Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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domingo, 1 de febrero de 2015

LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Teorema 1. La derivada de la función seno es la función coseno.


Demostración.

1. f(x) = sen(x), expresando la función seno.

2. fx(x) = límh→0 [sen(x+h)-sen(x)]/h, porque la derivada se define

fx(x) = límh→0 [f(x+h)-f(x)]/h.

3. fx(x) = límh→0 [sen(x)·cos(h)+sen(h)·cos(x)-sen(x)]/h, desarrollando el seno de la suma, considerando la identidad

sen(a+b)=sen(a)·cos(b)+sen(b)·cos(a)

4. fx(x) = límh→0 {sen(x)·[cos(h)-1]+sen(h)·cos(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. fx(x) = límh→0 {sen(x)·[cos(h)-1]/h+sen(h)·cos(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. fx(x) = límh→0 sen(x)·[cos(h)-1]/h+límh→0 sen(h)·cos(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

7. fx(x) = límh→0 sen(x)·límh→0 [cos(h)-1]/h+
+límh→0 sen(h)/h·límh→0 cos(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. fx(x) = límh→0 sen(x)·0+1·límh→0 cos(x),

porque límh→0 [cos(h)-1]/h=0 y límh→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. fx(x) = límh→0 cos(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. fx(x) = cos(x), porque el límite de una constante (cos(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 1.


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Teorema 2. La derivada de la función coseno
es el recíproco aditivo de la función seno.


Demostración.

1. f(x) = cos(x), expresando la función coseno.

2. fx(x) = límh→0 [cos(x+h)-cos(x)]/h, porque la derivada se define

fx(x) = límh→0 [f(x+h)-f(x)]/h

3. fx(x) = límh→0 [cos(x)·cos(h)-sen(h)·sen(x)-cos(x)]/h, desarrollando el coseno de la suma, considerando la identidad

cos(a+b)=cos(a)·cos(b)-sen(b)·sen(a).

4. fx(x) = límh→0 {cos(x)·[cos(h)-1]-sen(h)·sen(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. fx(x) = límh→0 {cos(x)·[cos(h)-1]/h-sen(h)·sen(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. fx(x) = límh→0 cos(x)·[cos(h)-1]/h-límh→0 sen(h)·sen(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites.

7. fx(x) = límh→0 cos(x)·límh→0 [cos(h)-1]/h+
 -límh→0 sen(h)/h·límh→0 sen(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. fx(x) = límh→0 cos(x)·0-1·límh→0 sen(x),

porque límh→0 [cos(h)-1]/h=0 y límh→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. fx(x) = -límh→0 sen(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. fx(x) = -sen(x), porque el límite de una constante (sen(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 2.


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Como se mencionó en 8 para ambos teoremas, se demostrará que los límites mencionados son correctos:

Teorema 3. Se cumple límh→0 [cos(h)-1]/h = 0.


Demostración.

1. f(h) = cos(h)-1, se define. Asimismo, g(h) = h.

2. fh(h) = -sen(h), considerando de f(h) que la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas [La derivada de la función exponencial del límite «e», 27 de Noviembre de 2011; Teorema 2]. Para el caso, la derivada de cos(h) es, según el Teorema 2, -sen(h); aparte, la derivada de -1 es 0.

3. gh(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. límh→0 f(h)/g(h) = límh→0 fh(h)/gh(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital [Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015]. Por ello, siendo f(h)=cos(h)-1 y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. límh→0 [cos(h)-1]/h = límh→0 -sen(h)/1, es válido.

6. límh→0 [cos(h)-1]/h = -sen(0)/1, que es posible porque -sen(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. límh→0 [cos(h)-1]/h = 0, porque sen(0) = 0. Con ello se demuestra el Teorema 3.


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Análogamente será para el

Teorema 4. Se cumple límh→0 sen(h)/h = 1.


Demostración.

1. f(h) = sen(h), se define. Asimismo, g(h) = h.

2. fh(h) = cos(h), porque la derivada de sen(h) es, según el Teorema 1, cos(h).

3. gh(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. límh→0 f(h)/g(h) = límh→0 fh(h)/gh(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital. Por ello, siendo f(h)=sen(h) y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. límh→0 sen(h)/h = límh→0 cos(h)/1, es válido.

6. límh→0 sen(h)/h = cos(0)/1, que es posible porque cos(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. límh→0 sen(h)/h = 1, porque cos(0) = 1. Con ello se demuestra el Teorema 4.


1 de Febrero de 2015,
a las 19.28
 
 

2 comentarios:

  1. Genial, creí que no lo entendería; pero con paciencia se puede. Podrían poner las ecuaciones como fracciones verticales, sería más intuitivo y entendible.

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    1. Gracias por tu comentario. No me fue posible para esta publicación, por cuestiones de tiempo, colocar el contenido como fracciones verticales. Sin embargo, todos mis textos están como debe ser en el "Códice de las deducciones y los métodos":

      https://www.academia.edu/28022123/Codex_Deductionem_et_Ratio._El_c%C3%B3dice_de_las_deducciones_y_los_m%C3%A9todos

      Para más comentarios y sugerencias, puedes contactarme por twitter y facebook (los datos están a las orillas de este mismo blog.) Saludos.

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