Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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jueves, 27 de diciembre de 2012

LA ARITMÉTICA DE LOS CUERPOS


Aparentemente los axiomas que se presentarán son fundamentales para el establecimiento de la aritmética de los llamados cuerpos. No se aborda esto por medio de cierta teoría de conjuntos sino por medio de un sistema lógico independiente. Aún así es bien sabido que existen tales equivalencias con las teorías de conjuntos y por lo tanto es válida la propuesta presente. Cualquier teorema resultado del sistema debe ser consistente con lo que intuitivamente y tradicionalmente entendemos por un cuerpo.

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc. A continuación, el sistema planteado.

LENGUAJE FORMAL Y SISTEMA

Axioma 1. Definición de los elementos neutros de la suma y el producto. Formalmente:

a→RaΛ=a+a0=a·a1=0+a-a↔¬=a0=1·a/aR-aR/a
donde Ra dice a es real, +xy diría la suma de x e y, ·xy diría el producto de x e y, =ab diría a igual a b, -a dice el recíproco aditivo de a, y /a dice el recíproco multiplicativo de a.

Entiéndase que Ra tiene análogos en su aplicación, es decir, existen otras acepciones como a es imaginario que son igualmente válidas. Asimismo se aplica para el resto de los relatores y funtores del lenguaje que se está empleando. Una situación análoga se observa en la teoría del orden con las acepciones estar a la diestra y estar a la siniestra. En función de lo anterior, recuérdese que comúnmente la suma y la adición así como el producto y la multiplicación son sinónimos.

Axioma 2. La igualdad es simétrica. Formalmente:

ab→ΛRaRb=ab=ba

Axioma 3. La suma es conmutativa. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=c+ab=c+ba

Axioma 4. El producto es conmutativo. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=c·ab=c·ba

Axioma 5. La igualdad es transitiva. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc=ab=cb=ac

Axioma 6. La igualdad se puede expandir sólo si la expansión se puede simplificar hacia la igualdad. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc=+ab+ac=bc

Axioma 7. La igualdad se puede expandir factorialmente sólo si la expansión se puede simplificar hacia la igualdad. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc=·ab·ac=bc

Axioma 8. La suma es asociativa. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=d++abc=d+a+bc

Axioma 9. El producto es asociativo. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=d··abc=d·a·bc

Axioma 10. El producto es sustituible en la suma. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c·ab=d+ce=d+·abe

Axioma 11. La suma es sustituible en el producto. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c+ab=d·ce=d·+abe

Axioma 12. El producto es sustituible en el producto. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c·ab=d·ce=d··abe

Axioma 13. La suma es sustituible en la suma. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c+ab=d+ce=d++abe

Axioma 14. Si son reales, entonces la suma y producto de estos son reales. Formalmente:

ab→ΛRaRbΛR+abR·ab

Estos axiomas son operativos. A continuación los axiomas de orden:

Axioma 15. De uno dado, la suma con un positivo es mayor que éste. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔

Axioma 16. Los axiomas de la teoría del orden son válidos. Estos implican:

Teorema I: El orden es transitivo. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc

Así la teoría de cuerpos requiere de la adición de los axiomas del orden para hacer válidas estructuras como las desigualdades. De la misma forma que en la teoría del orden, si se adicionan a los axiomas aquí presentes las fórmulas de esta teoría pero con acepciones distintas, en particular la análogas a Rx, se obtiene una teoría de cuerpos n – dimensional. Con la realización anterior se construye la teoría de cuerpos de los complejos, cuaterniones, etc. No se han definido operaciones como la raíz y el logaritmo; la estructura que se conoce como cuerpo no involucra estas definiciones intrínsecamente aunque es posible llevarlas a cabo sin que pierda su caracterización como tal.

30 de Diciembre de 2011

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