Kurt
Gödel, El lógico.
Un
sistema formal de razonamiento tiene ciertas características.
Por sistema se entiende a una colección de objetos.
Asimismo, el sistema es formal porque los objetos de la
colección son símbolos, que pueden ser escritos
en un solo caracter. Esto se emplea para razonar, para
establecer deducciones donde unos símbolos lleven
necesariamente a otros símbolos de acuerdo a unas reglas de
deducción que determinen este hecho.
Como
el título refiere, se reconocerá la naturaleza
suficiente de estos sistemas, es decir, que basta con un
sistema de este tipo para deducir todos los símbolos posibles
de ser deducidos. También se puede nombrar a esa naturaleza
suficiente como completa porque no haría falta ningún
símbolo ni regla ajenos a estos sistemas para deducir todos
los símbolos posibles de ser deducidos.
El
hallazgo de esta naturaleza suficiente fue hecho por vez primera
gracias a Kurt Gödel en su artículo «La suficiencia
de los axiomas del cálculo lógico de primer orden»
en el año 1930.
Aquí
se toma un camino distinto al original de Gödel para llegar al
mismo resultado. Primeramente se establecerán todos los
símbolos que conformen a los sistemas formales de
razonamiento. Luego, se detallarán las reglas de deducción
para, finalmente, observar que una consecuencia del sistema formal de
razonamiento es la suficiencia.
ESTABLECIMIENTO
DE UN LENGUAJE LÓGICO
Sea
un lenguaje lógico tal que cuente necesariamente con:
1.
Variables (i, j, k, etc.). Hacen
referencia a «cosas», aquello sujeto a un razonamiento.
Por ejemplo, al referirse a los hijos de una mujer se tienen
las variables hijo1, hijo2,
hijo3, etc. (hasta donde sean posibles o
existentes) y mujer. Estas variables pueden abreviarse con
letras: hijo1=i, hijo2=j,
hijo3=k, etc., y mujer=χ.
2.
Constantes (a, b ,c, etc.). Hacen referencia a
«cosas» fijas y sujetas a un razonamiento. Por ejemplo,
María es una constante y se podría simbolizar
como m.
No
es necesario contar con las constantes para el lenguaje, pero es
posible tenerlas presentes.
3.
Cuantificador universal (∀).
Hace referencia a la totalidad. Por ejemplo, cualquier hijo
se escribe ∀i,
siendo i la representación en forma de variable de los
hijos. Se dice cualquier hijo, cualquier madre y se
escribe ∀i∀j, o
simplificando, ∀ij.
4.
Relatores. Al menos uno que relacione pares de
variables. Por ejemplo, Riχ,
donde i y χ
son las variables relacionadas por el relator R. Es posible
que R sea el relator de la relación i
es el hijo de χ.
5.
Negador (¬). Muestra el complemento de una expresión.
Por ejemplo, de la relación Rij mencionada, ¬Rij
expresa la relación i no es hijo de j, que es la
expresión complementaria a la primera.
Si
se tiene una parte (como Rij), su complemento (¬Rij)
es lo faltante, y no hay más. Por lo tanto, el complemento del
complemento de una relación es necesariamente dicha relación
(a Rij le falta ¬Rij; el complemento del
complemento, ¬¬Rij, es aquello que le falta a ¬Rij,
o sea Rij).
La
negación ¬∀
expresa lo que no es la totalidad, o sea la parcialidad, cuando sólo
se conoce la existencia de una parte. La negación ¬∀
se simboliza como ∃
y dice para
algún,
y se observa que no se refiere a la totalidad, sino a una parte.
También ∃
es un cuantificador (cuantificador particular). Más adelante,
al detallar las reglas de deducción lógica, se
especificará la naturaleza de éste.
6.
Implicador (→).
Hace que una relación implique a otra. Por ejemplo, con
la relación Rij mencionada, i es hijo de j,
también se puede expresar que j es madre de i con la
relación Sji. Entonces queda →RijSji,
si i es hijo de j, entonces j es madre de i.
