificando, y límx→2
(x2-4)/(x-2) = 2·2,
sustituyendo x por 2
dado que 2·x
es continua en todos sus puntos. Finalmente,
3.
límx→2 (x2-4)/(x-2)
= 4, que es idéntico al valor calculado previamente.
1
de Febrero de 2015,
de
las 12.51 a las 13.42
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