LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Teorema 1. La derivada de la función seno es la función coseno.

Demostración.

1. f(x) = sen(x), expresando la función seno.

2. f_x(x) = lím_h→0 [sen(x+h)-sen(x)]/h, porque la derivada se define

f_x(x) = lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h.

3. f_x(x) = lím_h→0 [sen(x)·cos(h)+sen(h)·cos(x)-sen(x)]/h, desarrollando el seno de la suma, considerando la identidad

sen(a+b)=sen(a)·cos(b)+sen(b)·cos(a)

4. f_x(x) = lím_h→0 {sen(x)·[cos(h)-1]+sen(h)·cos(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. f_x(x) = lím_h→0 {sen(x)·[cos(h)-1]/h+sen(h)·cos(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. f_x(x) = lím_h→0 sen(x)·[cos(h)-1]/h+lím_h→0 sen(h)·cos(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

7. f_x(x) = lím_h→0 sen(x)·lím_h→0 [cos(h)-1]/h+

+lím_h→0 sen(h)/h·lím_h→0 cos(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. f_x(x) = lím_h→0 sen(x)·0+1·lím_h→0 cos(x),

porque lím_h→0 [cos(h)-1]/h=0 y lím_h→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. f_x(x) = lím_h→0 cos(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. f_x(x) = cos(x), porque el límite de una constante (cos(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 1.

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Teorema 2. La derivada de la función coseno

es el recíproco aditivo de la función seno.

Demostración.

1. f(x) = cos(x), expresando la función coseno.

2. f_x(x) = lím_h→0 [cos(x+h)-cos(x)]/h, porque la derivada se define

f_x(x) = lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h

3. f_x(x) = lím_h→0 [cos(x)·cos(h)-sen(h)·sen(x)-cos(x)]/h, desarrollando el coseno de la suma, considerando la identidad

cos(a+b)=cos(a)·cos(b)-sen(b)·sen(a).

4. f_x(x) = lím_h→0 {cos(x)·[cos(h)-1]-sen(h)·sen(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. f_x(x) = lím_h→0 {cos(x)·[cos(h)-1]/h-sen(h)·sen(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·[cos(h)-1]/h-lím_h→0 sen(h)·sen(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites.

7. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·lím_h→0 [cos(h)-1]/h+

 -lím_h→0 sen(h)/h·lím_h→0 sen(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. f_x(x) = lím_h→0 cos(x)·0-1·lím_h→0 sen(x),

porque lím_h→0 [cos(h)-1]/h=0 y lím_h→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. f_x(x) = -lím_h→0 sen(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. f_x(x) = -sen(x), porque el límite de una constante (sen(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 2.

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Como se mencionó en 8 para ambos teoremas, se demostrará que los límites mencionados son correctos:

Teorema 3. Se cumple lím_h→0 [cos(h)-1]/h = 0.

Demostración.

1. f(h) = cos(h)-1, se define. Asimismo, g(h) = h.

2. f_h(h) = -sen(h), considerando de f(h) que la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas [La derivada de la función exponencial del límite «e», 27 de Noviembre de 2011; Teorema 2]. Para el caso, la derivada de cos(h) es, según el Teorema 2, -sen(h); aparte, la derivada de -1 es 0.

3. g_h(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. lím_h→0 f(h)/g(h) = lím_h→0 f_h(h)/g_h(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital [Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015]. Por ello, siendo f(h)=cos(h)-1 y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. lím_h→0 [cos(h)-1]/h = lím_h→0 -sen(h)/1, es válido.

6. lím_h→0 [cos(h)-1]/h = -sen(0)/1, que es posible porque -sen(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. lím_h→0 [cos(h)-1]/h = 0, porque sen(0) = 0. Con ello se demuestra el Teorema 3.

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Análogamente será para el

Teorema 4. Se cumple lím_h→0 sen(h)/h = 1.

Demostración.

1. f(h) = sen(h), se define. Asimismo, g(h) = h.

2. f_h(h) = cos(h), porque la derivada de sen(h) es, según el Teorema 1, cos(h).

3. g_h(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. lím_h→0 f(h)/g(h) = lím_h→0 f_h(h)/g_h(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital. Por ello, siendo f(h)=sen(h) y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. lím_h→0 sen(h)/h = lím_h→0 cos(h)/1, es válido.

6. lím_h→0 sen(h)/h = cos(0)/1, que es posible porque cos(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. lím_h→0 sen(h)/h = 1, porque cos(0) = 1. Con ello se demuestra el Teorema 4.

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1 de Febrero de 2015,

a las 19.28