A
partir del negador y el implicador se pueden abreviar y simbolizar
algunas expresiones como el:
7.
Conjuntor (Λ).
Sean A y B expresiones con relatores (como Rij).
Se tiene que →A¬B
puede abreviarse como ΛAB.
Por
ejemplo, con la relación Rij ya conocida y otra
relación Qij diciendo i es hermano de j es
posible establecer ¬→Rij¬Rkj,
es decir, la negación (¬) de si (→)
i es hijo de j (Rij),
entonces k no es hijo de j (¬Rkj).
Esta negación refiere a lo faltante de dicha condición,
es decir donde no se tiene la condición. Si la condición
está ausente para que ambos i y k sean hijos de
j, simplemente se admite que ambos lo son, o sea tanto i
es hijo de j como k es hijo de j, o ΛRijRkj.
También
se puede expresar ΛRijRkj
como i es hijo de j y k es hijo de j.
Así,
la expresión →ΛRijRkjQik
dice si (→) i
es hijo de j y k es hijo de j (ΛRijRkj),
entonces i es hermano de k (Qik).
8.
Disyuntor (V).
Sean A
y B
expresiones con relatores. Se tiene que →¬AB
puede abreviarse como VAB.
Por
ejemplo, con la relación Sij mencionada (i es madre
de j) es posible establecer que →¬SijSik,
es decir, si (→)
i no es madre de j (¬Sij),
entonces i es madre de k (Sik).
Esto sólo especifica que
en caso de que el hecho ¬Sij
ocurra, será que necesariamente Sik
también ocurra. Sin embargo, que no ocurra ¬Sij
no implica necesariamente que el hecho Sik
deje se ocurrir; sólo lo anterior ofrece garantía de
validez lógica.
Entonces
cuando Sik ocurre, tanto si ¬Sij ocurre o no, es
decir, tanto si Sij o ¬Sij ocurren o no. Cuando
¬Sij no ocurre se sabe directamente que no ocurre Sik,
o bien, que ¬Sik ocurre.
En
resumen, cuando Sik ocurre pueden ocurrir ¬Sij o
Sij. Si no ocurre ¬Sik es porque Sij ocurre
(no ocurre ¬Sij). Puede ser que Sik y Sij
ocurran juntos, o que uno ocurra y el otro no. Se dice, según
esto último, que ocurre Sik o Sij
(o ambos), o sea VSijSik
(que i es madre de j, o i es madre de k, o i es madre tanto
de j como de k).
9.
Biyector (↔).
Sean A y B expresiones con relatores. Se tiene que
Λ→AB→BA
puede abreviarse como ↔AB.
Con
las relaciones ya conocidas, tanto →RijSji
(si i es hijo de j, entonces j es madre de i) como →SjiRij
(si
j es madre de i, entonces i es hijo de j)
ocurren. Esto se sabe puede expresarse como Λ→RijSji→SjiRij,
o bien como ↔RijSji
(que
i es hijo de j si
y sólo si
j es madre de i).
Mientras
todas las abreviaciones puedan expresarse en términos del
implicador y el negador, se dirá que sólo basta con
esos recursos para establecer el lenguaje. No obstante, las
abreviaciones facilitan el empleo del mismo, simplificando
expresiones que podrían quedar realmente largas. Cualquier
definición a partir de las abreviaciones (como aquella
empleada para el biyector) es válida, pues todas ellas se
encuentran en términos del implicador o el negador.
REGLAS
DE DEDUCCIÓN
El
lenguaje establecido permite expresarse de forma razonable, lógica,
sobre las «cosas». La frase «expresarse de forma
lógica» significa que pueden deducirse relaciones entre
las «cosas» sabiéndose con anterioridad algo más
sobre éstas. Para ello también se requiere de reglas
sobre tales deducciones. Algunas ya se han expuesto:
1.
