SUMA DE COMBINATORIAS CONSECUTIVAS

Teorema: la suma de combinatorias consecutivas en selección para un universo de cardinal n es igual a la combinatoria con la selección mayor de las anteriores para un universo de cardinal n+1.

La hipótesis (por el momento) anterior se traduce como sigue simbólicamente:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=[(n+1)ℂ(m+1)]

Si se desarrolla la suma en términos de factoriales, se tiene:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]={n!/[m!(n-m)!]}+{n!/[(m+1)!(n-m-1)!]}

Luego, factorizando n!/m!, la expresión cambia por:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!){[1/(n-m)!]+{1/[(m+1)(n-m-1)!]}}

La suma que queda al interior de los corchetes puede desarrollarse como sigue:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)[(m+1)(n-m-1)!+(n-m)!]/[(m+1)(n-m-1)!(n-m)!]

Es posible dividir la suma del numerador en la expresión desarollada por el factor (n-m-1)! que ya se halla en el denominador de la fracción, de tal forma que se observe:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)[(m+1)+(n-m)]/[(m+1)(n-m)!]

Con ello se simplifica el numerador:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)(n+1)/[(m+1)(n-m)!]

Efectuando el producto con el factor n!/m!, queda:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n+1)!/[(m+1)!(n-m)!]

Justamente el valor (n-m)! es idéntico al valor [(n+1)-(m+1)]! (puede simplificarse para observar lo dicho), por lo cual es posible decir que:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=[(n+1)ℂ(m+1)]

Comprobando la validez de la hipótesis.

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26 de Diciembre de 2012