Las expresiones A y B se forman con relatores. Cuando A
implica B (cuando A lleva a deducir B), se
escribe →AB. Cuando tanto A como B ocurren o
se conocen, se escribe ΛAB.
Cuando A
o B
(o ambas) ocurren, se escribe VAB.
2.
→¬¬AA.
(Si ¬A se niega, entonces queda A, o ¬¬A
implica A).
3.
↔¬∀xA∃x¬A.
(El complemento del cuantificador universal se da si y sólo si
se da el cuantificador particular; x
es cualquier variable presente en los relatores de A).
4.
↔∀xAA
(A
es si y sólo si ∀xA,
con x
una variable en A)
5.
→Λ→ABAB.
(→AB
y A
implican que B).
6.
→VΛABAΛAB
(Tanto A como B, o A –o ambas– implican que
sean tanto A como B).
7.
→ΛVABAA
(Tanto A o B –o ambas–, como A implican A).
8.
↔↔AB∀xy...zΛ→AB→BA
Aquí x,
y,
…, z
son variables que se encuentran en las relaciones conformando tanto a
A
como a B.
Con
ellas las deducciones adquieren precisión.
Por
ejemplo, retomando las relaciones Rij, Sij y Qij
conocidas, se realizan algunas deducciones comunes:
1.
→ΛRijRkjQik se
sabe que si i y k son hijos de j, ambos resultan hermanos.
2.
Rij se sabe que i es
hijo de j.
3.
Rkj se sabe que k
es hijo de j.
4.
ΛRijRkj porque
Rij y Rkj se saben, según la regla 1.
5.
Λ→ΛRijRkjQikΛRijRkj porque
tanto la condición (→ΛRijRkjQik)
como ΛRijRkj
se saben.
6.
Qik como se sabe aquello en 5, según la regla
3 debe ser así, que implique Qik. En ese caso, de
la regla 5 A es ΛRijRkj
y B
es Qik.
Se
dedujo que i es hermano de k.
Con
las reglas y los recursos considerados pueden conseguirse
razonamientos favorables y acordes con aquello presente en la
intuición general, donde según el ejemplo observado,
efectivamente, si dos individuos son hijos de la misma madre, ambos
son hermanos.
Las
deducciones pueden ampliarse y complicarse de las formas más
diversas, estableciéndose reglas nuevas derivadas de las ocho
reglas de deducción establecidas. Todo ello puede aplicarse a
lo que es sabido, lo que se conoce, de las «cosas» sin
importar qué sean dichas «cosas», con tal de
descubrir nuevos aspectos de las mismas.
LA
NATURALEZA SUFICIENTE
A
continuación, se presenta una deducción donde las
«cosas» expresadas en el razonamiento son unas cuya
naturaleza se especificará con tal de demostrar que los
recursos aquí presentados son
suficientes para expresarlo todo
de forma lógica.
Hasta
el momento se ha asumido que esto es posible, que todo puede
expresarse de forma lógica, pero no se ha mostrado la
contundencia de ello, es decir, que esto resulte creíble no
sólo porque así sea expuesto sino porque así sea
realmente observado. Porque esa situación pueda ser puesta a
discusión de forma lógica.
La
pretensión es, por consiguiente, deducir que el lenguaje
establecido junto con sus reglas puede expresar deducciones válidas
para todas las «cosas». De antemano, si esto es
cierto, quiere decir que 1) todas las expresiones lógicas
posibles refieren únicamente a las «cosas» y que
entonces
2) de todas esas expresiones sólo pueden deducirse otras
expresiones y ninguna otra cosa. O que todas las expresiones son
deducibles únicamente a partir de otras expresiones lógicas.
Porque si todas las expresiones se refieren a todas las «cosas»,
cualquier expresión deducida tendría, por lo anterior,
que hacer referencia a una de las «cosas».
Se
supondrá que existe aquella «cosa» que no puede
ser referida por medio de expresiones lógicas. Esto es, Exy
dice x se expresa con (el lenguaje lógico) y. Y se está
considerando que hay un x tal que ¬Exy.
Se
sabe que existe dicha «cosa» inexpresable con el lenguaje
y si y sólo si entonces no existen los símbolos
para generar la expresión refiriéndose a tal «cosa».
Esto puede expresarse como sigue: ∀ij↔¬Eij¬∀kΣki
donde Σki
dice k simboliza a i (o que k no es parte de los
símbolos en la expresión de i). También,
según la regla 3, puede expresarse como ∀ij↔¬Eij∃k¬Σki,
o sea que para cualquier «cosa» (i)
y para cualquier lenguaje lógico (j), si
la «cosa» no es expresable con ese lenguaje (¬Eij),
entonces existe un símbolo (k) tal que no
simbolice a la «cosa» (∃k¬Σki).
Sin
embargo, todos los símbolos ∀,
i,
j,
→,
¬,
E,
∃,
k,
Σ,
se hallan presentes en la expresión que refiere a la «cosa»
que se suponía inexpresable. En otras palabras, se sabía
que si la «cosa» era realmente inexpresable, entonces
haría falta algún símbolo para expresarla. No
obstante, los símbolos se han presentado y resultan
suficientes para expresar cómo es que la «cosa»
inexpresable resulta ser así. Entonces, se sabe por la
evidencia que ¬∃k¬Σki;
no
hay símbolo (¬∃k)
tal que no logre simbolizar a la «cosa» inexpresable
(¬Σki).
De
todo esto se tiene la siguiente deducción:
1.
∀ij↔¬Eij∃k¬Σki
ó ∀ij↔¬Eij¬∀kΣki premisa
1 (primera circunstancia conocida).
2.
¬∃k¬Σki premisa
2 (segunda circunstancia conocida).
3.
∀kΣki según
la regla 3.
Para continuar se
deducirá previamente que:
A.
↔AB premisa
A.
B.
¬A
premisa B.
C.
Λ→AB→BA según
la abreviatura que es el biyector.
D.
ΛV¬ABV→B¬A según
la abreviatura que es el disyuntor.
E.
ΛV¬ABAV→B¬A porque
tanto A
como ΛV¬ABV→B¬A
se conocen.
F.
ΛAV→B¬A según
la regla 6.
G.
ΛV→B¬AA porque
la expresión no se modifica (tanto A
como V→B¬A,
o bien, tanto V→B¬A
como A).
H.
¬B según
la regla 6.
I.
→Λ↔AB¬A¬B porque
tanto ↔AB
como A
se conocen e implican ¬B.
Por lo tanto,
5.
↔¬Eij¬∀kΣki por
la regla 8.
6.
Λ↔¬Eij¬∀kΣki∀kΣki tanto
lo anterior como ∀kΣki
se conocen.
7.
Eij según
la deducción de I.
8.
∀ijEij según
la regla 4.
Esto
expresa que para todas las «cosas» y todos los
lenguajes lógicos (∀ij),
todas las «cosas» son expresables con ellos (Eij).
Así
se garantiza la contundencia de que el lenguaje lógico
establecido pueda referirse a las todas las «cosas» y
que, en consecuencia, todas las expresiones sólo se refieren a
dichas «cosas».
Finalmente,
todas las expresiones del lenguaje lógico sólo deducen
expresiones elaboradas con el mismo lenguaje. Nótese que se
dedujo válido Eij para todo los lenguajes lógicos,
pero deben ser sólo aquellos donde pueda ser deducible Eij.
Y aquellos donde es deducible Eij deben presentar, al menos,
las reglas de deducción aquí expuestas y utilizadas.
Para
observar la deducción de cualquier expresión lógica
es suficiente tener tanto al lenguaje lógico
como sus reglas de deducción.
Con
dicho lenguaje y sus reglas de deducción no hace falta nada
más para observar la deducción de cualquier expresión
lógica. El sistema formal de razonamiento está
completo, pues no tiene ni símbolos ni reglas
faltantes.
15
de Julio de 2013
